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1微专题28水平面内的圆周运动问题1．圆周运动的动力学问题实际上是牛顿第二定律的应用，且已知合外力方向(匀速圆周运动指向圆心)．所以遇到圆周运动动力学问题就先做好受力分析，再由牛顿第二定律列方程．2．理解做圆周运动、离心运动、近心运动的条件．1．(多选)(2020·重庆市调研)如图1甲为某游乐园飓风飞椅游玩项目，如图乙为飓风飞椅结构简图．其装置由伞型转盘A、中间圆柱B、底座C和软绳悬挂飞椅D(可视为质点)组成，在距转盘下表面轴心O距离为d的圆周上，用软绳分布均匀地悬挂16座飞椅(图乙中只画两座)，设A、B、C总质量为M，单个飞椅与人的质量之和均为m，悬挂飞椅D的绳长均为L，当水平转盘以角速度ω稳定旋转时，各软绳与竖直方向成θ角，重力加速度为g.则下列判断正确的是()图1A．转盘旋转角速度为gtanθd＋LsinθB．底座C对水平地面压力随转速增加而减小C．底座C对水平地面压力与转速无关，恒为Mg＋16mgD．软绳与竖直方向夹角θ大小与软绳长、转速和乘客质量均有关2．(多选)(2019·广西桂林市、贺州市期末联考)如图2所示，照片中的汽车在水平公路上做匀速圆周运动．已知图中双向四车道的总宽度为15m，内车道内边缘间最远的距离为150m．假设汽车受到的最大静摩擦力等于车重的0.7倍．g取10m/s2，则汽车()图2A．所受的合力可能为零B．只受重力和地面支持力的作用C．所需的向心力不可能由重力和支持力的合力提供D．最大速度不能超过370m/s3．(2019·四川乐山市第一次调查研究)如图3所示，在半径为R的半球形碗的光滑内表面上，2一质量为m的小球在距碗口高度为h的水平面内做匀速圆周运动，重力加速度为g，则小球做匀速圆周运动的角速度为()图3A.ghR2－h2B.ghR2－h2C．ghR－h2D.gh4．(多选)(2019·四川绵阳市第二次诊断)如图4所示，金属块Q放在带有光滑小孔的水平桌面上，一根穿过小孔的细线，上端与Q相连，下端拴着一个小球P.小球P在水平面内做匀速圆周运动(圆锥摆)，细线与竖直方向的夹角为30°；现使小球P在原水平面内做半径更大的匀速圆周运动，且细线与竖直方向的夹角为60°，金属块Q更靠近小孔．且这两种情况下Q均处于静止状态，则后一种情况与原来相比较()图4A．小球P的线速度更大B．小球P运动的周期更大C．小球P的向心力大小之比为3∶1D．金属块Q所受摩擦力大小之比为3∶15.(多选)如图5所示，一根原长为l0的轻弹簧套在光滑直杆AB上，其下端固定在杆的A端，质量为m的小球也套在杆上且与弹簧的上端相连．球与杆一起绕过杆A端的竖直轴OO′匀速转动，且杆与水平面间的夹角始终为30°.已知杆处于静止状态时弹簧的压缩量为l02，重力加速度为g.则下列说法正确的是()图5A．弹簧为原长时，杆的角速度为g2l03B．当杆的角速度为gl0时，弹簧处于压缩状态C．在杆的角速度增大的过程中，小球与弹簧所组成的系统机械能不守恒D．在杆的角速度由0缓慢增大到232gl0过程中，小球的机械能增加了5mgl046．如图6所示，两个相同的小木块A和B(均可看做质点)，质量均为m，用长为L的轻绳连接，置于水平圆盘的同一半径上，A与竖直轴的距离为L，此时绳子恰好伸直且无弹力，木块与圆盘间的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g.若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是()图6A．木块A、B所受的摩擦力始终相等B．木块B所受摩擦力总等于木块A所受摩擦力的两倍C．ω＝kgL是轻绳开始产生弹力的临界角速度D．若ω＝2kg3L，则木块A、B将要相对圆盘发生滑动7．(2019·湖南长沙市雅礼中学期末)如图7所示，M是水平放置的半径足够大的圆盘，绕过其圆心的竖直轴OO′匀速转动，规定经过圆心O水平向右为x轴的正方向．在圆心O正上方距盘面高为h处有一个正在间断滴水的容器，从t＝0时刻开始该容器从O点正上方随传送带沿与x轴平行的方向做匀速直线运动，速度大小为v.已知容器在t＝0时刻滴下第一滴水，以后每当前一滴水刚好落到盘面上时再滴一滴水．不计空气阻力，重力加速度为g，求：图7(1)每一滴水经多长时间落到盘面上；(2)要使每一滴水在盘面上的落点都位于同一直线上，圆盘转动的角速度ω应为多大；(3)第二滴水与第三滴水在盘面上落点间的最大距离x.4答案精析1．