20202021学年高考数学考点第八章立体几何与空间向量84直线平面垂直的判定与性质理

考点8.4直线、平面垂直的判定与性质1．直线与平面垂直(1)定义如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α，直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．(2)判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直a，b⊂αa∩b＝Ol⊥al⊥b⇒l⊥α性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行a⊥αb⊥α⇒a∥b2.直线和平面所成的角(1)定义平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．若一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角，若一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0°的角．(2)范围：0，π2.3．平面与平面垂直(1)二面角的有关概念①二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；②二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角．(2)平面和平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．(3)平面与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直l⊥αl⊂β⇒α⊥β性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直α⊥βl⊂βα∩β＝al⊥a⇒l⊥α概念方法微思考1．若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面吗？提示垂直．若两平行线中的一条垂直于一个平面，那么在平面内可以找到两条相交直线与该直线垂直，根据异面直线所成的角，可以得出两平行直线中的另一条也与平面内的那两条直线成90°的角，即垂直于平面内的这两条相交直线，所以垂直于这个平面．2．两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面吗？提示垂直．在两个相交平面内分别作与第三个平面交线垂直的直线，则这两条直线都垂直于第三个平面，那么这两条直线互相平行．由线面平行的性质定理可知，这两个相交平面的交线与这两条垂线平行，所以该交线垂直于第三个平面．1．（2017•新课标Ⅲ）在正方体1111ABCDABCD中，E为棱CD的中点，则()A．11AEDCB．1AEBDC．11AEBCD．1AEAC【答案】C【解析】法一：连1BC，由题意得11BCBC，11AB平面11BBCC，且1BC平面11BBCC，111ABBC，1111ABBCB，1BC平面11AECB，1AE平面11AECB，11AEBC．故选C．法二：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，1DD为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体1111ABCDABCD中棱长为2，则1(2A，0，2)，(0E，1，0)，(2B，2，0)，(0D，0，0)，1(0C，2，2)，(2A，0，0)，(0C，2，0)，1(2AE，1，2)，1(0DC，2，2)，(2BD，2，0)，1(2BC，0，2)，(2AC，2，0)，112AEDC，12AEBD，110AEBC，16AEAC，11AEBC．故选C．2．（2016•浙江）已知互相垂直的平面，交于直线l，若直线m，n满足//m，n，则()A．//mlB．//mnC．nlD．mn【答案】C【解析】互相垂直的平面，交于直线l，直线m，n满足//m，//m或m或m与相交，l，n，nl．故选C．3．（2019•北京）已知l，m是平面外的两条不同直线．给出下列三个论断：①lm；②//m；③l．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________．【答案】若l，lm，则//m．（或若l，//m，则)lm【解析】由l，m是平面外的两条不同直线，知：由线面平行的判定定理得：若l，lm，则//m．若l，//m，则由线面垂直的性质和线面平行的性质得lm，若l，//m，则lm故答案为：若l，lm，则//m．（或若l，//m，则)lm．4．（2019•江苏）如图，在直三棱柱111ABCABC中，D，E分别为BC，AC的中点，ABBC．求证：（1）11//AB平面1DEC；（2）1BECE．【解析】（1）在直三棱柱111ABCABC中，D，E分别为BC，AC的中点，//DEAB，11//ABAB，11//DEAB，DE平面1DEC，11AB平面1DEC，11//AB平面1DEC．解：（2）在直三棱柱111ABCABC中，E是AC的中点，ABBC．BEAC，直三棱柱111ABCABC中，1AA平面ABC，BE平面ABC，1BEAA，又1AAACA，BE平面11ACCA，1CE平面11ACCA，1BECE．5．（2017•江苏）如图，在三棱锥ABCD中，ABAD，BCBD，平面ABD平面BCD，点E、(FE与A、D不重合）分别在棱AD，BD上，且EFAD．求证：（1）//EF平面ABC；（2）ADAC．【解析】（1）ABAD，EFAD，且A、B、E、F四点共面，//ABEF，又EF平面ABC，AB平面ABC，//EF平面ABC；（2）在线段CD上取点G，连结FG、EG使得//FGBC，则//EGAC，BCBD，//FGBC，FGBD，又平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCDBD，FG平面BCD，FG平面ABD，AD平面ABD，FGAD，ADEF，且EFFGF，AD平面EFG，EG平面EFG，ADEG，//EGAC，ADAC．