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2020-2021年高考物理重点专题讲解及突破05：万有引力与航天一、开普勒三定律定律内容图示或公式开普勒第一定律(轨道定律)所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上开普勒第二定律(面积定律)对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等开普勒第三定律(周期定律)所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等a3T2＝k，k是一个与行星无关的常量二、万有引力定律1．内容自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的二次方成反比．2．表达式F＝Gm1m2r2，G为引力常量，G＝6.67×10－11N·m2/kg2.3．适用条件(1)公式适用于质点间的相互作用．当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点．(2)质量分布均匀的球体可视为质点，r是两球心的距离．4．万有引力与重力的关系地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向，如图所示．(1)在赤道上：GMmR2＝mg1＋mω2R.(2)在两极上：GMmR2＝mg2.(3)在一般位置：万有引力GMmR2等于重力mg与向心力F向的矢量和．超重点1：万有引力定律及其应用越靠近南北两极g值越大，由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即GMmR2＝mg.2．星球上空的重力加速度g′星球上空距离星体中心r＝R＋h处的重力加速度为g′，mg′＝GmMR＋h2，得g′＝GMR＋h2.所以gg′＝R＋h2R2.1．(多选)如图所示，三颗质星均为m的地球同步卫星等间隔分布在半径为r的圆轨道上，设地球质量为M，半径为R.下列说法正确的是()A．地球对一颗卫星的引力大小为GMmr－R2B．一颗卫星对地球的引力大小为GMmr2C．两颗卫星之间的引力大小为Gm23r2D．三颗卫星对地球引力的合力大小为3GMmr2【解析】地球与卫星之间的距离应为地心与卫星之间的距离，选项A错误，B正确；两颗相邻卫星与地球球心的连线互成120°角，间距为3r，代入数据得，两颗卫星之间引力大小为Gm23r2，选项C正确；三颗卫星对地球引力的合力为零，选项D错误．【答案】BC2．科幻大片《星际穿越》是基于知名理论物理学家基普·索恩的黑洞理论，加入人物和相关情节改编而成的．电影中的黑洞花费三十名研究人员将近一年的时间，用数千台计算机精确模拟才得以实现，让我们看到了迄今最真实的黑洞模样．若某黑洞的半径R约为45km，质量M和半径R的关系满足MR＝c22G(其中c＝3×108m/s，G为引力常量)，则该黑洞表面的重力加速度大约为()A．108m/s2B．1010m/s2C．1012m/s2D．1014m/s2【解析】黑洞实际为一天体，天体表面的物体受到的重力近似等于物体与该天体之间的万有引力，设黑洞表面的重力加速度为g，对黑洞表面的某一质量为m的物体，有GMmR2＝mg，又有MR＝c22G，联立解得g＝c22R，代入数据得重力加速度约为1012m/s2，故选项C正确．【答案】C3．(2015·高考江苏卷)过去几千年来，人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内，行星“51pegb”的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕．“51pegb”绕其中心恒星做匀速圆周运动，周期约为4天，轨道半径约为地球绕太阳运动半径的120.该中心恒星与太阳的质量比约为()A.110B．1C．5D．10【解析】研究行星绕某一恒星做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力有GMmr2＝m4π2T2r，解得M＝4π2r3GT2.