郭硕鸿《电动力学》课后标准答案

电动力学答案第一章电磁现象的普遍规律1.根据算符的微分性与向量性，推导下列公式：BABAABABBA)()()()()(AAAA)()(221A解：（1）)()()(ccABBABABABAABAB)()()()(ccccBABAABAB)()()()(（2）在（1）中令BA得：AAAAAA)(2)(2)(，所以AAAAAA)()()(21即AAAA)()(221A2.设u是空间坐标zyx,,的函数，证明：uufufdd)(，uuudd)(AA，uuudd)(AA证明：（1）zyxzufyufxufufeee)()()()(zyxzuufyuufxuufeeedddddduufzuyuxuufzyxdd)(ddeee（2）zuAyuAxuAuzyx)()()()(AzuuAyuuAxuuAzyxdddddduuzuyuxuuAuAuAzyxzzyyxxdd)()dddddd(Aeeeeee（3）uAuAuAzuyuxuuuzyxzyxd/dd/dd/d///ddeeeAzxyyzxxyzyuuAxuuAxuuAzuuAzuuAyuuAeee)dddd()dddd()dddd(zxyyzxxyzyuAxuAxuAzuAzuAyuAeee])()([])()([])()([)(uA3.设222)'()'()'(zzyyxxr为源点'x到场点x的距离，r的方向规定为从源点指向场点。（1）证明下列结果，并体会对源变量求微商与对场变量求微商的关系：rrr/'r；3/)/1(')/1(rrrr；0)/(3rr；0)/(')/(33rrrr，)0(r。（2）求r，r，ra)(，)(ra，)]sin([0rkE及)]sin([0rkE，其中a、k及0E均为常向量。（1）证明：222)'()'()'(zzyyxxr○1rzzyyx'xrrzyx/])'()'()()[/1(reeerzzyyx'xrrzyx/])'()'()()[/1('reee可见rr'○23211dd1rrrrrrrr32'1'1dd1'rrrrrrrr可见rr/1'/1○3rrrr)/1()/1(])/1[()/(3333rrrr0301dd43rrrrrrrr○4rrrr33331)/1(])/1[()/(rrrr03334rrrrr，)0(r（2）解：○13])'()'()'[()(zyxzyxzzyyxxzyxeeeeeer○20'''///zzyyxxzyxzyxeeer○3])'()'()')[(()(zyxzyxzzyyxxzayaxaeeeraaeeezzyyxxaaa○4raraararra)()()()()(因为，a为常向量，所以，0a，0)(ar，又0r，arara)()(○5)]sin([)sin()()]sin([000rkErkErkE0E为常向量，00E，而krkrkrkrk)cos()()cos()sin(，所以)cos()]sin([00rkEkrkE○6)]cos()]sin([)]sin([000rkEkErkrkE4.应用高斯定理证明fSfSVVdd，应用斯托克斯（Stokes）定理证明LSlSdd证明：（I）设c为任意非零常矢量，则VVVV)]([ddfcfc根据矢量分析公式)()()(BABABA，令其中fA，cB，便得cfcfcfcf)()()()(所以VVVVVV)(d)]([ddcffcfcScfd)(fScfScd)d(因为c是任意非零常向量，所以fSfddVV（II）设a为任意非零常向量，令aF，代入斯托克斯公式，得lFSFSdd（1）（1）式左边为：SSSaaSad][d)(SSSaSaddSSSaSaddSSad（2）（1）式右边为：laladd（3）所以laSaddS（4）因为a为任意非零常向量，所以lSddS5.已知一个电荷系统的偶极矩定义为'd'),'()(VttVxxp，利用电荷守恒定律0tJ证明p的变化率为：VVttd),'(ddxJp证明：方法（I）VVVttVttt'd]),(['d),(ddddx'x'x'x'pVVVVtt'd)'('d),(x'Jx'x'VVV'xVt'd)'('d)'(dd1111Je'xJep'd])'()('[11V'x'xVJJVxSVJ'x'd'd1SJ1因为封闭曲面S为电荷系统的边界，所以电流不能流出这边界，故0'd1S'xSJ，VxVJt'ddd11ep同理VxVJt'ddd22ep，VxVJt'ddd33ep所以VVt'dddJp方法（II）VVVttVttt'd]),(['d),(ddddx'x'x'x'pVVVVtt'd)'('d),(x'Jx'x'根据并矢的散度公式gfgffg)()()(得：JxJxJxJJx')(')(')()'(VVVVt'd'd)('ddJJx'pVV'd)'(dJJxSVV'dJ6.