20202021学年高考数学考点第五章三角函数解三角形解三角形理

1解三角形1．正弦定理、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理内容(1)asinA＝bsinB＝csinC＝2R(2)a2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝c2＋a2－2cacosB；c2＝a2＋b2－2abcosC变形(3)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；(4)sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R；(5)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；(6)asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA(7)cosA＝b2＋c2－a22bc；cosB＝c2＋a2－b22ac；cosC＝a2＋b2－c22ab2.三角形常用面积公式(1)S＝12a·ha(ha表示边a上的高)；(2)S＝12absinC＝12acsinB＝12bcsinA；(3)S＝12r(a＋b＋c)(r为三角形内切圆半径)．3．测量中的有关几个术语术语名称术语意义图形表示仰角与俯角在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角方位角从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角．方位角θ的范围是0°≤θ360°方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)α例：(1)北偏东α：(2)南偏西α：2坡角与坡比坡面与水平面所成锐二面角叫坡角(θ为坡角)；坡面的垂直高度与水平宽度之比叫坡比(坡度)，即i＝hl＝tanθ概念方法微思考1．若角α，β在第一象限，αβ能否推出sinαsinβ？在△ABC中，AB是否可推出sinAsinB?提示第一象限的角αβ不能推出sinαsinβ.在△ABC中，由AB可推出sinAsinB.2．在△ABC中，已知a，b和锐角A，讨论a，b，sinA满足什么条件时，三角形无解，有一解，有两解．提示图形关系式absinAbsinAaba＝bsinA或a≥b解的个数无解两解一解1．（2020•新课标Ⅲ）在ABC中，2cos3C，4AC，3BC，则cos(B)A．19B．13C．12D．23【答案】A【解析】在ABC中，2cos3C，4AC，3BC，由余弦定理可得2222222cos4324393ABACBCACBCC；故3AB；2222223341cos22339ABBCACBABBC，故选A．2．（2020•新课标Ⅲ）在ABC中，2cos3C，4AC，3BC，则tan(B)A．5B．25C．45D．853【答案】C【解析】2cos3C，4AC，3BC，215tan12CcosC，222222cos4324333ABACBCACBCC，可得AC，2BC，则2522tan2tantan(2)tan2455114CBCCtanC．故选C．3．（2019•新课标Ⅰ）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知sinsin4sinaAbBcC，1cos4A，则(bc)A．6B．5C．4D．3【答案】A【解析】ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，sinsin4sinaAbBcC，1cos4A，22222241cos24abcbcaAbc，解得2132cbc，6bc．故选A．4．（2018•新课标Ⅱ）在ABC中，5cos25C，1BC，5AC，则(AB)A．42B．30C．29D．25【答案】A【解析】在ABC中，5cos25C，253cos2()155C，1BC，5AC，则2232cos12521532425ABBCACBCACC．故选A．45．（2018•新课标Ⅲ）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若ABC的面积为2224abc，则(C)A．2B．3C．4D．6【答案】C【解析】ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．ABC的面积为2224abc，2221sin24ABCabcSabC，222sincos2abcCCab，0C，4C．故选C．6．（2017•山东）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若ABC为锐角三角形，且满足sin(12cos)2sincoscossinBCACAC，则下列等式成立的是()A．2abB．2baC．2ABD．2BA【答案】A【解析】在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足sin(12cos)2sincoscossinsincossin()sincossinBCACACACACACB，可得：2sincossincosBCAC，因为ABC为锐角三角形，所以2sinsinBA，由正弦定理可得：2ba．故选A．7．（2019•浙江）在ABC中，90ABC，4AB，3BC，点D在线段AC上，若45BDC，则BD___________，cosABD___________．【答案】1225，7210【解析】在直角三角形ABC中，4AB，3BC，5AC，4sin5C，在BCD中，可得3sin22BDC，可得1225BD；135CBDC，224372sinsin(135)(cossin)()225510CBDCCC，5即有72coscos(90)sin10ABDCBDCBD，故答案为：1225，7210．