20202021学年高考数学考点第二章不等式二元一次不等式组与简单的线性规划问题理

二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题1．二元一次不等式(组)表示的平面区域不等式表示区域Ax＋By＋C0直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域不包括边界直线Ax＋By＋C≥0包括边界直线不等式组各个不等式所表示平面区域的公共部分2.线性规划中的基本概念名称意义约束条件由变量x，y组成的不等式(组)线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组目标函数关于x，y的函数解析式，如z＝2x＋3y等线性目标函数关于x，y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解(x，y)可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题概念方法微思考1．不等式x≥0表示的平面区域是什么？提示不等式x≥0表示的区域是y轴的右侧(包括y轴)．2．可行解一定是最优解吗？二者有何关系？提示不一定．最优解是可行解中的一个或多个．最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解，最优解不一定唯一．1．（2020•浙江）若实数x，y满足约束条件31030xyxy„…，则2zxy的取值范围是()A．(，4]B．[4，)C．[5，)D．(,)【答案】B【解析】画出实数x，y满足约束条件31030xyxy„…所示的平面区域，如图：将目标函数变形为122zxy，则z表示直线在y轴上截距，截距越大，z越大，当目标函数过点(2,1)A时，截距最小为224z，随着目标函数向上移动截距越来越大，故目标函数2zxy的取值范围是[4，)．故选B．2．（2019•天津）设变量x，y满足约束条件20,20,1,1,xyxyxy„………则目标函数4zxy的最大值为()A．2B．3C．5D．6【答案】C【解析】由约束条件20,20,1,1,xyxyxy„………作出可行域如图：联立120xxy，解得(1,1)A，化目标函数4zxy为4yxz，由图可知，当直线4yxz过A时，z有最大值为5．故选C．3．（2019•浙江）若实数x，y满足约束条件340,340,0,xyxyxy…„…则32zxy的最大值是()A．1B．1C．10D．12【答案】C【解析】由实数x，y满足约束条件3403400xyxyxy…„…作出可行域如图，联立340340xyxy，解得(2,2)A，化目标函数32zxy为3122yxz，由图可知，当直线3122yxz过(2,2)A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值：10．故选C．4．（2019•北京）若x，y满足||1xy„，且1y…，则3xy的最大值为()A．7B．1C．5D．7【答案】C【解析】由||11xyy„…作出可行域如图，联立110yxy，解得(2,1)A，令3zxy，化为3yxz，由图可知，当直线3yxz过点A时，z有最大值为3215．故选C．5．（2018•天津）设变量x，y满足约束条件52410xyxyxyy„„„…，则目标函数35zxy的最大值为()A．6B．19C．21D．45【答案】C【解析】由变量x，y满足约束条件52410xyxyxyy„„„…，得如图所示的可行域，由51xyxy解得(2,3)A．当目标函数35zxy经过A时，直线的截距最大，z取得最大值．将其代入得z的值为21，故选C．6．（2018•北京）设集合{(,)|1Axyxy…，4axy，2}xay„，则()A．对任意实数a，(2,1)AB．对任意实数a，(2,1)AC．当且仅当0a时，(2,1)AD．当且仅当32a„时，(2,1)A【答案】D【解析】当1a时，集合{(,)|1Axyxy…，4axy，2}{(,)|1xayxyxy剠，4xy，2}xy„，显然(2,1)不满足，4xy，2xy„，所以A不正确；当4a，集合{(,)|1Axyxy…，4axy，2}{(,)|1xayxyxy剠，44xy，42}xy„，显然(2,1)在可行域内，满足不等式，所以B不正确；当1a，集合{(,)|1Axyxy…，4axy，2}{(,)|1xayxyxy剠，4xy，2}xy„，显然(2,1)A，所以当且仅当0a错误，所以C不正确；故选D．7．（2020•上海）已知x、y满足202300xyxyy…„…，则2zyx的最大值为_________．【答案】1【解析】由约束条件202300xyxyy…„…作出可行域如图阴影部分，化目标函数2zyx为2yxz，由图可知，当直线2yxz过A时，直线在y轴上的截距最大，联立20230xyxy，解得11xy，即(1,1)A．z有最大值为1211．故答案为：1．8．（2020•新课标Ⅱ）若x，y满足约束条件1,1,21,xyxyxy……„则2zxy的最大值是_________．【答案】8【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：由2zxy得1122yxz，平移直线1122yxz由图象可知当直线1122yxz经过点A时，直线1122yxz的截距最大，此时z最大，由121xyxy，解得(2,3)A，此时2238z，故答案为：8．