“51pegb”绕其中心恒星做匀速圆周运动，周期约为4天，轨道半径约为地球绕太阳运动半径的120，所以该中心恒星与太阳的质量比约为错误!≈1，B正确．【答案】B※中心天体质量和密度常用的估算方法使用方法已知量利用公式表达式备注质量的计算利用运行天体r、TGMmr2＝mr4π2T2M＝4π2r3GT2只能得到中心天体的质量r、vGMmr2＝mv2rM＝rv2Gv、TGMmr2＝mv2rGMmr2＝mr4π2T2M＝v3T2πG利用天体表面重力加速度g、Rmg＝GMmR2M＝gR2G－密度的计算利用运行天体r、T、RGMmr2＝mr4π2T2M＝ρ·43πR3,ρ＝3πr3GT2R3当r＝R时ρ＝3πGT2利用近地卫星只需测出其运行周期利用天体表面重力加速度g、Rmg＝GMmR2M＝ρ·43πR3ρ＝3g4πGR－【典例1】(多选)公元2100年，航天员准备登陆木星，为了更准确了解木星的一些信息，到木星之前做一些科学实验，当到达与木星表面相对静止时，航天员对木星表面发射一束激光，经过时间t，收到激光传回的信号，测得相邻两次看到日出的时间间隔是T，测得航天员所在航天器的速度为v，已知引力常量G，激光的速度为c，则()A．木星的质量M＝v3T2πGB．木星的质量M＝π2c3t32GT2C．木星的质量M＝4π2c3t3GT2D．根据题目所给条件，可以求出木星的密度【解析】航天器的轨道半径r＝vT2π，木星的半径R＝vT2π－ct2，木星的质量M＝4π2r3GT2＝v3T2πG；知道木星的质量和半径，可以求出木星的密度，故A、D正确，B、C错误．【答案】AD[易错警示]估算天体质量和密度的4点注意(1)利用万有引力提供天体做圆周运动的向心力估算天体质量时，估算的只是中心天体的质量，而非环绕天体的质量．(2)区别天体半径R和卫星轨道半径r，只有在天体表面附近的卫星，才有r≈R；计算天体密度时，V＝43πR3中的“R”只能是中心天体的半径．(3)天体质量估算中常有隐含条件，如地球的自转周期为24h，公转周期为365天等．(4)注意黄金代换式GM＝gR2的应用．训练1．“嫦娥一号”是我国首次发射的探月卫星，它在距月球表面高度为200km的圆形轨道上运行，运行周期为127分钟．已知引力常量G＝6.67×10－11N·m2/kg2，月球半径约为1.74×103km.利用以上数据估算月球的质量约为()A．8.1×1010kgB．7.4×1013kgC．5.4×1019kgD．7.4×1022kg【解析】对“嫦娥一号”探月卫星，由于万有引力提供其做圆周运动的向心力，则GMmR＋h2＝m4π2T2(R＋h)，整理得：M＝4π2GT2(R＋h)3，代入数据可得M≈7.4×1022kg，则D正确．【答案】D训练2．假设地球可视为质量均匀分布的球体．已知地球表面重力加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为g，地球自转的周期为T，引力常量为G.地球的密度为()A.g0－gGT2g0B.3πg0GT2g0－gC.3πGT2D.3πg0GT2g【解析】物体在地球的两极时，mg0＝GMmR2，物体在赤道上时，mg＋m(2πT)2R＝GMmR2，以上两式联立解得地球的密度ρ＝3πg0GT2g0－g.故选项B正确，选项A、C、D错误．【答案】B1．卫星发射及变轨过程概述人造卫星的发射过程要经过多次变轨方可到达预定轨道．如图所示，发射卫星的过程大致有以下几个步骤：(1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上．(2)在A处点火加速，由于速度变大，进入椭圆轨道Ⅱ.(3)在B处(远地点)再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ.2．卫星变轨的实质(1)当卫星的速度突然增大时，有GMmr2＜mv2r，即万有引力不足以提供向心力，卫星将做离心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变大．当卫星进入新的圆轨道稳定运行时，由v＝GMr可知，其运行速度比原轨道时减小，但重力势能、机械能均增加．(2)当卫星的速度突然减小时，有GMmr2＞mv2r，即万有引力大于所需要的向心力，卫星将做近心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变小．