3.3.1-垂径定理

第1课时垂径定理1、通过实验观察，让学生理解圆的轴对称性；掌握垂径定理，理解其探索和证明过程；能初步运用垂径定理解决有关的计算和证明问题.2、在研究过程中，进一步体验“实验—归纳—猜想—证明”的方法；在解题过程中，注重发散思维的培养，同一个问题会从不同的角度去分析解决.3、通过圆的对称性，培养学生对数学的审美观，并激发学生对数学的热爱.教学重点使学生掌握垂径定理、记住垂径定理的题设和结论.教学难点对垂径定理的探索和证明，在解决问题时想到用垂径定理.一、导入新课1、我们已经学习了圆怎样的对称性质？（中心对称）2、实验：探究圆的轴对称性.若将⊙O沿直径对折，观察两部分是否重合？让学生用自己准备好的圆形纸片亲自实验，教师引导学生努力发现：圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线（或直径所在的直线）都是它的对称轴.3、引入新知：如图，左图中AB是⊙O的弦，直径CD与弦AB相交，那么沿直径CD所在的直线折叠之后，图形可以重合吗？右图中，AB是⊙O的弦，直径CD⊥AB,垂足为E.此时再沿直径CD所在直线折叠，图形可以重合吗？ADOCBEDCOAB（重合，说明此图也是轴对称图形，称这种处于特殊位置的直径称为垂直于弦的直径），引出本节课研究的内容.（2）二、探索新知（一）猜想，证明，形成垂径定理1、提问：继续观察右图，根据圆的对称性，把圆沿直径CD所在的直线折叠之后，圆中的线段和弧会出现怎样的位置关系？同时出现怎样的数量关系？2、猜想：可能出现的位置关系是：线段AE和线段BE重合，弧AC和弧BC重合，弧AD和弧BD重合.可能出现的数量关系是：,,AEBEACBCADBD3、证明：利用等腰三角形三线合一的性质或者三角形全等的知识来证明线段AE与线段BD相等，利用圆的对称性证明对应弧相等.板书：OCDAB,EAEBDCDACBCADBD是圆的直径垂足为4、引导学生归纳总结垂径定理的文字表述，板书：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.（二）分析垂径定理的条件和结论1、再次明确垂径定理的条件和结论加深学生的印象.2、利用反例、变式图形对定理进一步引申，揭示定理的本质属性，以加深学生对定理本质的了解.练习：在下列图形中，能使用垂径定理的图形有哪些？3、引申定理：定理中垂直于弦的直径可以是直径、半径，也可以是过圆心的直线或线段.（三）例题例1已知AB，如图，用直尺和圆规求作这条弧的中点．(先介绍弧中点概念)作法：⒈连结AB.⒉作AB的垂直平分线CD，交弧AB于点E.点E就是所求弧AB的中点．变式一：求弧AB的四等分点．思路：先将弧AB平分，再用同样方法将弧AE、弧BE平分．（图略）有一位同学这样画，错在哪里？1．作AB的垂直平分线CD2．作AT、BT的垂直平分线EF、GH（图略）教师强调：等分弧时一定要作弧所对的弦的垂直平分线．[来源:]变式二：你能确定弧AB的圆心吗？方法：只要在圆弧上任意取三点，得到三条弦，画其中两条弦的垂直平分线，交点即为圆弧的圆心．例2一条排水管的截面如图所示．排水管的半径OB=10，水面宽AB=16，求截面圆心O到水面的距离OC．思路：先作出圆心O到水面的距离OC，即画OC⊥AB，∴AC=BC=8，[来源:]在Rt△OCB中，68102222BCOBOCOABC⌒⌒∴圆心O到水面的距离OC为6．例3已知：如图，线段AB与⊙O交于C、D两点，且OA=OB．求证：AC=BD．思路：作OM⊥AB，垂足为M，∴CM=DM∵OA=OB，∴AM=BM，∴AC=BD．概念：圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距．小结：1．画弦心距是圆中常见的辅助线；[来源:]2．半径（r）、半弦、弦心距(d)组成的直角三角形是研究与圆有关问题的主要思路，它们之间的关系：弦长222drAB．注：弦长、半径、弦心距三个量中已知两个，就可以求出第三个．[来源:]做一做1．已知⊙0的半径为13，一条弦的AB的弦心距为5，则这条弦的弦长等于．答案：242．如图，AB是⊙0的中直径，CD为弦，CD⊥AB于E，则下列结论中不一定成立的是（）A．∠COE=∠DOEB．CE=DEC．OE=BED．BD=BC[来源:]答案：C3．过⊙O内一点M的最长弦长为10cm，最短弦长为8cm，那么OM长为（）A．3B．6cmC．cmD．9cm[来源:]答案：A注：圆内过定点M的弦中，最长的弦是过定点M的直径，最短的弦是过定点M与OM垂直的弦，此结论最好让学生记住，课本作业题也有类似的题目．4．如图，⊙O的直径为10，弦AB长为8，M是弦AB上的动点，则OM的长的取值范围是（）A．3≤OM≤5B．4≤OM≤5C．3OM5D．4OM5答案：A5．已知⊙O的半径为10，弦AB∥CD，AB=12，CD=16，则AB和CD的距离为．[来源:数理化网]答案：2或24注：要分两种情况讨论：（1）弦AB、CD在圆心O的两侧；（2）弦AB、CD在圆心O的同侧．6．如图，已知AB、AC为弦，OM⊥AB于点M，ON⊥AC于点N，BC=4，求MN的长．[来源:数理化网]思路：由垂径定理可得M、N分别是AB、AC的中点，所以MN=21BC=2．⌒⌒三、归纳小结１．本节课主要内容：（1）圆的轴对称性；（2）垂径定理．2．垂径定理的应用：（1）作图；（2）计算和证明．3．解题的主要方法：（1）画弦心距是圆中常见的辅助线；（2）半径（r）、半弦、弦心距(d)组成的直角三角形是研究与圆有关问题的主要思路，它们之间的关系：弦长222drAB．