20202021学年高考数学考点第十一章计数原理随机变量及其分布112排列组合理

1考点11.2排列、组合1．排列、组合的定义排列的定义从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列组合的定义合成一组2．排列数、组合数的定义、公式、性质排列数组合数定义从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数公式Amn＝n(n－1)(n－2)·…·(n－m＋1)＝n！n－m！Cmn＝AmnAmm＝nn－1n－2·…·n－m＋1m！＝n！m！n－m！性质Ann＝n！，0！＝1Cmnn＝Cn－mn，Cmn＋Cm－1n＝Cmn＋1，Cnn＝1，C0n＝1概念方法微思考1．排列问题和组合问题的区别是什么？提示元素之间与顺序有关的为排列，与顺序无关的为组合．2．排列数与组合数公式之间有何关系？它们的公式都有两种形式，如何选择使用？提示(1)排列数与组合数之间的联系为CmnAmm＝Amn.(2)两种形式分别为：①连乘积形式；②阶乘形式．前者多用于数字计算，后者多用于含有字母的排列数式子的变形与论证．1．（2020•海南）要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（）2A．2种B．3种C．6种D．8种【答案】C【解析】要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有：2123126CCA．故选C．2．（2020•山东）6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（）A．120种B．90种C．60种D．30种【答案】C【解析】因为每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，甲场馆从6人中挑一人有：166ð种结果；乙场馆从余下的5人中挑2人有：2510ð种结果；余下的3人去丙场馆；故共有：61060种安排方法；故选C．3．（2017•全国）4个数字1和4个数字2可以组成不同的8位数共有（）A．16个B．70个C．140个D．256个【答案】B【解析】4个数字1和4个数字2可以组成不同的8位数共有：88444470AAA．故选B．4．（2017•新课标Ⅱ）安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（）A．12种B．18种C．24种D．36种【答案】D3【解析】4项工作分成3组，可得：246C，安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，可得：33636A种．故选D．5．（2020•上海）从6个人挑选4个人去值班，每人值班一天，第一天安排1个人，第二天安排1个人，第三天安排2个人，则共有__________种安排情况．【答案】180【解析】根据题意，可得排法共有112654180CCC种．故答案为：180．6．（2020•新课标Ⅱ）4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有__________种．【答案】36【解析】因为有一小区有两人，则不同的安排方式共有234336CA种．故答案为：36．7．（2019•上海）首届中国国际进口博览会在上海举行，某高校拟派4人参加连续5天的志愿者活动，其中甲连续参加2天，其他人各参加1天，则不同的安排方法有__________种（结果用数值表示）【答案】24【解析】在五天里，连续的2天，一共有4种，剩下的3人排列，故有33424A种，故答案为：24．8．（2018•浙江）从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成__________个没有重复数字的四位数．（用数字作答）【答案】1260【解析】从1，3，5，7，9中任取2个数字有25C种方法，从2，4，6，0中任取2个数字不含0时，有23C种方法，可以组成224534720CCA个没有重复数字的四位数；含有0时，0不能在千位位置，其它任意排列，共有11233353540CCCA，故一共可以组成1260个没有重复数字的四位数．4故答案为：1260．9．（2017•上海）若排列数6654mP，则m__________．【答案】3m【解析】排列数6654mP，由排列数公式得36654P，3m．故答案为：3m．10．（2017•天津）用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有__________个．（用数字作答）【答案】1080【解析】根据题意，分2种情况讨论：①、四位数中没有一个偶数数字，即在1、3、5、7、9种任选4个，组成一共四位数即可，有45120A种情况，即有120个没有一个偶数数字四位数；②、四位数中只有一个偶数数字，在1、3、5、7、9种选出3个，在2、4、6、8中选出1个，有315440CC种取法，将取出的4个数字全排列，有4424A种顺序，则有4024960个只有一个偶数数字的四位数；则至多有一个数字是偶数的四位数有1209601080个；故答案为：1080．11．（2017•浙江）从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有__________种不同的选法．（用数字作答）【答案】660【解析】第一类，先选1女3男，有316240CC种，这4人选2人作为队长和副队有2412A种，故有4012480种，第二类，先选2女2男，有226215CC种，这4人选2人作为队长和副队有2412A种，故有1512180种，根据分类计数原理共有480180660种，5故答案为：660．