20202021学年高考数学考点第二章不等式一元二次不等式及其解法理

一元二次不等式及其解法一元二次不等式的解集判别式Δ＝b2－4acΔ0Δ＝0Δ0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a0)的图象方程ax2＋bx＋c＝0(a0)的根有两相异实根x1，x2(x1x2)有两相等实根x1＝x2＝－b2a没有实数根ax2＋bx＋c0(a0)的解集{x|xx1或xx2}xx≠－b2a{x|x∈R}ax2＋bx＋c0(a0)的解集{x|x1xx2}∅∅概念方法微思考1．一元二次不等式ax2＋bx＋c0(a0)的解集与其对应的函数y＝ax2＋bx＋c的图象有什么关系？提示ax2＋bx＋c0(a0)的解集就是其对应函数y＝ax2＋bx＋c的图象在x轴上方的部分所对应的x的取值范围．2．一元二次不等式ax2＋bx＋c0(0)恒成立的条件是什么？提示显然a≠0.ax2＋bx＋c0恒成立的条件是a0，Δ0；ax2＋bx＋c0恒成立的条件是a0，Δ0.1．（2019•天津）设xR，使不等式2320xx成立的x的取值范围为__________．【答案】2(1,)3【解析】2320xx，将232xx分解因式即有：(1)(32)0xx；2(1)()03xx；由一元二次不等式的解法“小于取中间，大于取两边”可得：213x；即：2{|1}3xx；或2(1,)3．故答案为：2(1,)3．2．（2020•B卷模拟）已知方程20xbxc的两个根是2，3．（1）求实数b，c的值；（2）求不等式210cxbx„的解集．【解析】二次方程20xbxc的根为2，3，23b，23c；5b，6c；（2）不等式22106510(21)(31)0cxbxxxxx剟?；1123x剟；则不等式不等式210cxbx„的解集11{|}23xx剟．1．（2020•河南模拟）已知区间(,)ab是关于x的一元二次不等式2210mxx的解集，则32ab的最小值是()A．3222B．526C．562D．3【答案】C【解析】(,)ab是不等式2210mxx的解集，a，b是方程2210mxx的两个实数根且0m，2abm，1abm，112ababab；且0a，0b；11132(32)()2ababab1231231(5)(52)(526)222babaabab…，当且仅当23ba时“”成立；32ab的最小值为15(526)622．故选C．2．（2020•重庆模拟）一元二次不等式(23)(1)0xx的解集为()A．3{|1}2xxB．3{|2xx或1}xC．3{|1}2xxD．{|1xx或3}2x【答案】B【解析】不等式(23)(1)0xx对应方程的解为32和1，所以不等式的解集为{|1xx，3}2x．故选B．3．（2020•江西模拟）若(3,6)x，则不等式23100xx…成立的概率为()A．13B．14C．23D．34【答案】A【解析】不等式23100xx…可化为(5)(2)0xx…，解得2x„或5x…，利用几何概型的概率公式计算所求概率为651633P．故选A．4．（2020•一卷模拟）已知关于x的不等式2230axxa在(0，2]上有解，则实数a的取值范围是()A．3(,)3B．4(,)7C．3(,)3D．4(,)7【答案】A【解析】(0x，2]时，不等式可化为32aaxx；当0a时，不等式为02，满足题意；当0a时，不等式化为32xxa，则23223xax，当且仅当3x时取等号，所以33a，即303a；当0a时，32xxa恒成立；综上知，实数a的取值范围是3(,)3．故选A．5．（2020•乃东区校级一模）若不等式210xax…对一切(0x，1]2成立，则a的最小值为()A．52B．0C．2D．3【答案】A【解析】不等式210xax…对一切(0x，1]2成立1()maxaxx…，(0x，1]2．令1()fxxx，(0x，1]2．22211()10xfxxx，函数()fx在(0x，1]2上单调递增，当12x时，函数()fx取得最大值，115()2222f．a的最小值为52．故选A．6．（2020•乃东区校级一模）关于x的不等式0axb的解集是(1,)，则关于x的不等式()(3)0axbx的解集是()A．(，1)(3，)B．(1,3)C．(1,3)D．(，1)(3，)【答案】A【解析】关于x的不等式0axb的解集是(1,)，01aba．关于x的不等式()(3)0axbx可化为(1)(3)0xx，1x或3x．关于x的不等式()(3)0axbx的解集是{|1xx或3}x．故选A．7．（2020•汉中二模）对于实数x，规定[]x表示不大于x的最大整数，那么不等式24[]36[]450xx成立的x的范围是()A．315(,)22B．[2，8]C．[2，8)D．[2，7]【答案】C【解析】由24[]36[]450xx，得315[]22x，又[]x表示不大于x的最大整数，所以28x„．故选C．8．（2020春•吉安期末）已知不等式20xbxc的解集为{|36}xx，则不等式2(1)20bxcx的解集为()A．