20202021学年高考数学考点第十章统计与概率随机抽样用样本估计总体理

1随机抽样、用样本估计总体1．随机抽样(1)简单随机抽样：一般地，设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．(2)系统抽样：当总体中的个体数目较多时，可将总体分成均衡的几个部分，然后按照事先定出的规则，从每一部分抽取一个个体得到所需要的样本，这种抽样方法叫做系统抽样．(3)分层抽样：一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样．2．用样本的频率分布估计总体分布(1)在频率分布直方图中，纵轴表示频率/组距，数据落在各小组内的频率用各小长方形的面积表示．各小长方形的面积总和等于1.(2)频率分布折线图和总体密度曲线①频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图．②总体密度曲线：随着样本容量的增加，作图时所分的组数增加，组距减小，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，即总体密度曲线．(3)茎叶图茎是指中间的一列数，叶是从茎的旁边生长出来的数．3．用样本的数字特征估计总体的数字特征(1)众数：一组数据中出现次数最多的数．(2)中位数：将数据从小到大排列，若有奇数个数，则最中间的数是中位数；若有偶数个数，则中间两数的平均数是中位数．(3)平均数：x＝x1＋x2＋…＋xnn，反映了一组数据的平均水平．(4)标准差：是样本数据到平均数的一种平均距离，s＝1n[x1－x2＋x2－x2＋…＋xn－x2].(5)方差：s2＝1n[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(xn－x)2](xn是样本数据，n是样本容量，x是样本平均数)．概念方法微思考1．三种抽样方法有什么共同点和联系？提示(1)抽样过程中每个个体被抽取的机会均等．(2)系统抽样中在起始部分抽样时采用简单随机抽样；分层抽样中各层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样．22．平均数、标准差与方差反映了数据的哪些特征？提示平均数反映了数据取值的平均水平，标准差、方差反映了数据对平均数的波动情况，即标准差、方差越大，数据的离散程度越大，越不稳定；反之离散程度越小，越稳定．1．（2019•新课标Ⅰ）某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号1，2，，1000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验．若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是()A．8号学生B．200号学生C．616号学生D．815号学生【答案】C【解析】：从1000名学生从中抽取一个容量为100的样本，系统抽样的分段间隔为100010100，46号学生被抽到，则根据系统抽样的性质可知，第一组随机抽取一个号码为6，以后每个号码都比前一个号码增加10，所有号码数是以6为首项，以10为公差的等差数列，设其数列为{}na，则610(1)104nann，当62n时，62616a，即在第62组抽到616．故选C．2．（2019•新课标Ⅲ）《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该学校学生总数比值的估计值为()A．0.5B．0.6C．0.7D．0.8【答案】C【解析】某中学为了了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，作出维恩图，得：3该学校阅读过《西游记》的学生人数为70人，则该学校阅读过《西游记》的学生人数与该学校学生总数比值的估计值为：700.7100．故选C．3．（2020•天津）从一批零件中抽取80个，测量其直径（单位：)mm，将所得数据分为9组：[5.31，5.33)，[5.33，5.35)，，[5.45，5.47)，[5.47，5.49]，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间[5.43，5.47)内的个数为()A．10B．18C．20D．36【答案】B【解析】直径落在区间[5.43，5.47)的频率为(6.255)0.020.225，则被抽取的零件中，直径落在区间[5.43，5.47)内的个数为0.2258018个，故选B．4．（2020•新课标Ⅲ）设一组样本数据1x，2x，，nx的方差为0.01，则数据110x，210x，，10nx的方差为()A．0.01B．0.1C．1D．104【答案】C【解析】样本数据1x，2x，，nx的方差为0.01，根据任何一组数据同时扩大几倍方差将变为平方倍增长，数据110x，210x，，10nx的方差为：1000.011，故选C．5．（2020•新课标Ⅲ）在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为1p，2p，3p，4p，且411iip，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是()A．140.1pp，230.4ppB．140.4pp，230.1ppC．140.2pp，230.3ppD．140.3pp，230.2pp【答案】B【解析】选项:()10.120.430.440.12.5AEx，所以2222()(12.5)0.1(22.5)0.4(32.5)0.4(42.5)0.10.65Dx；同理选项:()2.5BEx，()1.85Dx；选项:()2.5CEx，()1.05Dx；选项:()2.5DEx，()1.45Dx；故选B．6．（2019•新课标Ⅱ）演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是()A．中位数B．平均数C．方差D．极差【答案】A【解析】根据题意，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分，7个有效评分与9个原始评分相比，最中间的一个数不变，即中位数不变，故选A．