浅谈格林公式的应用

格林公式及其若干应用孙瑜指导老师：魏瑛源（河西学院数学与应用数学专业2008届5班24号,甘肃张掖734000）摘要对格林公式及其它学科的几种表现形式做了论述及证明,利用格林格林公式把二重积分化为曲线积分．关键词闭区域D；曲线积分；二重积分；格林公式中图分类号O172.2１格林公式的内容格林公式是高等教学中一个著名的计算公式,它建立了曲线积分与二重积分之间的联系．它的条件,结论叙述如下：１.１单连通区域设为一平面或空间区域,对于内任意一条闭曲线,总可以在内连续的收缩成内一点则称为单连通区域,否则称是多连通区域．１.２格林公式Ⅰ设D是平面有界闭域,D是有限条封闭的彼此不相交的可求长曲线是并集,DCyxQyxP',,,　则dxdyyPxQQdydxPDDDdxdyQyPx其中D表示边界是正向,若L是D的一条封闭曲线,则L定向如下：当人沿L进行时,使区域D在它的左边,或在L上一点作一右手系标架21,ee使1e指向L的外法线方向,则2e的指向即为L的方向．１.３格林公式Ⅱ设D是平面有界闭域,D是有限条封闭的彼此不相交的逐段光滑曲线DCyxQyxP',,,　则dxdyyPxQdsynQxnPDD,cos,cosn为边界曲线的外法线方向．１.４外微分把被积表达式中是函数（如QP.）换成它的微分,化简时,凡出现两个dzdydx或的项规定为零,凡交换dydx与位置dxdzdzdy与或与或时规定该项变号,这样所得的式子称为的外微分,记作d．格林公式可表达如下:被积表达式在区域边界上的积分等于它的外微分在区域上的积分,即DdD边界正向规定同上．２二重积分转化为曲线积分的一个定理及推论下面给出关于二重积分转化为曲线积分的一个定理并对它进行讨论．把二重积分Ddxdyyxf),(转化为曲线积分,关键是适当的选择具有一阶连续导数的二阶函数),(),,(yxQyxP,使),(yxfyPxQ在D上恒成立．为此,我们有下面的２.１定理设闭区域D由分段光滑曲线L围成,函数),(yxf在D上具有一阶连续倒数且),(321yxfkyfykxfxk,0321kkk则))(,(1),(21321ydxkxdykyxfkkkdxdyyxfLD其中L取D的正向边界曲线．证令),(2yxyfkP,),(1yxxfkQ,于是yfykyxfkyP22),(,xfxkyxfkxQ11),(．yfykxfxkyxfkkyPxQ2121),()(),()(321yxfkkk,Dyx),(．由格林公式得LDdxdyyxfkkkydxkxdykyxf),()())(,(32121,从而LDydxkxdykyxfkkkdxdyyxf))(,(1),(21321．２.２推论设闭区域D由分段光滑曲线L围成,函数),(yxf在D上具有一阶连续偏导数．则（i）当01),(kyxkfxfx且时,LDdyyxxfkdxdyyxf),(11),(；（ii）当01),(kyxkfyfy且时,DLdxyxyfkdxdyyxf),(11),(；（iii）当0yfyxfx时,LDydxxdyyxfdxdyyxf))(,(21),(；（iv）当021yfykxfxk且021kk时,LDydxkxdykyxfkkdxdyyxf))(,(1),(2121,其中L取D的正方向边界曲线．３格林公式的应用３.１格林公式在流体力学及其他学科中有如下几种变型：⑴LDQdxPdydxdyyQxP⑵LDdsnxQnxPdxdyyQxP,sin,cos其中n为曲线Ｌ的外法线方向．⑶dsnuudxdyLD⑷dsnuvdxdyyvyuxvxuudxdyvLDD　＋）＋（＝－⑸dsnvunuvdxdyvuuvLD)()(证明：⑴在公式LDQdyPdxdxdyyPxQ）（中,令1QP,1PQ,则有LDdxQdyPdxdyyQxP)()(1111再将下标去掉,即得．所以原式成立．⑵由平面曲线上两类曲线积分之间的如下联系式：dsQxPQdyPdxLL)coscos(①其中）（yx,,),(yx为有向曲线弧Ｌ上点),(yx处的切线向量的方向角．所以①式也可写成LLdsQPQdyPdx)sincos(②即dsdxdsdycossin因为Ｌ为封闭曲线,取n为曲线弧Ｌ上点),(yx处的法线方向,如图1：sincoscossindsdxdsdysincos再由⑴之结论,可得LDLLdsnxQnxPdsQPQdxPdydxdyyQxP),sin(),cos(sincos)(所以原式成立．此等式也可以看成是高斯公式的平面形式之一．⑶即证dsnudxdyyuxuLD）（22220ααDLxnnyn图１其中nu表示函数u在曲线Ｌ上点),(yx处沿Ｌ的外法线n的方向导数,如图1．