1{|9xx，或2}xB．1{|2}9xxC．1{|9xx，或2}xD．1{|2}9xx【答案】C【解析】由题意，20xbxc的两根为3，6．则3636bc，解得918bc，则不等式2(1)20bxcx可化为291720xx，解得19x，或2x．故选C．9．（2020春•宣城期末）关于x的不等式2(1)10(0)axaxa的解集为()A．1{|1}xxaB．{|1xx或1}xaC．1{|xxa或1}xD．1{|1}xxa【答案】A【解析】不等式可化为(1)(1)0axx，0a，原不等式等价于1()(1)0xxa，且不等式对应的一元二次方程的根为1a和1；又11a，原不等式的解集为1{|1}xxa．故选A．10．（2020春•惠州期末）关于x的不等式210xmx的解集为R，则实数m的取值范围是()A．(0,4)B．(，2)(2，)C．[2，2]D．(2,2)【答案】D【解析】不等式210xmx的解集为R，所以△0，即240m，解得22m．故选D．11．（2020春•上饶期末）一元二次不等式(32)(1)0xx的解集是()A．3(1,)2B．3(,1)(,)2C．3(,1)2D．3(,)(1,)2【答案】B【解析】不等式(32)(1)0xx不等式(23)(1)0xx对应方程的解为32和1，所以不等式的解集为{|1xx或3}2x．故选B．12．（2020春•惠州期末）不等式2230xx的解集为()A．(3,1)B．(1,3)C．(，3)(1，)D．31x【答案】A【解析】2230xx，(3)(1)0xx，解得31x．用集合表示为(3,1)．故选A．13．（2019•青岛三模）若不等式210axax„的解集为实数集R，则实数a的取值范围为()A．04a剟B．40aC．40a„D．40a剟【答案】D【解析】0a时，不等式210axax„化为10„，解集为实数集R；0a时，应满足00a„，所以2040aaa„，解得40a„；综上，实数a的取值范围是40a剟．故选D．14．（2020•淄博模拟）设[]x表示不小于实数x的最小整数，则满足关于x的不等式2[][]120xx„的解可以为()A．10B．3C．4.5D．5【答案】BC【解析】不等式2[][]120xx„可化为([]4)([]3)0xx„，解得4[]3x剟；又[]x表示不小于实数x的最小整数，且[10]4，[3]3，[4.5]4，[5]5；所以满足不等式2[][]120xx„的解可以为B、C．故选BC．15．（2020•鼓楼区校级模拟）设关于x的不等式28(1)7160axaxa…，()aZ，只有有限个整数解，且0是其中一个解，则全部不等式的整数解的和为__________．【答案】10【解析】设28(1)716yaxaxa，其图象为抛物线．对于任意一个给定的a值其抛物线只有在开口向下的情况下才能满足0y…而整数解只有有限个，所以0a．因为0为其中的一个解可以求得167a…，又aZ，所以2a，1，则不等式为22820xx…和290x…，可分别求得5252x剟和33x剟，x为整数，4x，3，2，1，0和3x，2，1，0，1，2，3全部不等式的整数解的和为10故答案为：10．16．（2020春•仓山区校级期末）已知关于x的不等式230xax„，它的解集是[1，3]，则实数a__________．【答案】4【解析】关于x的不等式230xax„，它的解集是[1，3]，所有关于x的方程230xax的两根为1和3，由根与系数的关系知，实数(13)4a．故答案为：4．17．（2020•江苏一模）若关于x的不等式230xmx的解集是(1,3)，则实数m的值为__________．【答案】4【解析】不等式230xmx的解集是(1,3)，所以方程230xmx的解1和3，由根与系数的关系知，134m．故答案为：4．18．（2020•连云港模拟）若关于x的不等式210mxmx的解集不是空集，则m的取值范围是__________．【答案】(，0)(4，)【解析】若0m，则原不等式等价为10，此时不等式的解集为空集．所以不成立，即0m．若0m，要使不等式210mxmx的解集不是空集，则①0m时，有△240mm，解得4m．②若0m，则满足条件．综上满足条件的m的取值范围是(，0)(4，)．故答案为：(，0)(4，)．19．（2020•南通二模）已知关于x的不等式2(4)(4)0axax的解集为A，且A中共含有n个整数，则当n最小时实数a的值为__________．【答案】2【解析】已知关于x的不等式2(4)(4)0axax，①0a时，4[()](4)0xaxa，其中40aa，故解集为4(aa，4)，由于444()2()()4aaaaaa„，当且仅当4aa，即2a时取等号，4aa的最大值为4，当且仅当44aa时，A中共含有最少个整数，此时实数a的值为2；②0a时，4(4)0x，解集为(,4)，整数解有无穷多，故0a不符合条件；③0a时，4[()](4)0xaxa，其中44aa…，故解集为(，44)(aa，)，整数解有无穷多，故0a不符合条件；综上所述，2a．故答案为：2．