20202021学年高考数学考点第六章平面向量与复数平面向量基本定理及坐标表示理

考点6.2平面向量基本定理及坐标表示1．平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．2．平面向量的坐标表示(1)向量及向量的模的坐标表示①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB→＝(x2－x1，y2－y1)，|AB→|＝x2－x12＋y2－y12.(2)平面向量的坐标运算设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)．3．平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a，b共线⇔x1y2－x2y1＝0.概念方法微思考1．若两个向量存在夹角，则向量的夹角与直线的夹角一样吗？为什么？提示不一样．因为向量有方向，而直线不考虑方向．当向量的夹角为直角或锐角时，与直线的夹角相同．当向量的夹角为钝角或平角时，与直线的夹角不一样．2．平面内的任一向量可以用任意两个非零向量表示吗？提示不一定．两个向量只有不共线时，才能作为一组基底表示平面内的任一向量．3．已知三点A，B，C共线，O是平面内任一点，若OA→＝xOB→＋yOC→，写出x，y的关系式．提示x＋y＝1.1．（2017•全国）设向量(3,1)a，(3,1)b，则a和b的夹角为（）A．30B．60C．120D．150【答案】C【解析】设a和b的夹角为，[0，180]，向量(3,1)a，(3,1)b，3(3)12||||cos22cosabab，1cos2，120，故选C．2．（2017•新课标Ⅲ）在矩形ABCD中，1AB，2AD，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若APABAD，则的最大值为（）A．3B．22C．5D．2【答案】A【解析】如图：以A为原点，以AB，AD所在的直线为x，y轴建立如图所示的坐标系，则(0,0)A，(1,0)B，(0,2)D，(1,2)C，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上，设圆的半径为r，2BC，1CD，22215BD1122BCCDBDr，25r，圆的方程为224(1)(2)5xy，设点P的坐标为25(cos15，25sin2)5，APABAD，25(cos15，25sin2)(15，0)(0，2)(，2)，25cos15，25sin225，255cossin2sin()255，其中tan2，1sin()1剟，13剟，故的最大值为3，故选A．3．（2020•新课标Ⅰ）设向量(1,1)a，(1,24)bmm，若ab，则m__________．【答案】5【解析】向量(1,1)a，(1,24)bmm，若ab，则1(24)50abmmm，则5m，故答案为：5．4．（2020•江苏）在ABC中，4AB，3AC，90BAC，D在边BC上，延长AD到P，使得9AP．若3()(2PAmPBmPCm为常数），则CD的长度是__________．【答案】0或185【解析】如图，以A为坐标原点，分别以AB，AC所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系，则(4,0)B，(0,3)C，由3()2PAmPBmPC，得3()()()2PAmPAABmPAAC，整理得：2(23)PAmABmAC2(4m，0)(23)(0m，3)(8m，69)m．由9AP，得2264(69)81mm，解得2725m或0m．当0m时，(0,9)PA，此时C与D重合，||0CD；当2725m时，直线PA的方程为968myxm，直线BC的方程为143xy，联立两直线方程可得83xm，32ym．即72(25D，21)25，22722118||()(3)25255CD．CD的长度是0或185．故答案为：0或185．5．（2019•全国）已知向量(1,)am，(3,1)b，若ab，则m__________．【答案】3【解析】ab；30abm；3m．故答案为：3．6．（2019•新课标Ⅲ）已知向量(2,2)a，(8,6)b，则cosa，b__________．【答案】210【解析】2(8)264ab，22||2222a，22||(8)610b，cosa，42102210b．故答案为：210．7．（2019•浙江）已知正方形ABCD的边长为1．当每个(1ii，2，3，4，5，6)取遍1时，123456||ABBCCDDAACBD的最小值是__________，最大值是__________．【答案】0，25【解析】正方形ABCD的边长为1，可得ABADAC，BDADAB，0ABAD，123456||ABBCCDDAACBD12345566||ABADABADABADADAB13562456|()()|ABAD2213562456()()，由于(1ii，2，3，4，5，6)取遍1，可得13560，24560，可取561，131，21，41，可得所求最小值为0；由1356，2456的最大值为4，可取21，41，561，11，31，可得所求最大值为25．