第10章电磁场的量子化

244第十章电磁场的量子化在辐射场的作用下，原子的波函数(,)rt所满足的薛定谔方程为：0()iHHt(10.0.1)在经典极限情形，原子是粒子，满足经典力学粒子运动方程。经过量子化得出的薛定谔方程，却赋予原子以波函数(,)rt的描述。同样在经典极限情形光满足Maxwell方程，波场经过量子化后便给出光场的粒子即光子描述。当然，实际上，场的量子化不仅适用于光场，也适用于满足薛定谔方程的物质波场(,)rt。虽然(,)rt经量子化后又回到但不是简单地回到粒子，而是由单粒子理论向多粒子理论的转化。最重要的是包含了粒子的产生与湮灭算符及算符对易规则所蕴含的粒子统计。习惯上称由经典的能量守恒2(,)2EVrtmp出发，应用算子法Eit，ip得出薛定谔方程(10.0.1)为一次量子化，而由(,)rt出发应用场算子的对易规则使场量子化为二次量子化。光与原子相互作用本身就包含了场与粒子两个方面。故只讨论由粒子得出物质波(,)rt所满足的薛定谔方程(10.01)是不够的。还必须讨论电磁场及物质波场(,)rt的量子化，由此得出的粒子表象也是全量子化理论中常用的表象。电磁场的量子化是量子光学中一个重要的基本问题。人们对光亦即电磁波场的认识，是经历了一个漫长过程。在经典力学范围内，最先有牛顿的光微粒假设，后来有惠更斯的波动学说，最后定论在Maxwell的光的电磁波理论。在量子力学范围内，最先有黑体辐射的简谐振子理论，后来有爱因斯坦为了解释光电效应提出的光子学假说。如何将电磁波与光子学说统一起来，就是我们要讨论的电磁场的量子化问题。10.1光场的量子化在研究光与物质相作用，有些现象，如激光现象必需用全量子理论才能解释。因此首先要将光场量子化。10.1.1单模光场的量子化在真空中，MKS单位制下的麦克斯韦方程为：245tDH(10.1.1a)tBE(10.1.1b)0B(10.1.1c)0E(10.1.1d)HB0(10.1.1e)ED0(10.1.1f)考虑偏振方向在x方向的谐振腔内的驻波场，kzNtqtzEnxsin)(),((10.1.2)式中，)(tq是光场的时间部分，kzsin是光场的空间部分(驻波)，nN是归一化系数。由(10.1.1a)有：tEzHxy0(10.1.3)将(10.1.2)式代入上式，可得：kzNtqzHnysin)(0(10.1.4)这样有：kzNtqkkzdzNtqHnnycos)(sin)(00(10.1.5)考虑到其中：ck，0021c则有：kzNtqcHnycos)(10(10.1.6)令：)()(tqtp(10.1.7)则，kzNtpcHnycos)(10(10.1.8)246再利用方程(10.1.1b)，则有：tHzEyx0(10.1.9)将yxHE,，即式(10.1.2)和(10.1.8)代入上式，可得：)()(tqtp(10.1.10)将(10.1.7)式入上式，可得到频率为的谐振子方程：)()(2tqtq(10.1.11)将(10.1.7)和(10.1.10)写成哈密顿方程的形式，如下：pHq(10.1.12a)qHp(10.1.12b)由(10.1.7)、(10.1.10)和(10.1.12)，可知，哈密顿量为：)(2122qpH(10.1.13)作如下变换：'qMq(10.1.14a)'1pMp(10.1.14b)上两式代入(10.1.13)式，有：)'1'(21222PMqMH(10.1.15)上式与简谐振子的哈密顿量完全一样，M相当于振子的质量。在简谐振子量子化时，曾引入对易关系：ipq]','[(10.1.16)由(10.1.14)式，q和p也有同样的对易关系：ipq],[(10.1.17)下面求出归一化常数nN，利用电磁场的哈密顿量的公式，并将yxHE,代入，则有：2222200011[][sincos]22xynHEHdxdydzNqkzpdxdydz(10.1.18)如果谐振腔的截面各为S，长度为L和kz2sin积分为：247LkzdzkzdzdxdySLL21cossin0202(10.1.19)上式代入(10.1.18)式，并注意谐振腔的体积为：VLS，所有有：22011()22nHNVqp(10.1.20)比较(10.1.15)和上式，可得：02nNV(10.1.21)与简谐振子的量子化过程一样，引入产生算符和湮灭算符a和a，它们与q和p的关系是：()2qaa(10.1.22a)()2piaa(10.1.22b)利用q和p的对易关系，并将上式代入(10.1.17)，有：[,][(),()][,]2iqpiaaaaiaa即有：[,]1aa(10.1.23)将q和nN的表达式(10.1.22a)和(10.1.21)代入光场的表达式(10.1.2)，有：00(,)()sin()sinxEztaakzEaakzV(10.1.24)式中：00EV(10.1.25)是一个光子的电场。