20202021学年高考数学考点第十一章计数原理随机变量及其分布115二项分布与正态分布理

1考点11.5二项分布与正态分布1．条件概率及其性质(1)对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率，用符号P(B|A)来表示，其公式为P(B|A)＝PABPA(P(A)0)．在古典概型中，若用n(A)表示事件A中基本事件的个数，则P(B|A)＝nABnA.(2)条件概率具有的性质①0≤P(B|A)≤1；②如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．2．相互独立事件(1)对于事件A，B，若事件A的发生与事件B的发生互不影响，则称事件A，B是相互独立事件．(2)若A与B相互独立，则P(B|A)＝P(B)．(3)若A与B相互独立，则A与B，A与B，A与B也都相互独立．(4)P(AB)＝P(A)P(B)⇔A与B相互独立．3．独立重复试验与二项分布(1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有两种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的．(2)在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(X＝k)＝Cknpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，此时称随机变量X服从二项分布，记为X～B(n，p)，并称p为成功概率．4．两点分布与二项分布的均值、方差(1)若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．(2)若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．5．正态分布(1)正态曲线：函数φμ，σ(x)＝12πσ22()2ex，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ为参数(σ0，μ∈R)．我们称函数φμ，σ(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．(2)正态曲线的特点①曲线位于x轴上方，与x轴不相交；2②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；③曲线在x＝μ处达到峰值1σ2π；④曲线与x轴之间的面积为1；⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图甲所示；⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示．(3)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值①P(μ－σX≤μ＋σ)≈0.6827；②P(μ－2σX≤μ＋2σ)≈0.9545；③P(μ－3σX≤μ＋3σ)≈0.9973.概念方法微思考1．条件概率中P(B|A)与P(A|B)是一回事吗？提示不一样，P(B|A)是在A发生的条件下B发生的概率，P(A|B)是在B发生的条件下A发生的概率．2．“事件相互独立”与“事件互斥”有何不同？提示两事件互斥是指两个事件不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件发生与否对另一事件发生的概率没有影响，两事件相互独立不一定互斥．1．（2017•新课标Ⅰ）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：)cm．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布2(,)N．（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(3,3)之外的零件数，求(1)PX…及X的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3,3)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．3（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得16119.9716iixx，16162221111()(16)0.2121616iiiisxxxx，其中ix为抽取的第i个零件的尺寸，1i，2，，16．用样本平均数x作为的估计值ˆ，用样本标准差s作为的估计值ˆ，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除(3,3)之外的数据，用剩下的数据估计和（精确到0.01)．附：若随机变量Z服从正态分布2(,)N，则(33)0.9974PZ，160.99740.9592，0.0080.09．【解析】（1）由题可知尺寸落在(3,3)之内的概率为0.9974，则落在(3,3)之外的概率为10.99740.0026，因为001616(0)(10.9974)0.99740.9592PXC，所以(1)1(0)0.0408PXPX…，又因为~(16,0.0026)XB，所以()160.00260.0416EX；（2）（ⅰ）如果生产状态正常，一个零件尺寸在ˆˆˆˆ(3,3)之外的概率只有0.0026，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在ˆˆˆˆ(3,3)之外的零件的概率只有0.0408，发生的概率很小．