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1微专题70“带电粒子在交变电磁场中的运动”的解题策略1．先分析在一个周期内粒子的运动情况，明确运动性质，再判断周期性变化的电场或磁场对粒子运动的影响．2．画出粒子运动轨迹，分析运动空间上的周期性、时间上的周期性．1．(2019·吉林名校第一次联合模拟)如图1甲所示，在直角坐标系中的0≤x≤L区域内有沿y轴正方向的匀强电场，右侧有以点(2L,0)为圆心、半径为L的圆形区域，与x轴的交点分别为M、N，在xOy平面内，从电离室产生的质量为m、带电荷量为e的电子以几乎为零的初速度从P点飘入电势差为U的加速电场中，加速后经过右侧极板上的小孔Q点沿x轴正方向进入匀强电场，已知O、Q两点之间的距离为L2，飞出电场后从M点进入圆形区域，不考虑电子所受的重力．图1(1)求0≤x≤L区域内电场强度E的大小和电子从M点进入圆形区域时的速度vM；(2)若圆形区域内加一个垂直于纸面向外的匀强磁场，使电子穿出圆形区域时速度方向垂直于x轴，求所加磁场磁感应强度B的大小和电子在圆形区域内运动的时间t；(3)若在电子从M点进入磁场区域时，取t＝0，在圆形区域内加如图乙所示变化的磁场(以垂直于纸面向外为正方向)，最后电子从N点飞出，速度方向与进入圆形磁场时方向相同，请写出磁场变化周期T满足的关系表达式．2．(2020·湖南长沙市雅礼中学月考)如图2甲所示，在xOy平面内存在垂直平面向里的磁场，磁场的变化规律如图乙所示(规定向里为磁感应强度的正方向)，在t＝0时刻由原点O发射一个初速度大小为v，方向沿y轴正方向的带负电的粒子(不计重力)．图2(1)若粒子的比荷大小为π2B0t0，且仅在乙图磁场变化情况下，试求：带电粒子从出发到再次2回到原点所用的时间；(2)若粒子的比荷变为2π3B0t0，且仅在乙图磁场变化情况下，则带电粒子能否回到原点，若不能，请说明理由．若能，求轨迹上离y轴的最大距离；(3)若粒子的比荷变为πB0t0，同时在y轴方向加匀强电场，其电场强度的变化规律如图丙所示(沿y轴正方向的电场强度为正)，要使带电粒子能够在运动一段时间后回到原点O，则E0的取值应为多少？3.(2019·浙江宁波市十校联考)如图3甲所示，在y≥0的区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，其磁感应强度B随时间t变化的规律如图乙所示；与x轴平行的虚线MN下方有沿＋y方向的匀强电场，电场强度E＝8π×103N/C.在y轴上放置一足够大的挡板．t＝0时刻，一个带正电粒子从P点以v＝2×104m/s的速度沿＋x方向射入磁场．已知电场边界MN到x轴的距离为π－210m，P点到坐标原点O的距离为1.1m，粒子的比荷qm＝106C/kg，不计粒子的重力．求粒子：图3(1)在磁场中运动时距x轴的最大距离；(2)连续两次通过电场边界MN所需的时间；(3)最终打在挡板上的位置到电场边界MN的垂直距离．4．(2019·广东深圳市4月第二次调研)如图4(a)所示，整个空间存在竖直向上的匀强电场(平行于纸面)，在同一水平线上的两位置，以相同速率同时喷出质量均为m的油滴a和b，带电荷量为＋q的a水平向右，不带电的b竖直向上．b上升高度为h时，到达最高点，此时a恰好与它相碰，瞬间结合成油滴P.忽略空气阻力，重力加速度为g.求：图4(1)油滴b竖直上升的时间及两油滴喷出位置的距离；(2)匀强电场的场强及油滴a、b结合为P后瞬间的速度；3(3)若油滴P形成时恰位于某矩形区域边界，取此时为t＝0时刻，同时在该矩形区域加一个垂直于纸面的周期性变化的匀强磁场，磁场变化规律如图(b)所示，磁场变化周期为T0(垂直纸面向外为正)，已知P始终在矩形区域内运动，求矩形区域的最小面积(忽略磁场突变的影响)．4答案精析1．见解析解析(1)在加速电场中，从P点到Q点由动能定理得：eU＝12mv02可得v0＝2eUm电子从Q点到M点做类平抛运动，x轴方向做匀速直线运动，t＝Lv0＝Lm2eUy轴方向做匀加速直线运动，L2＝12×eEmt2由以上各式可得：E＝2UL电子运动至M点时：vM＝v20＋Eemt2即vM＝2eUm设vM的方向与x轴的夹角为θ，cosθ＝v0vM＝22解得：θ＝45°.(2)如图甲所示，电子从M点到A点，做匀速圆周运动，因O2M＝O2A，O1M＝O1A，且O2A∥MO1，所以四边形MO1AO2为菱形，即R＝L由洛伦兹力提供向心力可得：evMB＝mvM2R即B＝mvMeR＝2LmUet＝34πRvM＝3πL8meU.5(3)电子在磁场中运动最简单的情景如图乙所示，在磁场变化的半个周期内，粒子的偏转角为90°，根据几何知识，在磁场变化的半个周期内，电子在x轴方向上的位移恰好等于轨道半径2R′，即22R′＝2L因电子在磁场中的运动具有周期性，如图丙所示，电子到达N点且速度符合要求的空间条件为：2n(2R′)＝2L(n＝1,2,3，…)电子在磁场中做圆周运动的轨道半径R′＝mvMeB0解得：B0＝2n2emUeL(n＝1,2,3，…)电子在磁场变化的半个周期内恰好转过14圆周，同时在MN间的运动时间是磁场变化周期的整数倍时，可使粒子到达N点且速度满足题设要求，应满足的时间条件是14T0＝T2又T0＝2πmeB0则T的表达式为T＝πmL2n2emU(n＝1,2,3，…)．