空间向量与平行关系-

第三章空间向量与立体几何3．2立体几何中的向量方法鲁何志新密市第二高级中学第三章空间向量与立体几何第1课时空间向量与平行关系第三章空间向量与立体几何1.理解直线的方向向量与平面的法向量，并能运用它们证明平行问题．2.能用向量语言表述线线，线面，面面的平行关系.第三章空间向量与立体几何1.求直线的方向向量，平面的法向量．(重点)2.用方向向量，法向量处理线线、线面、面面间的平行关系．(重点、难点)第三章空间向量与立体几何1.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，试判断向量AA1→，BB1→，CC1→，DD1→，A1A→，B1B→，C1C→，D1D→与平面ABCD的位置关系是什么？与平面ABCD满足此种关系的向量还有吗？它们的共同特点是什么？第三章空间向量与立体几何2.在正方体ABCD－A1B1C1D1中．(1)棱AB，DC，D1C1，A1B1之间的位置关系是什么？它们的方向向量之间又有什么关系？(2)棱A1B1，B1C1，C1D1，D1A1与平面ABCD有什么样的位置关系？它们的方向向量与平面ABCD的法向量之间又有什么关系？(3)平面ABCD和平面A1B1C1D1的位置关系是什么？它们的法向量之间又有什么关系？第三章空间向量与立体几何1．直线的方向向量直线的方向向量是指和这条直线或的向量，一条直线的方向向量有个．2．平面的法向量直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则a叫做平面α的．共线平行无数法向量第三章空间向量与立体几何3．空间中平行关系的向量表示线线平行设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，则l∥m⇔.线面平行设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为u＝(a2，b2，c2)，则l∥α⇔.面面平行设α，β的法向量分别为u＝(a1，b1，c1)，v＝(a2，b2，c2)，则α∥β⇔.a＝λba·u＝0u∥v⇔u－λv第三章空间向量与立体几何1．设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为b，若a·b＝0，则()A．l∥αB．l⊂αC．l⊥αD．l⊂α或l∥α解析：因为a·b＝0，所以a⊥b，故选D.答案：D第三章空间向量与立体几何2．设平面α的法向量为(1,2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k)，若α∥β，则k＝()A．2B．－4C．4D．－2答案：C解析：∵α∥β，∴1－2＝2－4＝－2k.∴k＝4.第三章空间向量与立体几何3．已知直线l1的一个方向向量为(－7,3,4)，直线l2的一个方向向量为(x，y,8)，且l1∥l2，则x＝________，y＝________.答案：－146解析：∵l1∥l2，∴－7x＝3y＝48，∴x＝－14，y＝6.第三章空间向量与立体几何4．已知在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E、M、N分别是BC、AE、CD1的中点，AD＝AA1＝a，AB＝2a.求证：MN∥平面ADD1A1.证明：以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，第三章空间向量与立体几何则A(a,0，0)，B(a,2a,0)，C(0,2a,0)，D1(0,0，a)，E12a，2a，0.∵M、N分别为AE、CD1的中点，∴M34a，a，0，N0，a，12a，∴MN→＝－34a，0，12a，即n＝(0,1,0)，显然n⊥平面ADD1A1，且MN→·n＝0，∴MN→⊥n.又MN⊄平面ADD1A1，∴MN∥平面ADD1A1.