AC[对单个的飞椅：mgtanθ＝mω2(d＋Lsinθ)，解得ω＝gtanθd＋Lsinθ，选项A正确；对飞椅，竖直方向Tcosθ＝mg，对整体竖直方向：N＝Mg＋16Tcosθ＝Mg＋16mg，则底座C对水平地面压力大小不变，选项B错误，C正确；由mgtanθ＝mω2(d＋Lsinθ)可知，gtanθ＝ω2(d＋Lsinθ)，则软绳与竖直方向夹角θ大小与软绳长L、角速度ω(转速n)有关，与乘客质量无关，选项D错误．]2．CD[汽车做匀速圆周运动，则所受的合力不可能为零，选项A错误；汽车做匀速圆周运动，竖直方向受重力和地面支持力的作用，水平方向受摩擦力作用，提供汽车做匀速圆周运动的向心力，选项B错误；车在水平公路上做匀速圆周运动，则汽车所需的向心力不可能由重力和支持力的合力提供，只由摩擦力提供，选项C正确；汽车转弯的最大半径为r＝1502m＋15m＝90m，由牛顿第二定律可得μmg＝mv2r，解得v＝μgr＝0.7×10×90m/s＝370m/s，即汽车的最大速度不能超过370m/s，选项D正确．]3．D[根据受力分析和向心力公式可得：mgtanθ＝mrω2，小球做匀速圆周运动的轨道半径为：r＝Rsinθ；解得：ω＝gRcosθ＝gh，故选D.]4．AC[设细线与竖直方向的夹角为θ，细线的拉力大小为T线，细线的长度为L，孔到圆心的高度为h，P球做匀速圆周运动时，由重力和细线的拉力的合力提供向心力，则有：F向＝mv2htanθ＝mgtanθ解得：v＝ghtanθ，由题意后一种情况θ更大，则小球P的线速度更大，故A正确；周期T＝2πRv＝2πhtanθghtanθ＝2πhg，所以小球P的周期不变，故B错误；小球的向心力为：F向＝mgtanθ，所以向心力之比为：tan60°tan30°＝3，故C正确；细线拉力T线＝mgcosθ，对金属块Q，由平衡条件可知，Q受到桌面的静摩擦力的大小等于细线的拉力大小，所以金属块Q所受摩擦5力大小之比为cos30°cos60°＝3，故D错误．]5．CD[弹簧为原长时，小球受重力和杆的弹力，合力提供向心力，有mgtan30°＝mω2l0cos30°，杆的角速度ω＝2g3l0，故A错误；当杆的角速度为gl0＞2g3l0时，弹簧处于伸长状态，故B错误；在杆的角速度增大的过程中，小球的动能增大，重力势能增大，弹簧的弹性势能可能也增大，小球与弹簧所组成的系统机械能不守恒，故C正确；设杆的角速度等于232gl0时小球的速度为v，弹簧伸长量为l，杆的支持力为N，则Ncos30°＝klsin30°＋mg，Nsin30°＋klcos30°＝mω2(l0＋l)cos30°，mgsin30°＝kl02，联立解得l＝l02，初、末状态的弹性势能相等，则小球增加的机械能为ΔE＝ΔEk＋ΔEp，v＝ω×32l0cos30°＝322gl0，ΔEk＝12mv2＝34mgl0，ΔEp＝mg×l0sin30°＝12mgl0，故ΔE＝54mgl0，故D正确．]6．D[当角速度较小时，A、B均靠静摩擦力提供向心力，由于B转动的半径较大，则B先达到最大静摩擦力，角速度继续增大，则轻绳出现拉力，当A的静摩擦力达到最大时，角速度增大，A、B开始发生相对滑动，可知B的静摩擦力方向一直指向圆心，在绳子出现张力前，A、B的角速度相等，半径之比为1∶2，则静摩擦力之比为1∶2，当轻绳出现张力后，A、B的静摩擦力之比不是1∶2，故A、B错误．当摩擦力刚好提供B做圆周运动的向心力时，轻绳开始产生拉力，则kmg＝mω2·2L，解得ω＝kg2L，故C错误；当A的摩擦力达到最大时，A、B将要开始滑动，对A有：kmg－T＝mLω′2，对B有：T＋kmg＝m·2Lω′2，解得ω′＝2kg3L，故D正确．]7．(1)2hg(2)nπg2h(n＝1,2,3，…)(3)5v2hg解析(1)水滴在竖直方向上做自由落体运动，有h＝12gt2，解得t＝2hg.(2)分析题意可知，在相邻两滴水的下落时间内，圆盘转过的角度应为nπ(n＝1,2,3，…)，所以角速度可由ωt＝nπ得ω＝nπt＝nπg2h(n＝1,2,3，…)．(3)第二滴水落在圆盘上时到O点的距离为：x2＝v·2t＝2v2hg，第三滴水落在圆盘上时到O点的距离为：6x3＝v·3t＝3v2hg，当第二滴水与第三滴水在盘面上的落点位于同一直径上圆心两侧时，两点间的距离最大，则：x＝x2＋x3＝5v2hg.