20202021学年高考数学考点第十二章坐标系与参数方程不等式选讲绝对值不等式理

1绝对值不等式1.绝对值三角不等式(1)定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．几何解释：用向量a，b分别替换a，b.①当a与b不共线时，有|a＋b|＜|a|＋|b|，其几何意义为两边之和大于第三边；②若a，b共线，当a与b同向时，|a＋b|＝|a|＋|b|，当a与b反向时，|a＋b|＜|a|＋|b|；由于定理1与三角形之间的这种联系，故称此不等式为绝对值三角不等式．③定理1的推广：如果a，b是实数，那么||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.(2)定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|.当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．几何解释：在数轴上，a，b，c所对应的点分别为A，B，C，当点B在点A，C之间时，|a－c|＝|a－b|＋|b－c|.当点B不在点A，C之间时：①点B在A或C上时，|a－c|＝|a－b|＋|b－c|；②点B不在A，C上时，|a－c|＜|a－b|＋|b－c|.应用：利用该定理可以确定绝对值函数的值域和最值．2.两类含绝对值不等式的证明技巧一类是比较简单的不等式，往往可通过平方法、换元法去掉绝对值转化为常见的不等式证明，或利用||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，通过适当的添、拆项证明．另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式，往往可考虑利用一般情况成立，则特殊情况也成立的思想，或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明．3.(1)利用绝对值不等式求函数最值时，要注意利用绝对值的性质进行转化，构造绝对值不等式的形式．(2)求最值时要注意等号成立的条件，它也是解题的关键．4.含绝对值的综合问题，综合性强，所用到的知识多，在解题时，要注意应用绝对值不等式的性质、推论及已知条件，还要注意配方等等价变形，同时在应用绝对值不等式放缩性质求最值时，还要注意等号成立的条件．5.绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|a与|x|a的解集：不等式a0a＝0a0|x|a(－a，a)∅∅|x|a(－∞，－a)∪(－∞，0)∪R2(a，＋∞)(0，＋∞)(2)|ax＋b|≤c(c0)和|ax＋b|≥c(c0)型不等式的解法：①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c；(3)|x－a|＋|x－b|≥c(c0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c0)型不等式的解法：①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．6．含有绝对值的不等式的性质(1)如果a，b是实数，则|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．(2)如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．1．（2019•上海）不等式|1|5x的解集为__________．【答案】(6,4)【解析】由|1|5x得515x，即64x故答案为：(6,4)．2．（2018•上海）不等式||1x的解集为__________．【答案】{|1xx或1}x【解析】由||1x，解得：1x或1x，故不等式的解集是{|1xx或1}x，故答案为：{|1xx或1}x．3．（2017•上海）不等式|1|3x的解集为__________．【答案】(2,4)【解析】|1|3x，313x，24x，故不等式的解集是(2,4)，故答案为：(2,4)．4．（2020•江苏）设xR，解不等式2|1|||4xx．3【解析】32,02|1|||2,1032,1xxxxxxxx剟．2|1|||4xx，3240xx或2410xx剟或3241xx，203x或10x剟或21x，223x，不等式的解集为2{|2}3xx．5．（2020•新课标Ⅰ）已知函数()|31|2|1|fxxx．（1）画出()yfx的图象；（2）求不等式()(1)fxfx的解集．【解析】函数3,(1)1()|31|2|1|51,(1)313,()3xxfxxxxxxx…„，图象如图所示4（2）由于(1)fx的图象是函数()fx的图象向左平移了一个单位所得，（如图所示）直线51yx向左平移一个单位后表示为5(1)154yxx，联立354yxyx，解得横坐标为76x，不等式()(1)fxfx的解集为7{|}6xx．6．（2020•新课标Ⅱ）已知函数2()|||21|fxxaxa．（1）当2a时，求不等式()4fx…的解集；（2）若()4fx…，求a的取值范围．【解析】（1）当2a时，27,3()|4||3|1,3427,4xxfxxxxxx„…，当3x„时，不等式()4fx…化为274x…，即32x„，32x„；当34x时，不等式()4fx…化为14…，此时x；当4x…时，不等式()4fx…化为274x…，即112x…，112x…．