20202021学年高考数学考点第六章平面向量与复数平面向量的概念及线性运算理

考点6.1平面向量的概念及线性运算1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．(2)零向量：长度为0的向量，记作0.(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量平行．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．2．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算交换律：a＋b＝b＋a；结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算|λa|＝|λ||a|，当λ0时，λa与a的方向相同；当λ0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb3.向量共线定理向量b与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个实数λ，使得b＝λa.概念方法微思考1．若b与a共线，则存在实数λ使得b＝λa，对吗？提示不对，因为当a＝0，b≠0时，不存在λ满足b＝λa.2．如何理解数乘向量λa.提示λa的大小为|λa|＝|λ||a|，方向要分类讨论：当λ0时，λa与a同方向；当λ0时，λa与a反方向；当λ＝0或a为零向量时，λa为零向量．1．（2020•海南）在ABC中，D是AB边上的中点，则CB（）A．2CDCAB．2CDCAC．2CDCAD．2CDCA【答案】C【解析】在ABC中，D是AB边上的中点，则CBCDDBCDAD()CDACCD2CDCA．故选C．2．（2018•新课标Ⅰ）在ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB（）A．3144ABACB．1344ABACC．3144ABACD．1344ABAC【答案】A【解析】在ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，12EBABAEABAD11()22ABABAC3144ABAC，故选A．1．（2020•绥化模拟）已知点D在ABC的边AC上，2CDDA，点E是BD中点，则EC（）A．1233ABACB．1223ABACC．1536ABACD．1526ABAC【答案】D【解析】如图，根据题意，1121215()()()2232326ECCDCBCAABACACACABABAC．故选D．2．（2020•东莞市二模）已知A，B，C三点不共线，且点O满足161230OAOBOC，则（）A．123OAABACB．123OAABACC．123OAABACD．123OAABAC【答案】A【解析】因为点O满足161230OAOBOC，故1212330OAOAOBOAOC；即：1230OABACA123OAABAC；故选A．3．（2020•湖北模拟）在平行四边形ABCD中，点为BC的中点，设，，则（）A．1344abB．1344abC．3144abD．3144ab【答案】D【解析】如图，1122ABDCab，1122BCba，111244BMBCba，111131224444AMABBMabbaab．故选D．4．（2020•毕节市模拟）如图，在中，，是BN上一点，若，则实数的值为（）A．16B．23C．12D．34【答案】C【解析】2ANNC，32ACAN，1132APtABACtABAN，且B，P，N三点共线，112t，解得12t．故选C．5．（2020•江西一模）在中，，为AD的中点，则等于（）A．1263ABACB．2136ABACC．1536ABACD．5163ABAC【答案】A【解析】BCACAB，22()33BDBCACAB，212()333ADABBDABACABABAC，111263AEADABAC，11126363CEAEACABACACABAC．故选A．6．（2020•沙坪坝区校级模拟）如图，AB是圆的一条直径，，是半圆弧的两个三等分点，则（）A．ACADB．22ACADC．ADACD．22ADAC【答案】D【解析】C，D是半圆弧的两个三等分点，//CDAB，且2ABCD，22()22ABCDADACADAC．故选D．7．（2020•湖北模拟）在所在平面上有三点、、，满足，，，则的面积与的面积之比为（）A．1:2B．1:3C．1:4D．1:5【答案】B【解析】由PAPBPCAB，得PAPCABPB，即PAPCABBP，即PAPCAP，2PCAP，P为线段AC的一个三等分点，同理可得Q、R的位置，PQR的面积为ABC的面积减去三个小三角形面积，面积比为1:3；故选B．8．（2019•西湖区校级模拟）化简：（）A．ADB．ACC．DAD．DB【答案】A【解析】ABDCCBABBCCDAD．故选A．9．（2019•西湖区校级模拟）如图，在四边形ABCD中，设，，，则（）A．abcB．()bacC．abcD．bac【答案】A【解析】DCACADABBCADacb，故选A．10．（2019•榆林一模）已知向量、满足，，，则（）A．2B．2C．3D．5【答案】A【解析】根据题意得，222()2ababab又222()21426abaabbab21ab，2()1414ab，2ab．