20202021学年高考数学考点第六章平面向量与复数复数理

复数1．复数的有关概念(1)定义：我们把集合C＝{a＋bi|a，b∈R}中的数，即形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部(i为虚数单位)．(2)分类：满足条件(a，b为实数)复数的分类a＋bi为实数⇔b＝0a＋bi为虚数⇔b≠0a＋bi为纯虚数⇔a＝0且b≠0(3)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．(4)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．(5)模：向量OZ→的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|a＋bi|或|z|，即|z|＝|a＋bi|＝a2＋b2(a，b∈R)．2．复数的几何意义复数z＝a＋bi与复平面内的点Z(a，b)及平面向量OZ→＝(a，b)(a，b∈R)是一一对应关系．3．复数的运算(1)运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R.(2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即OZ→＝OZ1→＋OZ2→，Z1Z2—→＝OZ2→－OZ1→.概念方法微思考1．复数a＋bi的实部为a，虚部为b吗？提示不一定．只有当a，b∈R时，a才是实部，b才是虚部．2．如何理解复数的加法、减法的几何意义？提示复数的加法、减法的几何意义就是向量加法、减法的平行四边形法则．1．（2020•海南）(12)(2)(ii（）A．45iB．5iC．5iD．23i【答案】B【解析】2(12)(2)2425iiiiii，故选B．2．（2020•北京）在复平面内，复数z对应的点的坐标是(1,2)，则iz（）A．12iB．2iC．12iD．2i【答案】B【解析】复数z对应的点的坐标是(1,2)，12zi，则(12)2iziii，故选B．3．（2020•山东）212ii（）A．1B．1C．iD．i【答案】D【解析】2(2)(12)512(12)(12)14iiiiiiii，故选D．4．（2020•新课标Ⅰ）若312zii，则||z（）A．0B．1C．2D．2【答案】C【解析】312121ziiiii，22||112z．故选C．5．（2020•新课标Ⅲ）复数113i的虚部是（）A．310B．110C．110D．310【答案】D【解析】1131313(13)(13)1010iiiii，复数113i的虚部是310．故选D．6．（2020•新课标Ⅰ）若1zi，则2|2|zz（）A．0B．1C．2D．2【答案】D【解析】若1zi，则222(1)2(1)2222zziiii，则2|2||2|2zz，故选D．7．（2020•新课标Ⅲ）若(1)1zii，则z（）A．1iB．1iC．iD．i【答案】D【解析】由(1)1zii，得21(1)1(1)(1)iiziiii，zi．故选D．8．（2020•浙江）已知aR，若1(2)(aaii为虚数单位）是实数，则a（）A．1B．1C．2D．2【答案】C【解析】aR，若1(2)(aaii为虚数单位）是实数，可得20a，解得2a．故选C．9．（2020•新课标Ⅱ）4(1)i（）A．4B．4C．4iD．4i【答案】A【解析】4222(1)[(1)](2)4iii．故选A．10．（2019•全国）复数12izi在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】C【解析】21(1)()112222iiiziii，z在复平面内对应的点的坐标为1(2，1)2，在第三象限．故选C．11．（2019•新课标Ⅱ）设32zi，则在复平面内z对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】C【解析】32zi，32zi，在复平面内z对应的点为(3,2)，在第三象限．故选C．12．（2019•新课标Ⅲ）若(1)2zii，则z（）A．1iB．1iC．1iD．1i【答案】D【解析】由(1)2zii，得22(1)12iiizi1i．故选D．13．（2019•新课标Ⅱ）设(2)zii，则z（）A．12iB．12iC．12iD．12i【答案】D【解析】(2)12ziii，12zi，故选D．14．（2019•北京）已知复数2zi，则zz（）A．3B．5C．3D．5【答案】D【解析】2zi，2222||(21)5zzz．故选D．15．（2019•新课标Ⅰ）设312izi，则||z（）A．2B．3C．2D．1【答案】C【解析】由312izi，得3|3|10||||212|12|5iizii．故选C．16．（2018•全国）设1322zi，则2zz（）A．1B．0C．1D．2【答案】A【解析】由1322zi，得222131331(1)()()()()1222222zzzziii．故选A．17．（2018•新课标Ⅰ）设121izii，则||z（）A．0B．12C．1D．2【答案】C【解析】1(1)(1)2221(1)(1)iiiziiiiiiii，则||1z．故选C．18．