7．（2017•山东）如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件）．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x和y的值分别为()5A．3，5B．5，5C．3，7D．5，7【答案】A【解析】由已知中甲组数据的中位数为65，故乙组数据的中位数也为65，即5y，则乙组数据的平均数为：66，故3x，故选A．8．（2017•新课标Ⅰ）为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田．这n块地的亩产量（单位：)kg分别是1x，2x，，nx，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是()A．1x，2x，，nx的平均数B．1x，2x，，nx的标准差C．1x，2x，，nx的最大值D．1x，2x，，nx的中位数【答案】B【解析】在A中，平均数是表示一组数据集中趋势的量数，它是反映数据集中趋势的一项指标，故A不可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度；在B中，标准差能反映一个数据集的离散程度，故B可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度；在C中，最大值是一组数据最大的量，故C不可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度；在D中，中位数将数据分成前半部分和后半部分，用来代表一组数据的“中等水平”，故D不可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度．故选B．9．（2018•新课标Ⅲ）某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异．为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是___________．【答案】分层抽样【解析】某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异，为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是分层抽样．故答案为：分层抽样．610．（2017•江苏）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取___________件．【答案】18【解析】产品总数为2004003001001000件，而抽取60件进行检验，抽样比例为6061000100，则应从丙种型号的产品中抽取630018100件，故答案为：18．11．（2020•上海）已知有四个数1，2，a，b，这四个数的中位数是3，平均数是4，则ab___________．【答案】36【解析】因为四个数的平均数为4，所以441213ab，因为中位数是3，所以232a，解得4a，代入上式得1349b，所以36ab，故答案为：36．12．（2020•江苏）已知一组数据4，2a，3a，5，6的平均数为4，则a的值是___________．【答案】2【解析】一组数据4，2a，3a，5，6的平均数为4，则42(3)5645aa，解得2a．故答案为：2．13．（2019•江苏）已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是___________．【答案】53【解析】一组数据6，7，8，8，9，10的平均数为：1(6788910)86x，该组数据的方差为：222222215[(68)(78)(88)(88)(98)(108)]63S．故答案为：53．14．（2018•江苏）已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的7分数的平均数为___________．【答案】90【解析】根据茎叶图中的数据知，这5位裁判打出的分数为89、89、90、91、91，它们的平均数为1(8989909191)905．故答案为：90．15．（2019•北京）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的1000名学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：不大于2000元大于2000元仅使用A27人3人仅使用B24人1人（Ⅰ）估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数；（Ⅱ）从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于2000元的概率；（Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2000元．结合（Ⅱ）的结果，能否认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由．【解析】（Ⅰ）由题意得：从全校所有的1000名学生中随机抽取的100人中，A，B两种支付方式都不使用的有5人，仅使用A的有30人，仅使用B的有25人，A，B两种支付方式都使用的人数有：1005302540，估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数为：401000400100人．（Ⅱ）从样本仅使用B的学生有25人，其中不大于2000元的有24人，大于2000元的有1人，从中随机抽取1人，基本事件总数25n，8该学生上个月支付金额大于2000元包含的基本事件个数1m，该学生上个月支付金额大于2000元的概率125mpn．（Ⅲ）不能认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化，理由如下：上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，发现他本月的支付