20202021学年高考数学考点第六章平面向量与复数平面向量的数量积理

考点6.3平面向量的数量积1.向量的夹角已知两个非零向量a和b，作OA→＝a，OB→＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角，向量夹角的范围是[0，π].2.平面向量的数量积定义设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|·cosθ叫做a与b的数量积，记作a·b投影|a|cosθ叫做向量a在b方向上的投影|b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积3.向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a.(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb).(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.4.平面向量数量积的有关结论已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.结论符号表示坐标表示模|a|＝a·a|a|＝x21＋y21夹角cosθ＝a·b|a||b|cosθ＝x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22a⊥b的充要条件a·b＝0x1x2＋y1y2＝0|a·b|与|a||b|的关系|a·b|≤|a||b||x1x2＋y1y2|≤x21＋y21x22＋y22概念方法微思考两个向量的数量积大于0，则夹角一定为锐角吗？提示不一定．当夹角为0°时，数量积也大于0.1．（2020•山东）已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则APAB的取值范围是（）A．(2,6)B．(6,2)C．(2,4)D．(4,6)【答案】A【解析】画出图形如图，||||cos,APABAPABAPAB，它的几何意义是AB的长度与AP在AB向量的投影的乘积，显然，P在C处时，取得最大值，1||cos||||32ACCABABAB，可得||||cos,236APABAPABAPAB，最大值为6，在F处取得最小值，1||||cos,2222APABAPABAPAB，最小值为2，P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，所以APAB的取值范围是(2,6)．故选A．2．（2020•新课标Ⅱ）已知单位向量a，b的夹角为60，则在下列向量中，与b垂直的是（）A．2abB．2abC．2abD．2ab【答案】D【解析】单位向量||||1ab，111cos602ab，对于A，215(2)2222abbabb，所以(2)ab与b不垂直；对于B，21(2)22122abbabb，所以(2)ab与b不垂直；对于C，213(2)2222abbabb，所以(2)ab与b不垂直；对于D，21(2)22102abbabb，所以(2)ab与b垂直．故选D．3．（2020•新课标Ⅲ）已知向量a，b满足||5a，||6b，6ab，则cosa，ab（）A．3135B．1935C．1735D．1935【答案】D【解析】向量a，b满足||5a，||6b，6ab，可得22||22512367abaabb，cosa，2()25619575735||||aabaababaab．故选D．4．（2019•新课标Ⅰ）已知非零向量a，b满足||2||ab，且()abb，则a与b的夹角为（）A．6B．3C．23D．56【答案】B【解析】()abb，2()abbabb2||||cos,0ababb，2||cos,||||babab22||122||bb，,[0,]ab，,3ab．故选B．5．（2019•新课标Ⅱ）已知(2,3)AB，(3,)ACt，||1BC，则ABBC（）A．3B．2C．2D．3【答案】C【解析】(2,3)AB，(3,)ACt，(1,3)BCACABt，||1BC，30t即(1,0)BC，则2ABBC故选C．6．（2019•新课标Ⅱ）已知向量(2,3)a，(3,2)b，则||ab（）A．2B．2C．52D．50【答案】A【解析】(2,3)a，(3,2)b，(2ab，3)(3，2)(1，1)，22||(1)12ab．故选A．7．（2018•天津）如图，在平面四边形ABCD中，ABBC，ADCD，120BAD，1ABAD．若点E为边CD上的动点，则AEBE的最小值为（）A．2116B．32C．2516D．3【答案】A【解析】如图所示，以D为原点，以DA所在的直线为x轴，以DC所在的直线为y轴，过点B做BNx轴，过点B做BMy轴，ABBC，ADCD，120BAD，1ABAD，1cos602ANAB，3sin602BNAB，13122DN，32BM，3tan302CMMB，3DCDMMC，(1,0)A，3(2B，3)2，(0,3)C，设(0,)Em，(1,)AEm，3(2BE，3)2m，03m剟，22233333321()()224216416AEBEmmmm，当34m时，取得最小值为2116．故选A．8．（2018•天津）在如图的平面图形中，已知1OM，2ON，120MON，2BMMA，2CNNA，则BCOM的值为（）A．15B．9C．6D．