2．(1)8t0(2)(32＋3π)vt0(3)vB0nπ(n＝1,2,3…)解析(1)带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期T1＝2πmB0q＝4t0，在0～t0、2t0～3t0、4t0～5t0、6t0～7t0时间内，带电粒子做匀速圆周运动，转过的圆心角为90°，在t0～2t0,3t0～4t0、5t0～6t0、7t0～8t0时间内，带电粒子做匀速直线运动．其轨迹如图甲所示，粒子回到原点的时间为t＝4t0＋4t0＝8t0.6(2)带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期T2＝2πmB0q＝3t0，在0～t0、2t0～3t0时间内，带电粒子做匀速圆周运动，转过的圆心角为120°，在t0～2t0时间内，带电粒子做匀速直线运动．其轨迹如图乙所示，由图可知轨迹上离y轴最远点为A，带电粒子圆周运动的半径为r＝mvqB0＝3vt02π由几何关系可知最大距离为x＝2r＋32vt0＝(32＋3π)vt0.(3)带电粒子在磁场中做匀速圆周运动周期T3＝2πmB0q＝2t0，在0～t0时间内，带电粒子做匀速圆周运动，转过的圆心角为180°，在t0～2t0时间内，带电粒子做匀加速运动，在2t0～3t0时间内，带电粒子做匀速圆周运动，转过的圆心角为180°，在3t0～4t0时间内，带电粒子做匀减速运动，回到x轴其轨迹如图丙所示，要使粒子能回到原点必须满足：n(2r2－2r1)＝2r1(n＝1,2,3…)r1＝mvqB0＝vt0πv2＝v＋qE0mt0，则r2＝mv2qB0＝v2t0π＝t0π(v＋qE0mt0)解得：E0＝vB0nπ(n＝1,2,3…)．3．(1)0.4m(2)π2×10－5s或4π×10－5s(3)π＋310m解析(1)粒子在磁场中做匀速圆周运动，有qvB＝mv2R解得半径R＝0.2m，粒子在磁场中运动时，到x轴的最大距离ym＝2R＝0.4m7(2)如图甲所示，粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期T＝2πRv＝2π×0.22×104s＝2π×10－5s由磁场变化规律可知，它在0～3π2×10－5s(即0～34T)时间内做匀速圆周运动至A点，接着沿－y方向做匀速直线运动直至电场边界C点，用时t1＝R＋y0v＝π2×10－5s＝T4进入电场后做匀减速运动至D点，由牛顿第二定律得粒子的加速度：a＝qEm＝8π×109m/s2粒子从C点减速至D点再反向加速至C所需的时间t2＝2va＝2×2×1048π×109s＝π2×10－5s＝T4接下来，粒子沿＋y轴方向匀速运动至A所需时间仍为t1，磁场刚好恢复，粒子将在洛伦兹力的作用下从A做匀速圆周运动，再经3π2×10－5s时间，粒子将运动到F点，此后将重复前面的运动过程．所以粒子连续通过电场边界MN有两种可能：第一种可能是，由C点先沿－y方向到D再返回经过C，所需时间为t＝t2＝π2×10－5s第二种可能是，由C点先沿＋y方向运动至A点开始做匀速圆周运动一圈半后，从G点沿－y方向做匀速直线运动至MN，所需时间为t′＝T4＋3T2＋T4＝2T＝4π×10－5s；(3)由(2)可知，粒子每完成一次周期性的运动，将向－x方向平移2R(即图甲中所示从P点移到F点)，OP＝1.1m＝5.5R，故粒子打在挡板前的一次运动如图乙所示，其中I是粒子开始做圆周运动的起点，J是粒子打在挡板上的位置，K是最后一段圆周运动的圆心，Q是I点与K点连线与y轴的交点．由题意知，QI＝OP－5R＝0.1mKQ＝R－QI＝0.1m＝R2，则JQ＝R2－KQ2＝32R8J点到电场边界MN的距离为32R＋R＋π－210m＝π＋310m.4．(1)2hg2h(2)2mgqgh，方向斜向右上，与水平方向夹角为45°(3)ghT022π2解析(1)设油滴的喷出速率为v0，油滴b做竖直上抛运动，则：0＝v02－2gh解得v0＝2gh0＝v0－gt0，解得t0＝2hg对油滴a的水平分运动，有，x0＝v0t0，解得x0＝2h.(2)两油滴结合之前，油滴a做类平抛运动，设加速度为a，则：qE－mg＝mah＝12at02解得a＝g，E＝2mgq设油滴的喷出速率为v0，结合前瞬间油滴a速度大小为va，方向斜向右上，与水平方向的夹角为θ，则：v0＝vacosθv0tanθ＝at0解得va＝2gh，θ＝45°两油滴的结合过程动量守恒：mva＝2mvP联立解得vP＝gh，方向斜向右上，与水平方向夹角为45°.(3)因qE＝2mg，油滴P在磁场中做匀速圆周运动，设半径为r，周期为T，则：qvP8πmqT0＝2mvP2r解得r＝T0gh4π由T＝2πrvP，解得T＝12T0即油滴P在磁场中的运动轨迹是两个外切圆组成的“8”字形，最小矩形的两条边分别为2r和4r，轨迹如图，最小面积为：Smin＝2r×4r＝ghT022π2.