20202021学年高考数学考点第五章三角函数解三角形三角函数的图象与性质理

1三角函数的图象与性质1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)在正弦函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，π2，1，(π，0)，3π2，－1，(2π，0)．(2)在余弦函数y＝cosx，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，π2，0，(π，－1)，3π2，0，(2π，1)．2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象定义域RR错误!值域[－1,1][－1,1]R周期性2π2ππ奇偶性奇函数偶函数奇函数递增区间错误![2kπ－π，2kπ]错误!递减区间错误![2kπ，2kπ＋π]无对称中心(kπ，0)kπ＋π2，0kπ2，0对称轴方程x＝kπ＋π2x＝kπ无概念方法微思考1．正(余)弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是多少？相邻两个对称中心的距离呢？提示正(余)弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是半个周期；相邻两个对称中心的距离也为半个周期．2．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)是奇函数，偶函数的充要条件分别是什么？提示(1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝π2＋kπ(k∈Z)；(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z)．21．（2019•新课标Ⅱ）若14x，234x是函数()sin(0)fxx两个相邻的极值点，则()A．2B．32C．1D．12【答案】A【解析】14x，234x是函数()sin(0)fxx两个相邻的极值点，322()44T2，故选A．2．（2019•新课标Ⅱ）下列函数中，以2为最小正周期且在区间(4，)2单调递增的是()A．()|cos2|fxxB．()|sin2|fxxC．()cos||fxxD．()sin||fxx【答案】A【解析】()sin||fxx不是周期函数，可排除D选项；()cos||fxx的周期为2，可排除C选项；()|sin2|fxx在4处取得最大值，不可能在区间(4，)2单调递增，可排除B．故选A．3．（2019•新课标Ⅲ）设函数()sin()(0)5fxx，已知()fx在[0，2]有且仅有5个零点．下述四个结论：①()fx在(0,2)有且仅有3个极大值点②()fx在(0,2)有且仅有2个极小值点③()fx在(0,)10单调递增④的取值范围是12[5，29)10其中所有正确结论的编号是()A．①④B．②③C．①②③D．①③④【答案】D【解析】当[0x，2]时，[55x，2]5，3()fx在[0，2]有且仅有5个零点，5265„，1229510„，故④正确，因此由选项可知只需判断③是否正确即可得到答案，下面判断③是否正确，当(0,)10x时，[55x，(2)]10，若()fx在(0,)10单调递增，则(2)102，即3，1229510„，故③正确．故选D．4．（2018•新课标Ⅲ）函数2tan()1xfxtanx的最小正周期为()A．4B．2C．D．2【答案】C【解析】函数222tansincos1()sin21cossin2xxxfxxtanxxx的最小正周期为22，故选C．5．（2018•新课标Ⅰ）已知函数22()2cossin2fxxx，则()A．()fx的最小正周期为，最大值为3B．()fx的最小正周期为，最大值为4C．()fx的最小正周期为2，最大值为3D．()fx的最小正周期为2，最大值为4【答案】B【解析】函数22()2cossin2fxxx22222cossin2sin2cosxxxx224cossinxx23cos1xcos21312x43cos2522x，故函数的最小正周期为，函数的最大值为35422，故选B．6．（2017•天津）设函数()2sin()fxx，xR，其中0，||．若5()28f，11()08f，且()fx的最小正周期大于2，则()A．23，12B．23，1112C．13，1124D．13，724【答案】A【解析】由()fx的最小正周期大于2，得42T，又5()28f，11()08f，得11534884T，3T，则23，即23．2()2sin()2sin()3fxxx，由525()2sin()2838f，得5sin()112．52122k，kZ．取0k，得12．23，12．故选A．7．（2017•新课标Ⅱ）函数()sin(2)3fxx的最小正周期为()A．4B．2C．D．2【答案】C【解析】函数()sin(2)3fxx的最小正周期为：22．故选C．8．（2017•新课标Ⅲ）函数1()sin()cos()536fxxx的最大值为()5A．65B．1C．35D．15【答案】A【解析】函数111()sin()cos()sin()cos()sin()sin()536536533fxxxxxxx66sin()535x„．