若m是常向量，证明除0R点以外，向量3/R）（RmA的旋度等于标量3/RRm的梯度的负值，即A，其中R为坐标原点到场点的距离，方向由原点指向场点。证明：3/)/1rrr（])1[()]1([)(3mmrmArrrmmmm])1[()]1([1)(1)(rrrrmm]1[1)(2rr其中0)/1(2r，（0r）r1)(mA，（0r）又)]1([)(3rrmrmmmmm])1[()1)(()()1()]1([rrrr)1)((rm所以，当0r时，A7.有一内外半径分别为1r和2r的空心介质球，介质的电容率为，使介质球内均匀带静止自由电荷f，求：（1）空间各点的电场；（2）极化体电荷和极化面电荷分布。解：（1）设场点到球心距离为r。以球心为中心，以r为半径作一球面作为高斯面。由对称性可知，电场沿径向分布，且相同r处场强大小相同。当1rr时，01D，01E。当21rrr时，frrDr)(34431322231323)(rrrDf，231323)(rrrEf，向量式为rE331323)(rrrf当2rr时，frrDr)(3443132322313233)(rrrDf20313233)(rrrEf向量式为rE30313233)(rrrf（2）当21rrr时，)()(202202DDEDPpf)1()1(020D当1rr时，0)1()()(12020212rrpDDDnPPn当2rr时，frrprrr22313202023)1()1(2DPn8.内外半径分别为1r和2r的无穷长中空导体圆柱，沿轴向流有恒定均匀自由电流fJ，导体的磁导率为，求磁感应强度和磁化电流。解：（1）以圆柱轴线上任一点为圆心，在垂直于轴线平面内作一圆形闭合回路，设其半径为r。由对称性可知，磁场在垂直于轴线的平面内，且与圆周相切。当1rr时，由安培环路定理得：0,011BH当21rrr时，由环路定理得：)(22122rrJrHf所以rrrJHf2)(2122，fJrrrB2)(2122向量式为rJeBffrrrJrrr221221222)(ˆ2)(当2rr时，)(221223rrJrHf所以rrrJHf2)(21223，fJrrrB2)(212203向量式为rJeBffrrrJrrr2212202122032)(ˆ2)(（2）当21rrr时，磁化强度为rJHMfrrr22120202)()1()1(所以fMJHHMJ)1()1(])1[(02020在1rr处，磁化面电流密度为0d211lMrM在2rr处，磁化面电流密度为fMJrrrr222122022)()1(d210lM向量式为fMrrrJα22212202)()1(9.证明均匀介质内部的体极化电荷密度p总是等于体自由电荷密度f的)/1(0倍。证明：在均匀介质中EEP)()1/(000所以DEP)/1)(()(00pff)/1(]/)[(0010.证明两个闭合的恒定电流圈之间的相互作用力大小相等方向相反(但两个电流元之间的相互作用力一般并不服从牛顿第三定律)证明:线圈1在线圈2的磁场中受的力:21112BlFdId,而23121222024lrdIrlB，12123121221210312122211012)(4)(4llllrddIIrdIdIrllrllF)(41221312123121212210llddrrddIIllrrll(1)同理可得线圈2在线圈1的磁场中受的力：)(4211232121321212121021llddrrddIIllrrllF(2)(1)式中：0)1(122121212221212231212123121212＝一周lllllllrdrdrdrddrddllrllrll同理(2)式中：2103212121llrddrll)(41221312122102112llddrIIllrFF11.平行板电容器内有两层介质，它们的厚度分别为1l和2l，电容率为1和2，今在两板接上电动势为E的电池，求：（1）电容器两极板上的自由电荷面密度1f和2f；（2）介质分界面上的自由电荷面密度3f。(若介质是漏电的，电导率分别为1和2当电流达到恒定时，上述两物体的结果如何？)解：