0【答案】C【解析】解法Ⅰ，由题意，2BMMA，2CNNA，2BMCNMANA，//BCMN，且3BCMN，又22212cos12014212()72MNOMONOMON，7MN；37BC，2221742cos22177OMMNONOMNOMMN，2||||cos()371()67BCOMBCOMOMN．解题Ⅱ：不妨设四边形OMAN是平行四边形，由1OM，2ON，120MON，2BMMA，2CNNA，知3333BCACABANAMOMON，(33)BCOMOMONOM233OMONOM231321cos1206．故选C．9．（2018•新课标Ⅱ）已知向量a，b满足||1a，1ab，则(2)aab（）A．4B．3C．2D．0【答案】B【解析】向量a，b满足||1a，1ab，则2(2)2213aabaab，故选B．10．（2018•浙江）已知a，b，e是平面向量，e是单位向量．若非零向量a与e的夹角为3，向量b满足2430beb，则||ab的最小值是（）A．31B．31C．2D．23【答案】A【解析】由2430beb，得()(3)0bebe，()(3)bebe，如图，不妨设(1,0)e，则b的终点在以(2,0)为圆心，以1为半径的圆周上，又非零向量a与e的夹角为3，则a的终点在不含端点O的两条射线3(0)yxx上．不妨以3yx为例，则||ab的最小值是(2,0)到直线30xy的距离减1．即|23|13131．故选A．11．（2018•上海）已知A、B为平面上的两个定点，且||2AB，该平面上的动线段PQ的端点P、Q，满足||5AP„，6APAB，2AQAP，则动线段PQ所形成图形的面积为（）A．36B．60C．72D．108【答案】B【解析】根据题意建立平面直角坐标系，如图所示；则(0,0)A，(2,0)B，设(,)Pxy，(,)APxy，(2,0)AB；由||5AP„，得2225xy„；又6APAB，26x，3x；216y„；44y剟动点P在直线3x上，且44y剟，由相似三角形可知AQ扫过的面积为48，即||8PC，则AP扫过的三角形的面积为183122，设点0(Qx，0)y2AQAP，0(x，0)2(yx，)(6y，2)y，06x，02yy，动点Q在直线6x上，且88y剟，||16QD，AQ扫过的三角形的面积为1166482，因此和为60，故选B．12．（2017•浙江）如图，已知平面四边形ABCD，ABBC，2ABBCAD，3CD，AC与BD交于点O，记1IOAOB，2IOBOC，3IOCOD，则（）A．123IIIB．132IIIC．312IIID．213III【答案】C【解析】ABBC，2ABBCAD，3CD，22AC，90AOBCOD，由图象知OAOC，OBOD，0OAOBOCOD，0OBOC，即312III，故选C．13．（2017•新课标Ⅱ）已知ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则()PAPBPC的最小值是（）A．2B．32C．43D．1【答案】B【解析】建立如图所示的坐标系，以BC中点为坐标原点，则(0,3)A，(1,0)B，(1,0)C，设(,)Pxy，则(,3)PAxy，(1,)PBxy，(1,)PCxy，则222233()22322[()]24PAPBPCxyyxy当0x，32y时，取得最小值332()42，故选B．14．（2017•新课标Ⅱ）设非零向量a，b满足||||abab，则（）A．abB．||||abC．//abD．||||ab【答案】A【解析】非零向量a，b满足||||abab，22()()abab，222222abababab，40ab，解得0ab，ab．故选A．15．（2017•上海）如图所示，正八边形12345678AAAAAAAA的边长为2，若P为该正八边形边上的动点，则131AAAP的取值范围为（）A．[0,862]B．[22,862]C．[862,22]D．[862,862]【答案】B【解析】由题意，正八边形12345678AAAAAAAA的每一个内角为135，且1218||||2AAAA，1317||||222AAAA，1416||||222AAAA，15||422AA．再由正弦函数的单调性及值域可得，当P与8A重合时，131AAAP最小为222222cos112.52222()222．结合选项可得131AAAP的取值范围为[22,862]．故选B．16．（2020•天津）如图，在四边形ABCD中，60B，3AB，6BC，且ADBC，32ADAB，则实数的值为__________，若M，N是线段BC上的动点，且||1MN，则DMDN的最小值为__________．【答案】16，132【解析】以B为原点，以BC为x轴建立如图所示的直角坐标系，60B，3AB，3(2A，33)2，6BC，(6,0)C，ADBC，//ADBC，设0(Dx，33)2，03(2ADx，0)，3(2AB，33)2，0333()0222ADABx，解得052x，5(2D，33)2，(1,0)AD，(6,0)BC，16ADBC，16，||1MN，设(,0)Mx，则(1,0)Nx，其中05x剟，5(2DMx，33)2，3(2DNx，33)2，2253272113()()4(2)22422DMDNxxxxx，当2x时取得最小值，最小值为132，故答案为：16，132．17．（2020•上海）已知1a，2a，1b，2b，，(*)kbkN是平面内两两互不相等的向量，满足12||1aa，且||{1ijab，2}（其中1i，2，1j，2，，)k，则k的最大值是__________．【答案】6【解析】如图，设11OAa，22OAa，由12|