12．（2017•上海）设1a、2a、、6a为1、2、3、4、5、6的一个排列，则满足123456||||||3aaaaaa的不同排列的个数为__________．【答案】48【解析】根据题意，若123456||||||3aaaaaa，则123456||||||1aaaaaa，需要将1、2、3、4、5、6分成3组，其中1和2，3和4，5和6必须在一组，每组2个数，考虑其顺序，有22A种情况，三组共有2222228AAA种顺序，将三组全排列，对应三个绝对值，有336A种情况，则不同排列的个数为8648；故答案为：48．13．（2018•江苏）设*nN，对1，2，，n的一个排列12niii，如果当st时，有stii，则称(si，)ti是排列12niii的一个逆序，排列12niii的所有逆序的总个数称为其逆序数．例如：对1，2，3的一个排列231，只有两个逆序(2,1)，(3,1)，则排列231的逆序数为2．记()nfk为1，2，，n的所有排列中逆序数为k的全部排列的个数．（1）求3f（2），4f（2）的值；（2）求nf（2）(5)n…的表达式（用n表示）．【解析】（1）记()abc为排列abc得逆序数，对1，2，3的所有排列，有(123)0，(132)1，(231)2，(321)3，3(0)1f，3f（1）3f（2）2，对1，2，3，4的排列，利用已有的1，2，3的排列，将数字4添加进去，4在新排列中的位置只能是最后三个位置．因此，4f（2）3f（2）3f（1）3(0)5f；（2）对一般的(4)nn…的情形，逆序数为0的排列只有一个：12n，(0)1nf．逆序数为1的排列只能是将排列12n中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，nf（1）1n．为计算1nf（2），当1，2，，n的排列及其逆序数确定后，将1n添加进原排列，1n在新6排列中的位置只能是最后三个位置．因此，1nf（2）nf（2）nf（1）(0)nnff（2）n．当5n…时，nf（2）[nf（2）1nf（2）1][nf（2）2nf（2）5][f（2）4f（2）4]f（2）4(1)(2)4nnf（2）222nn．因此，当5n…时，nf（2）222nn．1．（2020•香坊区校级一模）哈六中开展劳动教育，决定在5月12日植树节派小明、小李等5名学生去附近的两个植树点去植树，若小明和小李必须在同一植树点，且各个植树点至少去两名学生，则不同的分配方案种数为()A．8B．10C．12D．14【答案】A【解析】根据题意，分2种情况讨论：①小明和小李两人去一个植树点，剩下3人去另一个植树点，有122C种分配方案，②小明和小李还有另外1人去一个植树点，剩下2人去另一个植树点，有11326CC种分配方案，则一共有268种分配方案；故选A．2．（2020•安徽模拟）为推进长三角一体化战略，长三角区域内5个大型企业举办了一次协作论坛．在这5个企业董事长A，B，C，D，E集体会晤之前，除B与E，D与E不单独会晤外，其他企业董事长两两之间都要单独会晤．现安排他们在正式会晤的前两天的上午、下午单独会晤（每人每个半天最多只进行一次会晤），那么安排他们单独会晤的不同方法共有()A．48种B．36种C．24种D．8种【答案】A【解析】根据题意，5个企业董事长A，B，C，D，E集体会晤之前，除B与E，D与E不单独会晤外，7则单独会晤，共有AB，AC，AD，AE，BC，BD，CD，CE共8种情况，现在将八场会晤分别安排在两天的上午和下午进行，每个半天安排两场会晤同时进行．因为能同时会晤的共有(,)ABCD，(,)ACBD，(,)ADCE，(,)AEBC和(,)ABCE、(,)ACBD，(,)ADBC，(AE、)CD两种情况，故不同的安排方法共有44248A种；故选A．3．（2020•福州三模）数独是源自18世纪瑞士的一种数学游戏．如图是数独的一个简化版，由3行3列9个单元格构成．玩该游戏时，需要将数字1，2，3（各3个）全部填入单元格，每个单元格填一个数字，要求每一行、每一列均有1，2，3这三个数字，则不同的填法有()A．12种B．24种C．72种D．216种【答案】A【解析】根据题意，分3步进行分析：①将1、2、3三个数字填入第一行，有336A种情况，②第二行第一列的数字与第一行第一列的数字不同，有2种情况，第二列、第三列只有1种情况，则第二行有1种情况，③由于前两行的数字确定，第三行只有1种情况，则有62112种不同的填法；故选A．4．（2020•马鞍山三模）2名男同学和1名女同学随机排成一行照相，则2名男同学不相邻的概率为()A．16B．13C．23D．56【答案】B【解析】根据题意，2名男同学和1名女同学随机排成一行，有336A种情况，82名男同学不相邻，即女生在中间的排法有222A种，则2名男同学不相邻的概率2163P；故选B．5．（2020•包河区校级模拟）2020年春节期间，一场突如其来的疫情席卷全国，但在灾难面前中国人民体现出来的民族凝聚力和“一方有难八方支援”的民族优良传统也是空前的．某医院从传染科选出5名医生和4名护士对口支援湖北省某市的A、B、C三所医院开展新型冠状病毒肺炎防治工作，其中A、B医院都至少需要1名医生和1名护士，C医院至少需要2名医生和2名护士，则不同的分派方法共有()A．2160种B．1920种C．960种D．600种【答案】C【解析】根据题意，分2步进行分析：①在4名护士中任选2人，安排到C医院，有246C种情况，再将剩下的2人安排到A、B医院，有222A种情况，则护士的安排方法有6212种；②将5名医生安排到三个医院，若C医院安排3人，有325220CA种情况，若C医院安排2人，有22253260CCA种情况，则医生的安排方法有206080种安排方法，故有1280960种安排方法．故选C．6．（2020•九龙坡区模拟）3个单位从4名大学毕业生中选聘工作人员，若