8．（2019•新课标Ⅱ）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若6b，2ac，3B，则ABC的面积为___________．【答案】63【解析】由余弦定理有2222cosbacacB，6b，2ac，3B，22236(2)4cos3ccc，212c，21sinsin632ABCSacBcB，故答案为：63．9．（2019•新课标Ⅱ）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知sincos0bAaB，则B___________．【答案】34【解析】sincos0bAaB，由正弦定理可得：sinsinsincos0ABAB，(0,)A，sin0A，可得：sincos0BB，可得：tan1B，(0,)B，34B．故答案为：34．610．（2019•上海）在ABC中，3AC，3sin2sinAB，且1cos4C，则AB___________．【答案】10【解析】3sin2sinAB，由正弦定理可得：32BCAC，由3AC，可得：2BC，1cos4C，由余弦定理可得：2221324232AB，解得：10AB．故答案为：10．11．（2018•江苏）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，120ABC，ABC的平分线交AC于点D，且1BD，则4ac的最小值为___________．【答案】9【解析】由题意得111sin120sin60sin60222acac，即acac，得111ac，得11444(4)()525459cacaacacacacac…，当且仅当4caac，即2ca时，取等号，故答案为：9．12．（2018•浙江）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若7a，2b，60A，则sinB___________，c___________．【答案】217，3【解析】在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．7a，2b，60A，由正弦定理得：sinsinabAB，即72sin60sinB，解得32212sin77B．由余弦定理得：7247cos6022cc，解得3c或1c（舍)，21sin7B，3c．故答案为：217，3．13．（2018•新课标Ⅰ）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知sinsin4sinsinbCcBaBC，2228bca，则ABC的面积为___________．【答案】233【解析】ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．sinsin4sinsinbCcBaBC，利用正弦定理可得sinsinsinsin4sinsinsinBCCBABC，由于0B，0C，所以sinsin0BC，所以1sin2A，则566A或由于2228bca，则：222cos2bcaAbc，①当6A时，3822bc，解得833bc，所以123sin23ABCSbcA．②当56A时，3822bc，解得833bc（不合题意），舍去．故：233ABCS．故答案为：233．14．（2018•北京）若ABC的面积为2223()4acb，且C为钝角，则B___________；ca的8取值范围是___________．【答案】3；(2,)【解析】ABC的面积为2223()4acb，可得：22231()sin42acbacB，sin3cosBB，可得：tan3B，所以3B，C为钝角，(0,)6A，1tancotAA，1(3tanA，)．sinsin()1131cossin(2,)sinsintan22tancCABBBaAAAA．故答案为：3；(2,)．15．（2020•天津）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知22a，5b，13c．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）求sinA的值；（Ⅲ）求sin(2)4A的值．【解析】（Ⅰ）由余弦定理以及22a，5b，13c，则222825132cos222225abcCab，(0,)C，4C；（Ⅱ）由正弦定理，以及4C，22a，13c，可得222sin2132sin1313aCAc；（Ⅲ）由ac，及213sin13A，可得2313cos113AsinA，则21331312sin22sincos2131313AAA，25cos22cos113AA，22125172sin(2)(sin2cos2)()422131326AAA．16．（2020•北京）在ABC中，11ab，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：9（Ⅰ）a的值；（Ⅱ）sinC和ABC的面积．条件①：7c，1cos7A；条件②：1cos8A，9cos16B．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．【解析】选择条件①（Ⅰ）由余弦定理得2222cosabcbcA，即2214914()4927abbb，()()492ababb，11ab，1111492abb，即111349ab，联立11111349abab，解得8a，3b，故8a．（Ⅱ）在ABC中，sin0A，243sin17AcosA，由正弦定理可得sinsinacAC，437sin37sin82cACa，113sin8363222ABCSabC．选择条件②（Ⅰ）在ABC中，sin0A，sin0B，()CAB，1cos8A，9cos16B，237sin18AcosA，257sin116BcosB，由正弦定理可得sinsinabAB，sin6sin5aAbB，11ab，106a，5b