因此一旦发生这种状况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的．（ⅱ）由9.97x，0.212s，得的估计值为ˆ9.97，的估计值为ˆ0.212，由样本数据可以看出一个零件的尺寸在ˆˆˆˆ(3,3)之外，因此需对当天的生产过程进行检查．剔除ˆˆˆˆ(3,3)之外的数据9.22，剩下的数据的平均数为1(169.979.22)10.0215，因此的估计值为10.02．4162221160.212169.971591.134iix，剔除ˆˆˆˆ(3,3)之外的数据9.22，剩下的数据的样本方差为221(1591.1349.221510.02)0.00815，因此的估计值为0.0080.09．1．（2020•青羊区校级模拟）设随机变量X，Y满足：31YX，~(2,)XBp，若5(1)9PX…，则()(DY)A．4B．5C．6D．7【答案】A【解析】随机变量X，Y满足：31YX，~(2,)XBp，5(1)9PX…，0224(0)1(1)(1)9PXPXCp…，解得13p，1~(2,)3XB，114()2(1)339DX，4()9()949DYDX．故选A．2．（2020•奎文区校级模拟）设随机变量X服从1(6,)2B，则(3)PX的值是()A．316B．516C．38D．58【答案】B【解析】随机变量X服从1(6,)2，3336611205(3)()()22216PXC故选B．3．（2019•道里区校级三模）已知随机变量X服从二项分布(,)Bnp．若()2EX，4()3DX，则(p)5A．34B．23C．13D．14【答案】C【解析】由随机变量X服从二项分布(,)Bnp．又()2EX，4()3DX，所以24(1)3npnpp，解得：13p，故选C．4．（2019•道里区校级一模）设随机变量~(2,)Bp，~(4,)Bp，若5(1)9P…，则(2)P…的值为()A．3281B．1127C．6581D．1681【答案】B【解析】随机变量~(2,)Bp，5(1)9P…，002251(1)9Cpp，13P，1~(4,)3B，22233144044412121211(2)()()()()()()33333327PCCC…，故选B．5．（2020•江西模拟）已知随机变量服从正态分布2(,)N，若(2)(8)0.15PP，则(25)(P„)A．0.3B．0.35C．0.5D．0.7【答案】B【解析】根据题意，正态分布2(,)N，若(2)(8)0.15PP，则5，即这组数据对应的正态曲线的对称轴5x，则(5)0.5P，又由(2)0.15P，得(25)0.50.150.35P„．6故选B．6．（2020•红岗区校级模拟）在如图所示的正方形中随机投掷40000个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布(2,4)N的密度曲线）的点的个数的估计值为()（附2:~(,)xN，则()0.6827PX„，(22)0.9545PX„．)A．906B．1359C．2718D．3413【答案】B【解析】~(2,4)XN阴影部分的面积(02)SPX剟1[(62)(10)]2PxPx剟剟1(0.95450.6827)0.13592，则在正方形中随机投一点，该点落在阴影内的概率为0.13594P，落入阴影部分的点的个数的估计值为0.13594000013594．故选B．7．（2020•辽宁三模）已知随机变量X服从正态分布2(2,)N，且(02)0.3PX剟，则(4)(PX)A．0.6B．0.2C．0.4D．0.35【答案】B【解析】由随机变量X服从正态分布2(2,)No，所以正态曲线的对称轴是2x，又(02)0.3PX剟，所以(4)(0)0.50.30.2PXPX．7故选B．8．（2020•运城模拟）在某项测量中，测量结果服从正态分布(1N，2)(0)，若在(0,2)内取值的概率为0.6，则在(2,)内取值的概率为()A．0.8B．0.4C．0.3D．0.2【答案】D【解析】2~(1,)N，(2)(0)PP，又(02)0.6P，10.6(2)0.22P．故选D．9．（2020•益阳模拟）若随机变量服从正态分布2(,)N，则()0.6827P„，(22)0.9545P„，设2~(1,)N，且(3)0.15865P…，在平面直角坐标系xOy中，若圆222xy上恰有两个点到直线1250xyc的距离为1，则实数c的取值范围为()A．(26，13)(13，26)B．(26,26)C．(39，13)(13，39)D．(39,39)【答案】C【解析】由题意知：1(3)(1)[1(13)]2PPP厔，(13)0.6827P，11，13．2．故圆的方程为224xy，圆心为(0,0)，半径为2．8如图，1L，2L表示与1250xyc平行的直线，OA，OB，OC共线且垂直于1L，2L．当1BCAC时，圆上分别恰有1个，3个点到直线的距离等于1，此时圆心到直线的距离分别为3，1．当直线介于1L，2L之间时，符合题意．故22||1312(5)c，13||39c，3913c或1339c．故选C．10．（2020•安阳二模）2020年2月，受新冠肺炎的影响，医卫市场上出现了“一罩难求”的现象．在政府部门的牵头下，部分工厂转业生产口罩，已知某工厂生产口罩的质量指标~(15,0.0025)N，单位为g，该厂每天生产的质量在(14.9,15.05)gg的口罩数量为818600件，则可以估计该厂每天生产的质量在15.15g以上的口罩数量为()参考数据：若2~(,)N，则()0.6827P，(22)0.9545P，(33)0.9973P．A．158700B．22750C．2700D．1350【答案】D【解析】由题意知，~(15,0.0025)N，即15，20.0025，即0.05；所以0.68270.9545(14.915.05)(2)0.81862PP，9所以该厂每天生产的口罩总量为8186000.81861000000