当卫星进入新的圆轨道稳定运行时，由v＝GMr可知，其运行速度比原轨道时增大，但重力势能、机械能均减小．1．(2016·高考北京卷)如图所示，一颗人造卫星原来在椭圆轨道1绕地球E运行，在P点变轨后进入轨道2做匀速圆周运动．下列说法正确的是()超重点2：卫星变轨与追及问题A．不论在轨道1还是轨道2运行，卫星在P点的速度都相同B．不论在轨道1还是轨道2运行，卫星在P点的加速度都相同C．卫星在轨道1的任何位置都具有相同加速度D．卫星在轨道2的任何位置都具有相同动量【解析】卫星由轨道1上运行到P点，经加速后才能在轨道2上运行，故A错误．由GMmr2＝ma得a＝GMr2，由此式可知B正确，C错误．卫星在轨道2上的任何位置具有的速度大小相等，但方向不同，故D错误．【答案】B2.(2020·河北石家庄模拟)如图所示，有A、B两颗卫星绕地心O做圆周运动，旋转方向相同．A卫星的周期为T1，B卫星的周期为T2，在某一时刻两卫星相距最近，则(引力常量为G)()A．两卫星经过时间t＝T1＋T2两次相距最近B．两颗卫星的轨道半径之比为C．若已知两颗卫星相距最近时的距离，可求出地球的密度D．若已知两颗卫星相距最近时的距离，可求出地球表面的重力加速度【解析】两行星相距最近时，两行星应该在同一半径方向上，A多转动一圈时，第二次追上B时，两者转动的角度相差2π，即2πT1t－2πT2t＝2π，得出t＝T1T2T2－T1，故A错误；根据万有引力提供向心力得GMmr2＝m4π2T2r，A卫星的周期为T1，B卫星的周期为T2，所以两颗卫星的轨道半径之比为故B正确；若已知两颗卫星相距最近时的距离，结合两颗卫星的轨道半径之比可以求得两颗卫星的轨道半径，根据万有引力提供向心力得，GMmr2＝m4π2T2r，所以可求出地球的质量，但不知道地球的半径，所以不可求出地球密度，故C错误；若已知两颗卫星相距最近时的距离，结合两颗卫星的轨道半径之比可以求出两颗卫星的轨道半径，但不知道地球的半径，所以不可求出地球表面的重力加速度，故D错误．【答案】B3.2017年1月18日，世界首颗量子科学实验卫星“墨子号”在圆满完成4个月的在轨测试任务后，正式交付用户使用．如图为“墨子号”变轨示意图，轨道A与轨道B相切于P点，轨道B与轨道C相切于Q点，以下说法正确的是()A．“墨子号”在轨道B上由P向Q运动的过程中速率越来越大B．“墨子号”在轨道C上经过Q点的速率大于在轨道A上经过P点的速率C．“墨子号”在轨道B上经过P时的向心加速度大于在轨道A上经过P点时的向心加速度D．“墨子号”在轨道B上经过Q点时受到的地球的引力小于经过P点时受到的地球的引力【解析】“墨子号”在轨道B上由P向Q运动的过程中，逐渐远离地心，速率越来越小，选项A错误；“墨子号”在A、C轨道上运行时，轨道半径不同，根据GMmr2＝mv2r可得v＝GMr，轨道半径越大，线速度越小，选项B错误；“墨子号”在A、B两轨道上经过P点时，离地心的距离相等，受地球的引力相等，所以加速度相等，选项C错误；“墨子号”在轨道B上经过Q点比经过P点时离地心的距离要远些，受地球的引力要小些，选项D正确．【答案】D1．“双星”模型(1)两颗行星做匀速圆周运动所需的向心力是由它们之间的万有引力提供的，故两行星做匀速圆周运动的向心力大小相等．(2)两颗行星均绕它们连线上的一点做匀速圆周运动，因此它们的运行周期和角速度是相等的．(3)两颗行星做匀速圆周运动的半径r1和r2与两行星间距L的大小关系：r1＋r2＝L.2．“多星”模型(1)多颗行星在同一轨道绕同一点做匀速圆周运动，每颗行星做匀速圆周运动所需的向心力由其他各个行星对该行星的万有引力的合力提供．(2)每颗行星转动的方向相同，运行周期、角速度和线速度大小相等．3．处理技巧(1)向心力来源的确定：双星问题中，向心力来源于另一个星体的万有引力；多星问题中，向心力则来源于其余星体的万有引力的合力．(2)圆心或轨道半径的确定及求解：双星问题中，轨道的圆心位于两星连线上某处，只有两星质量相等时才位于连线的中点，此处极易发生的错误是列式时将两星之间的距离当作轨道半径；多星问题中，也只有各星体的质量相等时轨道圆心才会位于几何图形的中心位置，解题时一定要弄清题给条件．【典例2