6．（2020•江苏）在三棱柱111ABCABC中，ABAC，1BC平面ABC，E，F分别是AC，1BC的中点．（1）求证：//EF平面11ABC；（2）求证：平面1ABC平面1ABB．【解析】（1）E，F分别是AC，1BC的中点．所以1//EFAB，因为EF平面11ABC，1AB平面11ABC，所以//EF平面11ABC；（2）因为1BC平面ABC，AB平面1ABB，所以1BCAB，又因为ABAC，1ACBCC，AC平面1ABC，1BC平面1ABC，所以AB平面1ABC，因为AB平面1ABB，所以平面1ABC平面1ABB．7．（2020•新课标Ⅰ）如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，90APC．（1）证明：平面PAB平面PAC；（2）设2DO，圆锥的侧面积为3，求三棱锥PABC的体积．【解析】（1）连接OA，OB，OC，ABC是底面的内接正三角形，所以ABBCAC．O是圆锥底面的圆心，所以：OAOBOC，所以222222APBPCPOAOPOBOPOCOP，所以APBBPCAPC，由于90APC，所以90APBBPC，所以APBP，CPBP，由于APCPP，所以BP平面APC，由于BP平面PAB，所以：平面PAB平面PAC．（2）设圆锥的底面半径为r，圆锥的母线长为l，所以22lr．由于圆锥的侧面积为3，所以223rr，整理得22(3)(1)0rr，解得1r．所以111211()32AB．由于222APBPAB，解得32AP则：113336322228PABCV．8．（2019•北京）如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点．（Ⅰ）求证：BD平面PAC；（Ⅱ）若60ABC，求证：平面PAB平面PAE；（Ⅲ）棱PB上是否存在点F，使得//CF平面PAE？说明理由．【解析】（Ⅰ）四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD为菱形，BDPA，BDAC，PAACA，BD平面PAC．（Ⅱ）在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点，60ABC，ABAE，PAAE，PAABA，AE平面PAB，AE平面PAE，平面PAB平面PAE．解：（Ⅲ）棱PB上是存在中点F，使得//CF平面PAE．理由如下：取AB中点G，连结GF，CG，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点，//CGAE，//FGPA，CGFGG，AEPAA，平面//CFG平面PAE，CF平面CFG，//CF平面PAE．9．（2018•新课标Ⅲ）如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧CD所在平面垂直，M是CD上异于C，D的点．（1）证明：平面AMD平面BMC；（2）在线段AM上是否存在点P，使得//MC平面PBD？说明理由．【解析】（1）矩形ABCD所在平面与半圆弦CD所在平面垂直，所以AD半圆弦CD所在平面，CM半圆弦CD所在平面，CMAD，M是CD上异于C，D的点．CMDM，DMADD，CM平面AMD，CM平面CMB，平面AMD平面BMC；（2）存在P是AM的中点，理由：连接BD交AC于O，取AM的中点P，连接OP，可得//MCOP，MC平面BDP，OP平面BDP，所以//MC平面PBD．10．（2018•北京）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD平面ABCD，PAPD，PAPD，E，F分别为AD，PB的中点．（Ⅰ）求证：PEBC；（Ⅱ）求证：平面PAB平面PCD；（Ⅲ）求证：//EF平面PCD．【解析】（Ⅰ）PAPD，E为AD的中点，可得PEAD，底面ABCD为矩形，可得//BCAD，则PEBC；（Ⅱ）由于平面PAB和平面PCD有一个公共点P，且//ABCD，在平面PAB内过P作直线//PGAB，可得//PGCD，即有平面PAB平面PCDPG，由平面PAD平面ABCD，又ABAD，可得AB平面PAD，即有ABPA，PAPG；同理可得CDPD，即有PDPG，可得APD为平面PAB和平面PCD的平面角，由PAPD，可得平面PAB平面PCD；（Ⅲ）取PC的中点H，连接DH，FH，在三角形PBC中，FH为中位线，可得//FHBC，12FHBC，由//DEBC，12DEBC，可得DEFH，//DEFH，四边形EFHD为平行四边形，可得//EFDH，EF平面PCD，DH平面PCD，即有//EF平面PCD．11．（2017•新课标Ⅰ）如图，在四棱锥PABCD中，//ABCD，且90BAPCDP．（1）证明：平面PAB平面PAD；（2）若PAPDABDC，90APD，且四棱锥PABCD的体积为83，求该四棱锥的侧面积．【解析】（1）在四棱锥PABCD中，90BAPCDP，ABPA，CDPD，又//ABCD，ABPD，PAPDP，AB平面PAD，AB平面PAB，平面PAB平面PAD．解：（2）设PAPDABDCa，取AD中点O，连结PO，PAPDABDC，90APD，平面PAB平面PAD，PO底面ABCD，且222ADaaa，22POa，四棱锥PABCD的体积为83，由AB平面PAD，得ABAD，13PABCDABCDVSPO四边形311218233233ABADPOaaaa，解得2a，2PAPDABDC，22ADBC，2PO，4422PBPC，该四棱锥的侧面积：PADPABPDCPBCSSSSS侧221111()22222BCPAPDPAABPDDCBCPB111122222222822222