故选A．11．（2019•西湖区校级模拟）在空间四边形OABC中，，，，点在线段OA上，且，为BC的中点，则等于（）A．121232abcB．211322abcC．112223abcD．221332abc【答案】B【解析】因为空间四边形OABC如图，OAa，OBb，OCc，点M在线段OA上，且2OMMA，N为BC的中点，所以1122ONcb．所以211322MNONMOabc．故选B．12．（2020•内三模）如图，在中，点为线段AC上靠近点的三等分点，点为线段BQ上靠近点的三等分点，则（）A．1233BABCB．5799BABCC．11099BABCD．2799BABC【答案】B【解析】根据题意，2212112572()()333333999PAPCBABPBCBPBABCBPBABCBQBABCBAAQBABCACBABCBCBABABC．故选B．13．（2020•湖北模拟）中，点为BC的中点，，为AD与CE的交点，若，则实数（）A．14B．13C．25D．12【答案】D【解析】如图，D为BC的中点，1122ADABAC，又AMAD，且3ABAE，32222AMABACAEAC，且E，M，C三点共线，3122，解得12．故选D．14．（2020•厦门一模）在直角中，，，，是的内心，则（）A．2134ABACB．2134ABACC．2133ABACD．2133ABAC【答案】A【解析】如图所示，建立直角坐标系．226810BC．由直角三角形的内切圆的性质可得：四边形AEDF为正方形，内切圆的半径681022r．(2,2)D，(6,0)B，(0,8)C．设BDmABnAC，则(4，2)(6m，0)(0n，8)．46m，28n，解得23m，14n．2134BDABAC，故选A．15．（2020•达州模拟）在中，，分别为边AB，AC的中点，BE与CD交于点，设，，则（）A．1133abB．2233abC．3344abD．1166ab【答案】A【解析】由图，ABC中，D，E分别为边AB，AC的中点，12ADAB，12AEAC．B，P，E三点共线，设1(1)(1)2APmABmAEmABmAC，C，P，D三点共线，设1(1)(1)2APnADnACnABnAC，121(1)12mnmn，解得1323mn，1133APABAC，ABa，ACb，1133APab．故选A．16．（2020•桥西区校级模拟）如图，圆是等边三角形ABC的外接圆，点为劣弧AC的中点，则（）A．2133BAACB．2133BAACC．1233BAACD．4233BAAC【答案】A【解析】由题，圆O是等边三角形ABC的外接圆，BOAC，点D为劣弧AC的中点，ODAC，//BOOD，又因为BOODO和有公共点，所以B，O，D三点共线．圆O中，21121()()32333ODBOBABCBABAACBAAC故选A．17．（2020•婺城区校级模拟）如图，在平行四边形ABCD中，是BC的中点，是线段AE上靠近点的三等分点，则（）A．1233ABADB．1233ABADC．1536ABADD．1334ABAD【答案】C【解析】由可知，111115()333636DFDAAFADAEADABBEADABADABAB，故选C．18．（2020•七星区校级模拟）在中，是BC边的中点，，CE与AD交于点，则（）A．2233ABACB．1334ABACC．2255ABACD．2299ABAC【答案】C【解析】设22AFADABAC，又设EFFC，则1211331AFAEACABAC，223321，解之得45，2255AFABAC，故选C．19．（2020•重庆模拟）已知向量，则当取最小值时，实数（）A．15B．13C．12D．1【答案】A【解析】MPtMN，且(1,0),(0,2)OMON，()OPOMtONOM，(1)(1,2)OPtOMtONtt，22214||(1)45()55OPttt，15t时，||OP取得最小值．故选A．20．（2020•沙坪坝区校级模拟）已知向量，，，是线段BC上两点，且，，则向量与的关系是（）A．2ADAEB．12ADAEC．ADAED．AD与AE成60夹角【答案】A【解析】114145168168()(,)(,)(6,8)5555577577ADABBDABBCABACABABAC，111215168268()(,)(,)(3,4)3333377377AEACCEACCBACABACABAC，所以2ADAE，故选A．21．（2020•焦作一模）已知是的重心，且，则实数（）A．3B．2C．1D．12【答案】C【解析】22()(2)0OAOBBCOAOBOCOBOAOBOC，O是ABC的重心，0OAOBOC，(2)OBOCOBOC，1．故选C．22．（2020•2月份模拟）如图所示，中，点是线段BC的中点，是线段AD的靠近的三等分点，则（）A．43ADBEB．53ADBEC．4132ADBED．5132ADBE【答案】B【解析】据题意，2533ACDCDABDADBEEDADBEADADADBE．故选B．23．（2020•山东模拟）在中，为AC的中点，若，则（）A．1B．12C．23D．43【答案】A【解析】如图，O为AC的中点；1111()2222AOACBCBAABBC；又AOABBC；根据平面向量基本定理得，12；1．故选A．24．（2020•湖南一模）在中，，且，则（）A．1B．1