9．（2020•新课标Ⅲ）若x，y满足约束条件0,20,1,xyxyx……„则32zxy的最大值为_________．【答案】7【解析】先根据约束条件画出可行域，由120xxy解得(1,2)A，如图，当直线32zxy过点(1,2)A时，目标函数在y轴上的截距取得最大值时，此时z取得最大值，即当1x，2y时，31227maxz．故答案为：7．10．（2020•新课标Ⅰ）若x，y满足约束条件220,10,10,xyxyy„……则7zxy的最大值为_________．【答案】1【解析】x，y满足约束条件220,10,10,xyxyy„……，不等式组表示的平面区域如图所示，由22010xyxy，可得(1,0)A时，目标函数7zxy，可得1177yxz，当直线1177yxz过点A时，在y轴上截距最大，此时z取得最大值：1701．故答案为：1．11．（2020•上海）不等式13x的解集为_________．【答案】1(0,)3【解析】由13x得130xx，则(13)0xx，即(31)0xx，解得103x，所以不等式的解集是1(0,)3，故答案为：1(0,)3．12．（2019•上海）已知x，y满足002xyxy……„，则23zxy的最小值为_________．【答案】6【解析】作出不等式组002xyxy……„表示的平面区域，由23zxy即23xzy，表示直线在y轴上的截距的相反数的13倍，平移直线230xy，当经过点(0,2)时，23zxy取得最小值6，故答案为：6．13．（2019•天津）设xR，使不等式2320xx成立的x的取值范围为_________．【答案】2(1,)3【解析】2320xx，将232xx分解因式即有：(1)(32)0xx；2(1)()03xx；由一元二次不等式的解法“小于取中间，大于取两边”可得：213x；即：2{|1}3xx；或2(1,)3；故答案为：2(1,)3．14．（2019•新课标Ⅱ）若变量x，y满足约束条件2360,30,20,xyxyy…„„则3zxy的最大值是_________．【答案】9【解析】由约束条件2360,30,20,xyxyy…„„作出可行域如图：化目标函数3zxy为3yxz，由图可知，当直线3yxz过(3,0)A时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为9．故答案为：9．15．（2019•北京）若x，y满足2,1,4310,xyxy„……则yx的最小值为_________，最大值为_________．【答案】3，1【解析】由约束条件2,1,4310,xyxy„……作出可行域如图，(2,1)A，(2,3)B，令zyx，作出直线yx，由图可知，平移直线yx，当直线zyx过A时，z有最小值为3，过B时，z有最大值1．故答案为：3，1．16．（2018•浙江）若x，y满足约束条件0262xyxyxy…„…，则3zxy的最小值是_________，最大值是_________．【答案】2；8【解析】作出x，y满足约束条件0262xyxyxy…„…表示的平面区域，如图：其中(4,2)B，(2,2)A．设(,)3zFxyxy，将直线:3lzxy进行平移，观察直线在y轴上的截距变化，可得当l经过点B时，目标函数z达到最小值．4,22zF最小值．可得当l经过点A时，目标函数z达到最最大值：2,28zF最大值．故答案为：2；8．17．（2018•新课标Ⅲ）若变量x，y满足约束条件23024020xyxyx……„，则13zxy的最大值是_________．【答案】3【解析】画出变量x，y满足约束条件23024020xyxyx……„表示的平面区域如图：由2240xxy解得(2,3)A．13zxy变形为33yxz，作出目标函数对应的直线，当直线过(2,3)A时，直线的纵截距最小，z最大，最大值为12333，故答案为：3．18．（2018•北京）若x，y满足12xyx剟，则2yx的最小值是_________．【答案】3【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：设2zyx，则1122yxz，平移1122yxz，由图象知当直线1122yxz经过点A时，直线的截距最小，此时z最小，由12xyyx得12xy，即(1,2)A，此时2213z，故答案为：3．1．（2020•杭州模拟）设M为不等式1010xyxy所表示的平面区域，则位于M内的点是()A．(0,2)B．(2,0)C．(0,2)D．(2,0)【答案】C【解析】把(0,2)代入不等式10xy，得10，成立，点A不在不等式组1010xyxy表示的平面区域内；把(2,0)代入不等式10xy，得30，成立但20110不成立，点B不在不等式组1010xyxy表示的平面区域内；把(0,2)代入不等式10xy，得30，成立且0(2)10，点C在不等式组1010xyxy表示的平面区域内；把(2,0)代入不等式10xy，得10，不成立，点D不在不等式组1010xyxy表示的平面区域内．故选C．2．（2020•德阳模拟）不等式组201230xyyxxy……„表示的平面区域为，则()A．(,)xy，23xyB．(,)xy，25xyC．2(,),31yxyxD．2(,),51yxyx【答案】D【解析】不等式组对应的平面区域如图：20(1,2)30xyAxy；1(2,1)230yxBxy