20202021学年高考数学考点第八章立体几何与空间向量85空间向量及其应用理

考点8.5空间向量及其应用1．空间向量的有关概念名称概念表示零向量模为0的向量0单位向量长度(模)为1的向量相等向量方向相同且模相等的向量a＝b相反向量方向相反且模相等的向量a的相反向量为－a共线向量表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量a∥b共面向量平行于同一个平面的向量2.空间向量中的有关定理(1)共线向量定理空间两个向量a与b(b≠0)共线的充要条件是存在唯一的实数λ，使得a＝λb.(2)共面向量定理共面向量定理的向量表达式：p＝xa＋yb，其中x，y∈R，a，b为不共线向量．(3)空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，{a，b，c}叫做空间的一个基底．3．空间向量的数量积及运算律(1)数量积及相关概念①两向量的夹角已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作OA→＝a，OB→＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉，其范围是0≤〈a，b〉≤π，若〈a，b〉＝π2，则称a与b互相垂直，记作a⊥b.②两向量的数量积已知空间两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做向量a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．(2)空间向量数量积的运算律①(λa)·b＝λ(a·b)；②交换律：a·b＝b·a；③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.4．空间向量的坐标表示及其应用设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．向量表示坐标表示数量积a·ba1b1＋a2b2＋a3b3共线a＝λb(b≠0，λ∈R)a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3垂直a·b＝0(a≠0，b≠0)a1b1＋a2b2＋a3b3＝0模|a|a21＋a22＋a23夹角余弦cos〈a，b〉＝a·b|a||b|(a≠0，b≠0)cos〈a，b〉＝a1b1＋a2b2＋a3b3a21＋a22＋a23·b21＋b22＋b235.空间位置关系的向量表示(1)直线的方向向量直线的方向向量是指和这条直线平行(或在这条直线上)的有向线段所表示的向量，一条直线的方向向量有无数个．(2)平面的法向量直线l⊥平面α，取直线l的方向向量，则这个向量叫做平面α的法向量．显然一个平面的法向量有无数个，它们是共线向量．(3)位置关系向量表示直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2l1∥l2n1∥n2⇔n1＝λn2l1⊥l2n1⊥n2⇔n1·n2＝0直线l的方向向量为n，平面α的法向量为ml∥αn⊥m⇔n·m＝0l⊥αn∥m⇔n＝λm平面α，β的法向量分别为n，mα∥βn∥m⇔n＝λmα⊥βn⊥m⇔n·m＝0概念方法微思考1．共线向量与共面向量相同吗？提示不相同．平行于同一平面的向量就为共面向量．2．零向量能作为基向量吗？提示不能．由于零向量与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，故零向量不能作为基向量．1．（2018•新课标Ⅱ）在正方体1111ABCDABCD中，E为棱1CC的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为()A．22B．32C．52D．72【答案】C【解析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，1DD为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体1111ABCDABCD棱长为2，则(2A，0，0)，(0E，2，1)，(0D，0，0)，(0C，2，0)，(2AE，2，1)，(0CD，2，0)，设异面直线AE与CD所成角为，则||42cos3||||92AECDAECD，225sin1()33，5tan2．异面直线AE与CD所成角的正切值为52．故选C．2．（2018•新课标Ⅱ）在长方体1111ABCDABCD中，1ABBC，13AA，则异面直线1AD与1DB所成角的余弦值为()A．15B．56C．55D．22【答案】C【解析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，1DD为z轴，建立空间直角坐标系，在长方体1111ABCDABCD中，1ABBC，13AA，(1A，0，0)，1(0D，0，3)，(0D，0，0)，1(1B，1，3)，1(1AD，0，3)，1(1DB，1，3)，设异面直线1AD与1DB所成角为，则1111||25cos5||||25ADDBADDB，异面直线1AD与1DB所成角的余弦值为55．故选C．3．（2018•全国）长方体1111ABCDABCD，4ABAD，18AA，E、F、G为AB、11AB、1DD的中点，H为11AD上一点，则11AH，求异面直线FH与EG所成角的余弦值__________．【答案】4515【解析】长方体1111ABCDABCD，4ABAD，18AA，E、F、G为AB、11AB、1DD的中点，H为11AD上一点，则11AH，以D为原点，DA为x国，DC为y轴，1DD为z轴，建立空间直角坐标系，(4F，2，8)，(3H，0，8)，(4E，2，0)，(0G，0，4)，(1FH，2，0)，(4EG，2，4)，设异面直线FH与EG所成角为，则||845cos15||||536FHEGFHEG．