5综上，当2a时，不等式()4fx…的解集为3{|2xx„或11}2x…；（2）2222()|||21||(21)||(1)|(1)fxxaxaxaxaaa…．又()4fx…，2(1)4a…，得12a„或12a…，解得：1a„或3a…．综上，若()4fx…，则a的取值范围是(，1][3，)．7．（2019•江苏）设xR，解不等式|||21|2xx．【解析】131,21|||21|1,0231,0xxxxxxxx剟，|||21|2xx，31212xx或12102xx剟或3120xx，1x或x或13x，不等式的解集为1{|3xx或1}x．8．（2019•新课标Ⅱ）已知()|||2|()fxxaxxxa．（1）当1a时，求不等式()0fx的解集；（2）当(,1)x时，()0fx，求a的取值范围．【解析】（1）当1a时，()|1||2|(1)fxxxxx，()0fx，当1x时，2()2(1)0fxx，恒成立，1x；当1x…时，()(1)(|2|)0fxxxx…恒成立，x；综上，不等式的解集为(,1)；（2）当1a…时，()2()(1)0fxaxx在(,1)x上恒成立；当1a时，(,1)xa，()2()0fxxa，不满足题意，a的取值范围为：[1，)9．（2018•新课标Ⅰ）已知()|1||1|fxxax．6（1）当1a时，求不等式()1fx的解集；（2）若(0,1)x时不等式()fxx成立，求a的取值范围．【解析】（1）当1a时，2,1()|1||1|2,112,1xfxxxxxx剟，由()1fx，2111xx剟或211x，解得12x，故不等式()1fx的解集为1(2，)，（2）当(0,1)x时不等式()fxx成立，|1||1|0xaxx，即1|1|0xaxx，即|1|1ax，111ax，02ax，(0,1)x，0a，20xa，2ax22x，02a„，故a的取值范围为(0，2]．10．（2018•新课标Ⅱ）设函数()5|||2|fxxax．（1）当1a时，求不等式()0fx…的解集；（2）若()1fx„，求a的取值范围．【解析】（1）当1a时，24,1()5|1||2|2,1226,2xxfxxxxxx„…．7当1x„时，()240fxx…，解得21x剟，当12x时，()20fx…恒成立，即12x，当2x…时，()260fxx…，解得23x剟，综上所述不等式()0fx…的解集为[2，3]，（2）()1fx„，5|||2|1xax„，|||2|4xax…，|||2||||2||2||2|xaxxaxxaxa…，|2|4a…，解得6a„或2a…，故a的取值范围(，6][2，)．11．（2017•新课标Ⅰ）已知函数2()4fxxax，()|1||1|gxxx．（1）当1a时，求不等式()()fxgx…的解集；（2）若不等式()()fxgx…的解集包含[1，1]，求a的取值范围．【解析】（1）当1a时，2()4fxxx，是开口向下，对称轴为12x的二次函数，2,1()|1||1|2,112,1xxgxxxxxx剟，当(1,)x时，令242xxx，解得1712x，()gx在(1,)上单调递增，()fx在(1,)上单调递减，此时()()fxgx…的解集为(1，171]2；当[1x，1]时，()2gx，()(1)2fxf…．当(,1)x时，()gx单调递减，()fx单调递增，且(1)(1)2gf．综上所述，()()fxgx…的解集为[1，171]2；（2）依题意得：242xax…在[1，1]恒成立，即220xax„在[1，1]恒成立，则只需221120(1)(1)20aa„„，解得11a剟，故a的取值范围是[1，1]．12．（2017•新课标Ⅲ）已知函数()|1||2|fxxx．8（1）求不等式()1fx…的解集；（2）若不等式2()fxxxm…的解集非空，求m的取值范围．【解析】（1）3,1()|1||2|21,123,2xfxxxxxx剟，()1fx…，当12x剟时，211x…，解得12x剟；当2x时，31…恒成立，故2x；综上，不等式()1fx…的解集为{|1}xx…．（2）原式等价于存在xR使得2()fxxxm…成立，即2[()]maxmfxxx„，设2()()gxfxxx．由（1）知，2223,1()31,123,2xxxgxxxxxxx„…，当1x„时，2()3gxxx，其开口向下，对称轴方程为112x，()(1)1135gxg„；当12x时，2()31gxxx，其开口向下，对称轴方程为3(1,2)2x，3995()()12424gxg„；当2x…时，2()3gxxx，其开口向下，对称轴方程为122x，()gxg„（2）4231；综上，5()4maxgx，m的取值范围为(，5]4．1．（2020•安庆模拟）已知函数||()2||3xfxx，则不等式()0fx的解集为()A．(1,1)B．(1,)9C．(，1)(1，)D．(,1)【答案】C【解析】由||()2||30xfxx，得||2||3xx，作出函数||2xy与||3yx的图象如图，当0x时，由||2||3xx，得23xx，再令()23xgxx，当0x时，该函数为增函数，而g（1）0，0x时，函数||2xy与||3yx的图象的交点的横坐标为1，由对称性可得，0x时，函数||2xy与||3yx的图象的交点的横坐标为1，由图可知，不等式()0f