故选A．9．（2017•新课标Ⅲ）设函数()cos()3fxx，则下列结论错误的是()A．()fx的一个周期为2B．()yfx的图象关于直线83x对称C．()fx的一个零点为6xD．()fx在(2，)单调递减【答案】D【解析】A．函数的周期为2k，当1k时，周期2T，故A正确，B．当83x时，89cos()cos()coscos313333x为最小值，此时()yfx的图象关于直线83x对称，故B正确，C当6x时，3()cos()cos06632f，则()fx的一个零点为6x，故C正确，D．当2x时，54633x，此时函数()fx不是单调函数，故D错误，故选D．10．（2017•山东）函数3sin2cos2yxx的最小正周期为()A．2B．23C．D．2【答案】C【解析】函数3sin2cos22sin(2)6yxxx，2，T，故选C．611．（2020•北京）若函数()sin()cosfxxx的最大值为2，则常数的一个取值为__________．【答案】2【解析】解法1:()sin()cossincoscossincosfxxxxxxsincos(1sin)cosxx22(1sin)sin()cosx，其中22coscos(1sin)cos，221sinsin(1sin)cos，所以()fx最大值为22(1sin)2cos，所以22cos(1sin)4，即22sin4，所以sin1，所以22k，kZ时均满足题意，故可选0k时，2．解法2:sin()1x„，cos1x„，又函数()sin()cosfxxx的最大值为2，所以当且仅当sin()1x，cos1x时函数()fx取到最大值，此时2xk，kZ，则sin()sin1x，于是22k，kZ时均满足题意，故可选0k时，2．故答案为：2．12．（2020•上海）函数tan2yx的最小正周期为__________．【答案】2【解析】函数tan2yx的最小正周期为2，故答案为：2．13．（2020•江苏）将函数3sin(2)4yx的图象向右平移6个单位长度，则平移后的图象中与y轴7最近的对称轴的方程是__________．【答案】524x【解析】因为函数3sin(2)4yx的图象向右平移6个单位长度可得()()3sin(2)3sin(2)63412gxfxxx，则()ygx的对称轴为2122xk，kZ，即7242kx，kZ，当0k时，724x，当1k时，524x，所以平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是524x，故答案为：524x，14．（2019•北京）函数2()sin2fxx的最小正周期是__________．【答案】2【解析】2()sin(2)fxx，11()cos(4)22fxx，()fx的周期2T，故答案为：2．15．（2018•北京）设函数()cos()(0)6fxx，若()()4fxf„对任意的实数x都成立，则的最小值为__________．【答案】23【解析】函数()cos()(0)6fxx，若()()4fxf„对任意的实数x都成立，可得：246k，kZ，解得283k，kZ，0则的最小值为：23．故答案为：23．816．（2018•江苏）已知函数sin(2)()22yx的图象关于直线3x对称，则的值为__________．【答案】6【解析】sin(2)()22yx的图象关于直线3x对称，232k，kZ，即6k，22，当0k时，6，故答案为：6．17．（2017•新课标Ⅱ）函数23()sin3cos([0,])42fxxxx的最大值是__________．【答案】1【解析】2233()sin3cos1cos3cos44fxxxxx，令cosxt且[0t，1]，则22133()142yttt，当32t时，()1maxft，即()fx的最大值为1，故答案为：118．（2017•新课标Ⅱ）函数()2cossinfxxx的最大值为__________．【答案】5【解析】函数255()2cossin5(cossin)5sin()55fxxxxxx，其中tan2，可知函数的最大值为：5．故答案为：5．19．（2020•上海）已知函数()sinfxx，0．（1）()fx的周期是4，求，并求1()2fx的解集；9（2）已知1，2()()3()()2gxfxfxfx，[0x，]4，求()gx的值域．【解析】（1）由于()fx的周期是4，所以2142，所以1()sin2fxx．令11sin22x，故1226xk或526k，整理得43xk或543xk．故解集为{|43xxk或543xk，}kZ．（2）由于1，所以()sinfxx．所以21cos233111()sin3sin()sin()sin2sin2cos2sin(2)22222226xgxxxxxxxx．由于[0x，]4，所以22663x剟．1sin(2)126x剟，故11sin(2)62x剟，故1()02gx剟．所以函数()gx的值域为1[,0]2．20．（2019•全国）已知函数22()2sin4cos1fxxx．（1）求()fx的最小正周期；（2）设g()()2xxf，求()gx在区间[0，]3的最大值与最小值．【解析】22()2sin4cos11cos22(1cos2)13cos2fxxxxxx．（1）()fx的最小正周期22T；（2）g()()3cos(2)3cos22xxxfx，[