将q,p和nN的表达式(10.1.22)和(10.1.21)代入H的表达式(10.1.13)，有：11[()(),()()]42Haaaaaaaaaa(10.1.26)这样，可以得到H和,aa的对易关系如下：[,][,][,]Haaaaaaaa(10.1.27a)248[,]Haa(10.1.27b)由海森堡方程可证明a和a分别对就于光场的正频部分与负频部分，i()[,]atHaa(10.1.28a)()ata(10.1.28b)()(0)eaata(10.1.28c)()(0)eaata(10.1.28d)10.1.2光子数态由于简谐振子在量子光学中的重要性，下边求出光子数算符a和a的本征态，即光子数态n。HHH(10.1.29)[,]()HaHaHaHaH(10.1.30)因此aH也是能量的本征态，但本征值是()。由于a使能量降低，所以称为湮灭算符。重复使用湮灭算符，便得到真空态，其本征能量最低，记为0，00a(10.1.31)由式(10.1.31)和式(10.1.26)式，可求出真空态的本征能量，1100022Haa(10.1.32)012(10.1.33)12就称为零点能量。同样可以分析a的作用，利用式(10.1.27b)，考虑10002HaaHaa(10.1.34)因此a的作用是把能量增加，将a连续作用n次，将得到的本征态称为n，本征值为n，1()0()02nnHana(10.1.35)249因此，()0na的能量本征值是12nn(10.1.36)因为11||22nHnnaann则有||naann(10.1.37)下面求出a和a作用于n的公式以及n的归一化的形式。由式(10.1.30)可知，a作用是使光子数减少一个，1nanSn(10.1.38)由于a不是厄米算符，所以nS是复数，将式(10.1.38)两端取共轭，*1nnaanSn(10.1.39)将式(10.1.38)与式(10.1.39)相乘22||||11||nnnaanSnnSn(10.1.40)nS的相位是任意的，我们令它的相位为零。则nSn,1annn(10.1.41)另一方面，产生算符a使光子数增加一个11nanSn(10.1.42)*11nnaSn(10.1.43)21||||nnaanS,|||(1)|1naannaann(10.1.44)11nSn(10.1.45)由式(10.1.45)还可以看出，n的归一化形式是1()0!nnan(10.1.46)容易看出是，n是aa的本征态250aannn(10.1.47)与简谐振子一样，也可以写出本征函数在坐标表象中的表达式，引入新的变量，有qM(10.1.48)则本征函数()nqn。光子数态n的一个重要而有趣的性质是光场的平均值为零00|||()sin||()sin|0xnEnnEaakznEnaakzn(10.1.49)同样，yH的平均值也为零||0ynHn(10.1.50)然而，光强的平均值却不为零2220220220||sin|()()|sin|)|12sin2xnEnEkznaaaanEkznaaaaaaaanEkzn(10.1.51)考虑21sin2kz，因此2201||2xnEnEn其中2012E是零点振动的光强，20nE那是n个光子的光强，因此0E就是一个光子的光场。既然n表示有n个光子的态，为什么光场的平均值为零呢？这是因为，光子n与相位是一对测不准量，满足测不准关系，既然态n的光子数是完全确定的，就必然使相位完全混乱，频率为而相位完全混乱的电场的测量便是零。10.1.3矢量势的量子化利用矢量势与光场E的关系式(,)(,)EztAztt(10.1.52)考虑到251i(0)etaaiiid(0)e()tataatid()atat00(,)(,)dsin()di()sinxAztEzttkzaatVaakzV(10.1.53)10.1.4行波场的量子化与驻波场的量子化方法相似，也可对行波量子化。iiii0ii0(,)i[(0)e(0)e]2=i[ee]2tkztkzkzkzEztaaVaaV(10.1.54)ii0(,)[ee]2kzkzAztaaV(10.1.55)10.1.5多模光场的量子化多模光场可以看成许多单模光场的叠加，12ssssHaa(10.1.56)0(,)()sinssssssEztEaakz(10.1.57)[,]ssssaa(10.1.58)对于第s个模，12sssssHnnn(10.1.59)若多模场的第1,2,3,,s模内的光子数分别是123,,,,snnnn，则多模场的本征态是12snnn(10.1.60)或简记为25212(){}0!skssssannnnn(10.1.61)第s个模的算符sa只影响该模内的光子数，12121ssssannnnnnn(10.1.62)121212ssnnnsnnnCnnn10.2光子的相位算符从上节的讨论中，我们可以看到算符a和a分别对应于经典场的正频分量和负频分量的振幅，而没有电磁场的相位。并且证明了在光子数态表象中，光场的平均值为零，即||0xnEn。这是由于在于光子数确定时，相位变成完全无规则，光子数与相位是一对测不准量。这一节，我们讨论相位算符的概念与性质。10.2.1光子的相位算符在经典的电磁场理论中，通常把复数振幅写成实数振幅与相位因子的乘积。与此相似，也可以把a和a写成振幅与相位因子的乘积。考虑到实数振幅对应于厄米算符，以及有ˆ1aan(10.2.1)可以把ˆ1n看成振幅，再引入相位算符ˆ，这样有：ˆiˆ1ean(10.2.2)ˆiˆ1ean(10.2.3)可以证明，在适当的极限下，ˆ与经典场的相位有同样的物理意义。