故答案为：0，25．8．（2019•北京）已知向量(4,3)a，(6,)bm，且ab，则m__________．【答案】8【解析】由向量(4,3)a，(6,)bm，且ab，得2430abm，8m．故答案为：8．9．（2018•新课标Ⅲ）已知向量(1,2)a，(2,2)b，(1,)c．若//(2)cab，则__________．【答案】12【解析】向量(1,2)a，(2,2)b，2(4,2)ab，(1,)c，//(2)cab，142，解得12．故答案为：12．10．（2018•北京）设向量(1,0)a，(1,)bm．若()amab，则m__________．【答案】1【解析】向量(1,0)a，(1,)bm．(1,)mabmm．()amab，10m，解得1m．故答案为：1．11．（2017•北京）已知点P在圆221xy上，点A的坐标为(2,0)，O为原点，则AOAP的最大值为__________．【答案】【解析】设(cosP，sin).(2,0)AO，(cos2,sin)AP．则2(cos2)6AOAP„，当且仅当cos1时取等号．故答案为：6．12．（2017•山东）已知向量(2,6)a，(1,)b，若//ab，则__________．【答案】3【解析】//ab，620，解得3．故答案为：3．13．（2017•新课标Ⅲ）已知向量(2,3)a，(3,)bm，且ab，则m__________．【答案】2【解析】向量(2,3)a，(3,)bm，且ab，630abm，解得2m．故答案为：2．14．（2017•新课标Ⅰ）已知向量(1,2)a，(,1)bm，若向量ab与a垂直，则m__________．【答案】7【解析】向量(1,2)a，(,1)bm，(1,3)abm，向量ab与a垂直，()(1)(1)320abam，解得7m．故答案为：7．15．（2017•江苏）如图，在同一个平面内，向量OA，OB，OC的模分别为1，1，2，OA与OC的夹角为，且tan7，OB与OC的夹角为45．若(,)OCmOAnOBmnR，则mn__________．【答案】3【解析】如图所示，建立直角坐标系．(1,0)A．由OA与OC的夹角为，且tan7．1cos52，7sin52．17(,)55C．23cos(45)(cossin)25．24sin(45)(sincos)25．34(,)55B．(,)OCmOAnOBmnR，1355mn，74055n，解得74n，54m．则3mn．故答案为：3．1．（2020•咸阳模拟）已知向量(1,2)a，(1,0)b，则|2|ab（）A．5B．5C．7D．25【答案】B【解析】向量(1,2)a，(1,0)b，2(2ab，4)(1，0)(3，4)，22|2|345ab．故选B．2．（2020•东莞市一模）已知向量(2,1)a，(,2)bx，若|||2|abab，则实数x的值为（）A．49B．12C．94D．2【答案】C【解析】向量(2,1)a，(,2)bx，(2,1)abx，2(4,4)abx，|||2|abab，2222(2)(1)(4)4xx，解得94x，故选C．3．（2020•全国Ⅰ卷模拟）ABCO，O为原点，(1,2)A，(2,3)C，则B点坐标为（）A．(3,1)B．(1,5)C．(1,5)D．(3,1)【答案】A【解析】根据题意，ABCO中，有OBOAOC，又由(1,2)A，(2,3)C，则(1,2)OA，(2,3)OC，则(1,2)(2,3)(3,1)OBOAOC，则(3,1)B；故选A．4．（2020•黔东南州模拟）若向量(1,2)AC，(1,4)ABBC，则AB（）A．(1,1)B．(0,6)C．(2,2)D．(0,3)【答案】D【解析】BCACAB，()2ABBCABACABABACABABAC，2()(1ABABBCAC，4)(1，2)(0，6)，(0,3)AB，故选D．5．（2020•九龙坡区校级模拟）已知向量(2,3)AB，(1,3)BCt，//ABAC，则t（）A．32B．92C．73D．113【答案】B【解析】根据题意，向量(2,3)AB，(1,3)BCt，则(3,)ACt，又由//ABAC，则29t，解可得92t；故选B．6．（2020•全国模拟）设向量(1,1)a，(1,3)b，(2,1)c，且()abc，则（）A．3B．2C．2D．3【答案】A【解析】因为(1,13)ab，又因为()abc，所以(1，13)(2，1)22130，解得3，故选A．7．（2020•全国I卷模拟）已知(1,2)A，(2,1)B，若点C满足0ACAB，则点C坐标为（）A．1(2，1)2B．(3,3)C．(3,3)D．(4,5)【答案】D【解析】设(,)Cxy，由(1,2)A，(2,1)B，得(1,2)ACxy，(3,3)AB；又0ACAB，ACAB，即1323xy，解得45xy；点C坐标为(4,5)．故选D．8．（2020•定远县模拟）若向量(21,)mkk与向量(4,1)n共线，则mn（）A．0B．4C．92D．172【答案】D【解析】向量(21,)mkk与向量(4,1)n