第三章空间向量与立体几何(1)设a，b分别是不重合的直线l1，l2的方向向量，根据下列条件判断l1，l2的位置关系：①a＝(4,6，－2)，b＝(－2，－3,1)②a＝(5,0,2)，b＝(0,1,0)③a＝(－2，－1，－1)，b＝(4，－2，－8)第三章空间向量与立体几何(2)设u，v分别是不同的平面α，β的法向量，根据下列条件判断α，β的位置关系：(3)设u是平面α的法向量，a是直线l的方向向量，根据下列条件判断α与l的位置关系：①u＝(2,2，－1)，a＝(－6,8,4)②u＝(2，－3,0)，a＝(8，－12,0)③u＝(1,4,5)，a＝(－2,4,0)①u＝(－1,1，－2)，v＝3，2，－12②u＝(3,0,0)，v＝(－2,0,0)③u＝(4,2，－3)，v＝(1,4，－2)第三章空间向量与立体几何解答本题可先判断直线的方向向量与平面的法向量之间的位置关系，再转化为直线与平面间的位置关系．[规范作答](1)①∵a＝(4,6，－2)，b＝(－2，－3,1)，∴a＝－2b，∴a∥b，∴l1∥l2.1分②∵a＝(5,0,2)，b＝(0,1,0)，∴a·b＝0，∴a⊥b，∴l1⊥l2.2分③∵a＝(－2，－1，－1)，b＝(4，－2，－8)，∴a与b不共线与不垂直．∴l1与l2相交或异面.4分第三章空间向量与立体几何(2)①∵u＝(－1,1，－2)，v＝3，2，－12，∴u·v＝－3＋2＋1＝0，∴u⊥v，∴α⊥β.5分②∵u＝(3,0,0)，v＝(－2,0,0)，∴u＝－32v，∴u∥v，∴α∥β.6分③∵u＝(4,2，－3)，v＝(1,4，－2)，∴u与v不共线也不垂直，∴α、β相交但不垂直.8分第三章空间向量与立体几何(3)①∵u＝(2,2，－1)，a＝(－6,8,4)，∴u·a＝－12－4＋16＝0，∴u⊥a，∴l⊂α或l∥α.9分②∵u＝(2，－3,0)，a＝(8，－12,0)，∴u＝14a，∴u∥a，∴l⊥α.10分③∵u＝(1,4,5)，a＝(－2,4,0)，∴u与a不共线也不垂直，∴l与α斜交.12分第三章空间向量与立体几何[题后感悟]利用直线的方向向量与平面的法向量判断直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系是直线的方向向量与平面的法向量的基本应用，解决此类问题时需注意以下几点：(1)能熟练的判断两向量的共线与垂直；(2)搞清直线的方向向量，平面的法向量和直线、平面位置关系之间的内在联系；(3)将向量问题转化为几何问题时的等价性．第三章空间向量与立体几何1.(1)设a、b分别是不重合的直线l1、l2的方向向量，判断l1、l2的位置关系．①a＝(2,3，－1)，b＝(－4，－6,2)．②a＝(3,0，－1)，b＝(0,5,0)．(2)设u、v分别是平面α、β的法向量，判断α、β的位置关系．①u＝(1，－1,2)，v＝3，2，－12.②u＝(0,2,0)，v＝(0，－1,0)．第三章空间向量与立体几何(3)设u是平面α的法向量，a是直线l的方向向量，判断直线l与α的位置关系．①u＝(1,1，－1)，a＝(－3,4,1)．②u＝(0,2，－3)，a＝(0，－6,9)．解析：(1)①∵a＝(2,3，－1)，b＝(－4，－6,2)，∴a＝－12b，∴a∥b，∴l1∥l2.第三章空间向量与立体几何②∵a＝(3,0,1)，b＝(0,5,0)，∴a·b＝0，∴a⊥b，∴l1⊥l2.第三章空间向量与立体几何(2)①∵u＝(1，－1,2)，v＝3，2，－12，∴u·v＝3－2－1＝0，∴u⊥v，∴α⊥β.②∵u＝(0,2,0)，v＝(0，－1,0)，∴u＝－35v，∴u∥v，∴α∥β.第三章空间向量与立体几何(3)①∵u＝(1,1，－1)，a＝(－3,4,1)，∴u·a＝－3＋4－1＝0，∴u⊥a，∴l⊂α或l∥α.②∵u＝(0,2，－3)，a＝(0，－6,9)，∴u＝－13a，∴u∥a，∴l⊥α.第三章空间向量与立体几何已知平面α经过三点A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2,0)，试求平面α的一个法向量．[策略点睛]第三章空间向量与立体几何[解题过程]∵A(1,2,3)、B(2,0，－1)、C(3，－2,0)．∴AB→＝(1，－2，－4)，AC→＝(2，－4，－3)．设平面α的法向量是n＝(x，y，z)．依题意，应有n·AB→＝0，n·AC→＝0，即x－2y－4z＝0，2x－4y－3z＝0，解得z＝0且x＝2y，令y＝1，则x＝2.∴平面α的一个法向量是n＝(2,1,0)．