（2018•北京）在复平面内，复数11i的共轭复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【解析】复数11111(1)(1)22iiiii，共轭复数对应点的坐标1(2，1)2在第四象限．故选D．19．（2018•新课标Ⅲ）(1)(2)ii（）A．3iB．3iC．3iD．3i【答案】D【解析】(1)(2)3iii．故选D．20．（2018•新课标Ⅱ）(23)ii（）A．32iB．32iC．32iD．32i【答案】D【解析】2(23)2332iiiii．故选D．21．（2018•新课标Ⅱ）1212ii（）A．4355iB．4355iC．3455iD．3455i【答案】D【解析】12(12)(12)3412(12)(12)55iiiiiii．故选D．22．（2018•浙江）复数2(1ii为虚数单位）的共轭复数是（）A．1iB．1iC．1iD．1i【答案】B【解析】化简可得21zi2(1)1(1)(1)iiii，z的共轭复数1zi故选B．23．（2017•全国）23()2i（）A．1322iB．1322iC．1322iD．1322i【答案】D【解析】22332322313()24422iiiii．故选D．24．（2017•山东）已知aR，i是虚数单位，若3zai，4zz，则a（）A．1或1B．7或7C．3D．3【答案】A【解析】由3zai，则z的共轭复数3zai，由2(3)(3)34zzaiaia，则21a，解得：1a，a的值为1或1，故选A．25．（2017•山东）已知i是虚数单位，若复数z满足1zii，则2z（）A．2iB．2iC．2D．2【答案】A【解析】复数z满足1zii，11izii，22zi，故选A．26．（2017•新课标Ⅰ）下列各式的运算结果为纯虚数的是（）A．2(1)iiB．2(1)iiC．2(1)iD．(1)ii【答案】C【解析】A．2(1)22iiii，是实数．B．2(1)1iii，不是纯虚数．C．2(1)2ii为纯虚数．D．(1)1iii不是纯虚数．故选C．27．（2017•新课标Ⅲ）设复数z满足(1)2izi，则||z（）A．12B．22C．2D．2【答案】C【解析】(1)2izi，(1)(1)2(1)iizii，1zi．则||2z．故选C．28．（2017•北京）若复数(1)()iai在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是（）A．(,1)B．(,1)C．(1,)D．(1,)【答案】B【解析】复数(1)()1(1)iaiaai在复平面内对应的点在第二象限，1010aa，解得1a．则实数a的取值范围是(,1)．故选B．29．（2017•新课标Ⅱ）(1)(2)ii（）A．1iB．13iC．3iD．33i【答案】B【解析】原式21313ii．故选B．30．（2017•新课标Ⅲ）复平面内表示复数(2)zii的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】C【解析】(2)21ziii对应的点(1,2)位于第三象限．故选C．31．（2017•新课标Ⅱ）31ii（）A．12iB．12iC．2iD．2i【答案】D【解析】3(3)(1)4221(1)(1)2iiiiiiii，故选D．32．（2020•天津）i是虚数单位，复数82ii__________．【答案】32i【解析】i是虚数单位，复数8(8)(2)1510322(2)(2)5iiiiiiii，故答案为：32i．33．（2020•上海）已知复数12(zii为虚数单位），则||z__________．【答案】5【解析】由12zi，得22||1(2)5z．故答案为：5．34．（2020•江苏）已知i是虚数单位，则复数(1)(2)zii的实部是__________．【答案】3【解析】复数(1)(2)3ziii，所以复数(1)(2)zii的实部是：3．故答案为：3．35．（2020•新课标Ⅱ）设复数1z，2z满足12||||2zz，123zzi，则12||zz__________．【答案】23【解析】复数1z，2z满足12||||2zz，123zzi，所以12||2zz，2121212||()4zzzzzz，121284zzzz．得12124zzzz．2121212||8()12zzzzzz．又12||0zz，故12||23zz．故答案为：23．36．（2020•上海）已知复数z满足26zzi，则z的实部为__________．【答案】2【解析】设zabi，(,)abR．复数z满足26zzi，36abii，可得：36a，1b，解得2a，1b．则z的实部为2．故答案为：2．37．（2019•上海）已知zC，且满足15iz，求z__________．【答案】5i【解析】由15iz，得15zi，即155zii．故答案为：5i．38．（2019•天津）i是虚数单位，则5||1ii的值为__________．【答案】13【解析】由题意，可知：225(5)(1)56231(1)(1)1iiiiiiiiii，225|||23|2(3)131iii．故答案为：13．39．（2019•江苏）已知复数(2)(1)aii的实部为0，其中i为虚数单位，则实数a的值是__________．【答案】2【解析】(2)(1)(2)(2)aiiaai的实部为0，20a，即2a．故答案为：2．40．（2019•上海）设i为虚数单位，365zii，则||z的值为__________．【答