故答案为：4515．4．（2018•江苏）如图，在正三棱柱111ABCABC中，12ABAA，点P，Q分别为11AB，BC的中点．（1）求异面直线BP与1AC所成角的余弦值；（2）求直线1CC与平面1AQC所成角的正弦值．【解析】如图，在正三棱柱111ABCABC中，设AC，11AC的中点分别为O，1O，则，OBOC，1OOOC，1OOOB，故以1{,,}OBOCOO为基底，建立空间直角坐标系Oxyz，12ABAA，(0A，1，0)，(3B，0，0)，(0C，1，0)，1(0A，1，2)，1(3B，0，2)，1(0C，1，2)．（1）点P为11AB的中点．31(,,2)22P，31(,,2)22BP，1(0,2,2)AC．111|||14|310|cos,|20||||522BPACBPACBPAC．异面直线BP与1AC所成角的余弦值为：31020；（2）Q为BC的中点．31(,,0)22Q33(,,0)22AQ，11(0,2,2),(0,0,2)ACCC，设平面1AQC的一个法向量为(nx，y，)z，由133022220AQnxyACnyz，可取(3n，1，1)，设直线1CC与平面1AQC所成角的正弦值为，111||25sin|cos,|5||||52CCnCCnCCn，直线1CC与平面1AQC所成角的正弦值为55．1．（2020•东湖区校级三模）如图，在棱长为4的正方体1111ABCDABCD中，点E是棱11AD的中点，113DFFC，若过点A，E，F的平面分别交棱1CC、BC于点G，H，则线段GH的长度为()A．343B．453C．973D．103【答案】B【解析】如图，连接AE，延长EF、11BC，相交于M，点E是棱11AD的中点，113DFFC，且正方体1111ABCDABCD的棱长为4，12DE，13DF，11CF，则123CM．在平面AEM中过A作//AHEM，交BC于H，则28233BH．可得43CH，12CGCG，即83CG．224816648045()()339993HG．故选B．2．（2020•沙坪坝区校级模拟）直角ABC中，3ABAC，D为BC边上一点，沿AD将ACD折起，使点C在平面ABD内的正投影H恰好在AB上，若1AH，则二面角CADB的余弦值是()A．13B．23C．33D．22【答案】A【解析】如图，在直角ABC中，由3ABAC，得6BC．设BDx，则6CDx，由CHAB，3AC，1AH，可得2CH．在BDH中，由31BH，BDx，45DBH，得22222(31)2(31)624232DHxxxxx．在RtCHD中，有222DHCHCD，即22624232(6)xxxx，解得3262x．即3262DB，32636(62)22CD．则1329333(62)2224ACDS．1232632633[3(31)]22224ADHS．设二面角CADB的平面角为，则3314cos39334ADHACDSS．故选A．3．（2020•浙江模拟）如图，在平行四边形ABCD中，沿AC将ACD折成ACP，记异面直线PA与BC所成的角为，直线PA与平面ABC所成的角为，二面角PACB为，当2PAD时，则()A．厖B．厖C．厖D．厖【答案】B【解析】由选项可知，当ABCD为平行四边形，且2PAD时，角，，的大小唯一确定．则不妨取平行四边形ABCD为边长是2的菱形，34BAD，23PAD．//ADBC，异面直线PA与BC所成的角即为PAD的补角为3；设ACBDO，则BOAC，POAC，POB即为二面角PACB的平面角，由ACBO，ACPO，BOPOO，可得AC平面POB，在平面POB内，过P作PGOB，则PG平面ABC，连接AG，可得PAG为直线PA与平面ABC所成的角为，在RtPGO与RtPGA中，由PGPG，OGAG，可得tantan，则；在PAD中，由2PAAD，23PAD，可得23PD，在POD中，由22POOD，23PD，可得2222121cos32522(22)POD，则23POD，可得3．结合选项可知，厖．故选B．4．（2020•内江三模）如图，在直棱柱1111ABCDABCD中，//ADBC，90BAD，ACBD，1BC，14ADAA．（1）证明：面1ACD面1BBD；（2）求二面角11BACD的余弦值．【解析】（1）证明：由直棱柱1111ABCDABCD可知，1BB平面ABCD，AC平面ABCD，1BBAC，又ACBD，且1BBBDB，AC平面1BBD，又AC平面面1ACD，面1ACD面1BBD；（2）易知，AB，AD，1AA两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设ABt，则(0A，0，0)，(Bt，0，0)，1(Bt，0，4)，(Ct，1，0)，1(Ct，1，4)，(0D，4，0)，1(0D，4，4)，(,1,0),(,4,0)ACtBDt，ACBD，2400ACBDt，解得2(2tt舍去），1(0,4,4),(2,1,0)ADAC，设(,,)mxyz是平面1ACD的一个法向量，则100mACmAD，即20440xyyz，令1x，可得(1,2,2)m，同理可得平面1ACB的一个法向量为(2,4,1)n，|||282|821cos||||63321mnmn，二面角11BACD为锐二面角，二面角11BACD的余弦值为82163．5．（2020•德阳模拟）如图，四棱柱1111ABCDABCD的侧棱与底面垂直，底面ABCD是菱形，四棱锥PABCD的顶点P在平面1111ABCD上的投影恰为四边形1111ABCD对角线的交点1O，四棱锥PABCD和四棱柱1111ABCDABCD的高相等．（1）证明：//PB平面1ADO；（2）若3BAD，111AAAB，求平面PBC与平面1ABO所成的锐二面角的余弦值．【解析】（1）证明：连接1BO、1PO，由题知，1PO平面1111ABCD且四棱柱1111ABCDABCD的侧棱与底面垂直，111////POBBDD，即P、B、1O、D四