第三章空间向量与立体几何[题后感悟]求平面法向量的方法与步骤第三章空间向量与立体几何2.正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，CD的中点，分别求平面AED与平面A1FD的法向量．解析：如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz，设正方体棱长为1，则E1，1，12，F0，12，0，D0，0，0，D1(0,0,1)，A1(1,0,1)，∴DA→＝D1A1→＝(1,0,0)，DE→＝1，1，12，D1F→＝0，12，－1.第三章空间向量与立体几何设m＝(x1，y1，z1)，n＝(x2，y2，z2)分别是平面AED，A1FD1的法向量，由m·DA→＝0，m·DE→＝0⇒x1＝0，x1＋y1＋12z1＝0，令y1＝1，则z1＝－2，即m＝(0,1，－2)．又由n·D1A1→＝0，n·D1F→＝0⇒x2＝0，12y2－z2＝0.令z2＝1，则y2＝2，即n＝(0,2,1)．第三章空间向量与立体几何已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E、F分别是BB1、DD1的中点，求证：(1)FC1∥平面ADE；(2)平面ADE∥平面B1C1F.第三章空间向量与立体几何由题目可获取以下主要信息：①ABCD－A1B1C1D1为正方体且棱长为2；②E、F分别是BB1、DD1的中点．解答本题可先建系，求出直线的方向向量和平面的法向量，再利用方向向量和法向量间的关系判定线面、面面平行．第三章空间向量与立体几何[解题过程]证明：如图所示，建立空间直角坐标系D－xyz，则有D(0,0,0)、A(2,0,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)，E(2,2,1)，F(0,0,1)，B1(2，2,2)，所以FC1→＝(0,2,1)，DA→＝(2,0,0)，AE→＝(0,2,1)．第三章空间向量与立体几何(1)设n1＝(x1，y1，z1)是平面ADE的法向量，则n1⊥DA→，n1⊥AE→，即n·DA→＝2x1＝0n1·AE→＝2y1＋z1＝0，得x1＝0z1＝－2y1，令z1＝2，则y1＝－1，所以n1＝(0，－1,2)．因为FC1→·n1＝－2＋2＝0，所以FC1→⊥n1.又因为FC1→⊄平面ADE，所以FC1∥平面ADE.第三章空间向量与立体几何(2)∵C1B1→＝(2,0,0)，设n2＝(x2，y2，z2)是平面B1C1F的一个法向量．由n2⊥FC1，n2⊥C1B1→，得n2·FC1→＝2y2＋z2＝0n2·C1B1→＝2x2＝0，得x2＝0z2＝－2y2，令z2＝2得y2＝－1，所以n2＝(0，－1,2)，因为n1＝n2，所以平面ADE∥平面B1C1F.第三章空间向量与立体几何[题后感悟]利用向量法证明几何中的平行问题可以通过两条途径实现，一是利用三角形法则和平面向量基本定理实现向量间的相互转化，得到向量的共线关系；二是通过建立空间直角坐标系，借助直线的方向向量和平面的法向量进行平行关系的证明．第三章空间向量与立体几何3.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求证：平面A1BD∥平面CB1D1.第三章空间向量与立体几何证明：以D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1.则A1(1,0,1)，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，B1(1,1,1)，C(0,1,0)∴A1D→＝(－1,0，－1)，A1B→＝(0,1，－1)，D1B1→＝(1,1,0)，D1C→＝(0,1，－1)，第三章空间向量与立体几何设平面A1DB的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)，则n1·A1D→＝0，n1·A1B→＝0，⇒－x1－z1＝0，y1－z1＝0令z1＝1，得x1＝－1，y1＝1.∴平面A1DB的一个法向量为n1＝(－1,1,1)．设平面