DDdxdyyuxuudxdy2222DdxdyyuyxuxDdxdyyuyxux令yuyxP,,xuyxQ,由公式,则上式DLQdyPdxdxdyyPxQdyxudxyuLdsyuxuL)sincos(dsnuL所以原式成立．⑷即证：dsnuvdxdyyvyuyvxudxdyyuxuvLDD)()(2222④在前面结论⑵中令xuvP,yuvQ,即有dxdyyuvyvyuxuvyvxudxdyyvuyxuvxDD][)]()([2222dxdyyvyuxvxudxdyyuxuvDD)()(2222dsyuvxuvL]sincos[dsnuvL）由（3再移项,即可得原式,所以原式成立．另外由⑷的结论也可看出,在⑷式中,若令1v,即可得⑶的结论．⑸因为结论⑷成立,在⑷式中将vu.交换,即有dsnuudxdyyvyuxvxuvdxdyuLDD)(⑤用④式减去⑤式,即得⑸的结论,所以原式成立．3.2利用格林公式将曲线积分化为二重积分．例１计算22Lxydyxyds,其中L为正向圆周222xyR．解本题除了运用参数方程方法解外,还可如下求解,满足格林公式条件:因为2222,,,PQPxyQxyxyyx所以原积分22()Dyxdxdy,考虑极坐标算法:0rR,02所以原积分422002RRdrrdr3.3利用格林公式把二重积分化为曲线积分．例2计算(,)mnDxydxdymnN,其中D是椭圆22221(,0)xyabab与坐标轴围成的第一象限是区域．解1(,),mnmnmnffxyxyxxmxymxyx．由推论（ⅰ）得123111mnmnDLLLxydxdyxydym．显然13110mnmnLLxydyxydy．而211120cossincosmnmmnnLxydyatbtbtdt11220cossinmmmnabttdt1131,222mmabmnB11111,2(1)22mmmmnabBmn,2L3Lx1Lyn0D图２所以1111,2(1)22mmmnDabmnxydxdyBmn．例3计算(,1)Dxydxdy,其中D是由双曲线xyk和直线,(0,0)yaxybxkba围成的第一象限的闭区域．解(,),()fffxyxyxyxyxy．根据定理得1231()2LLLDxydxdyxyxdyydx．因为10()()()0kaLxyxdyydxxaxxadxaxdx．同理1()0Lxyxdyydx．而22()kbkLakkkxyxdyydxxxdxdxxxx112kbkakxdx222212(),.ln,.kabbka注１本题可用推论（１）或（２）求解,但很复杂．注２当时,由于0ffxyxy,所以此时亦可根据推论（４）求解．3.4曲线积分与积分路径的关系．(1)若函数P、Q、Py、Qx在单连通区域G上连续，且PQyx，则沿G内的任一光滑闭曲线的积分为零，即0ynxL3L1L2D图３0LPdxQdy．例4设L是任意一条分段光滑的闭曲线，求证220Lxydxxdy证明令22,PxyQx则PQxyx在全xOy，这个单连通区域G内成立．故由格林公式可得2200LDxydxxdydxdy．(2)当考虑积分LPdxQdy时，若L为平面区域G内一条简单闭曲线，而区域G为含有“点洞”M的复连通区域，函数P、Q除点M外，处处有连续偏导数存在，且满足PQyx．当闭路L不包围点M时，此曲线积分的值为零．当闭路L包围点M时，一般说来，此线积分不再为零，积分值为一常数，具体求法如下：只要选择一个适当小的包围点M的正向闭曲线C来将点M扣掉，则曲线积分在以L和C围成的复连通区域G内仍可用格林公式计算，并有结论：LCPdxQdyPdxQdy其中C为闭路正向．例5计算22Lxdyydxxy，L为任意一条无重点，分段光滑且包围原点的闭曲线．解很明显，坐标原点O为函数P、Q的奇点，其中2222,yxPQxyxy222222222xyxyxxyyxyxy220xy．所以这个积分结果为一个常数，可取以原点为圆心，选取适当小的0r为半径．作为闭曲线L内的圆周C：222xyr，方向为逆时针，对这个复连通区域应用格林公式，有2222LCxdyydxxdyydxxyxy．用参数方程计算：cossinxryr02．上积分=2222220cossin2rrdr．(3)若积分路径为单连通区域G内一条非闭路径，且P、Q、Py、Qx在G上连续，又有QPxy，则曲线积分LPdxQdy与路径L无关，而仅与起、终点A、B有关．例６设fu为连续函数,且C为逐段光滑的闭曲线,试证:QPxy但由格林公式可推出如下四个等价的结论:当区域G为单连通,P、Q、Py、Qx都在G内连续时,则①QPxy成立②0LPdxQdy③LPdxQdy与路径无关,只与起、终点有关④PdxQdy是某个可微函数(,)uxy的全微分,即du