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第一章特殊平行四边形专题训练(一)特殊四边形中的图形变换和动态问题一、利用特殊四边形的性质解决折叠、旋转变换问题1．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠B＝45°，AE为BC边上的高，将△ABE沿AE所在直线翻折得△AB′E，AB′与CD边交于点F，则B′F的长度为()A．1B.2C．2－2D．22－2C2．如图，点P是正方形ABCD边AB上一点(不与A，B重合)，连接PD，将线段PD绕点P顺时针旋转90°得线段PE，连接BE，则∠CBE等于.45°3．如图，正方形纸片ABCD的边长为3，点E，F分别在边BC，CD上，将AB，AD分别沿AE，AF折叠，点B，D恰好都落在点G处，已知BE＝1，则EF的长为.524．如图，将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点E处，BE交AD于点F，连接AE.求证：(1)BF＝DF；(2)AE∥BD.证明：(1)由折叠的性质可知，∠FBD＝∠CBD，∵AD∥BC，∴∠FDB＝∠CBD，∴∠FBD＝∠FDB，∴BF＝DF(2)∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝DC，AD＝BC，由折叠的性质可知，DC＝ED＝AB，BC＝BE＝AD，又∵AE＝AE，∴△AEB≌△EAD，∴∠AEB＝∠EAD，∴∠AEB＝12(180°－∠AFE)．由(1)知∠DBE＝∠BDF，∴∠DBE＝12(180°－∠BFD)，而∠AFE＝∠BFD，∴∠AEB＝∠DBE，∴AE∥BD5．如图①，将矩形ABCD沿DE折叠，使点A落在DC上的点A′处，然后将矩形展平，如图②，沿EF折叠，使点A落在折痕DE上的点G处．再将矩形ABCD沿CE折叠，此时点B恰好落在DE上的点H处．(1)求证：EG＝CH；(2)已知AF＝2，求AD和AB的长．解：(1)由折叠知AE＝AD＝EG，BC＝CH.∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC.∴EG＝CH(2)∵∠ADE＝45°，∠FGE＝∠A＝90°，AF＝2，∴DG＝2，DF＝2.∴AD＝2＋2.如图，由折叠知，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠2＋∠4＝90°，∠1＋∠3＝90°.∵∠1＋∠AFE＝90°，∴∠3＝∠AFE.又∵∠A＝∠B＝90°，由(1)知，AE＝BC，∴△EFA≌△CEB.∴AF＝BE.∴AB＝AE＋BE＝AD＋AF＝2＋2＋2＝2＋226．如图，将一张矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，使点C落在点A处，点D落在点E处，直线MN交BC于点M，交AD于点N.(1)求证：CM＝CN；(2)若△CMN的面积与△CDN的面积比为3∶1，求MNDN的值．解：(1)由折叠的性质可得：∠ENM＝∠DNM，∵∠ENM＝∠ENA＋∠ANM，∠DNM＝∠DNC＋∠CNM，∠ENA＝∠DNC，∴∠ANM＝∠CNM.∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠ANM＝∠CMN，∴∠CMN＝∠CNM，∴CM＝CN(2)过点N作NH⊥BC于点H，则四边形NHCD是矩形，∴HC＝DN，NH＝DC.∵△CMN的面积与△CDN的面积比为3∶1，∴S△CMNS△CDN＝12MC·NH12DN·NH＝MCDN＝3，∴MC＝3DN＝3HC，∴MH＝2HC.设DN＝x，则HC＝x，MH＝2x，∴CM＝3x＝CN，在Rt△CDN中，DC＝CN2－DN2＝22x，∴NH＝22x，在Rt△MNH中，MN＝MH2＋NH2＝23x，∴MNDN＝23xx＝23二、利用特殊四边形的性质解决动点问题7．(2018·兰州)如图，M，N是正方形ABCD的边CD上的两个动点，满足AM＝BN，连接AC交BN于点E，连接DE交AM于点F，连接CF，若正方形的边长为6，则线段CF的最小值是.35－38．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E是BC的中点，点F在AD上运动，沿直线EF折叠四边形CDFE，得到四边形GHFE，其中点C落在点G处，连接AG，AH，则AG的最小值是.29．如图，正方形ABCD的边长为8cm，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的动点，且AE＝BF＝CG＝DH.(1)求证：四边形EFGH是正方形；(2)判断直线EG是否经过一个定点，并说明理由．解：(1)如图，∵四边形ABCD为正方形，∴∠A＝∠ABC＝∠C＝∠ADC＝90°，AB＝BC＝CD＝AD，∵AE＝BF＝CG＝DH，∴BE＝CF＝DG＝AH，∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG，∴EH＝EF＝FG＝GH，∠1＝∠2，∴四边形EFGH为菱形，∵∠1＋∠3＝90°，∠1＝∠2，∴∠2＋∠3＝90°，∴∠HEF＝90°，∴菱形EFGH为正方形(2)直线EG经过一个定点．理由如下：如图，连接BD，DE，BG，EG.EG与BD交于点O.∵BE平行且等于DG，∴四边形BGDE为平行四边形，∴BD，EG互相平分，∴BO＝OD，∴点O为正方形的角平分线的交点，∴直线EG必过正方形角平分线的交点10．在矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD，BC于点E，F，垂足为点O.(1)如图①，连接AF，CE.试说明四边形AFCE为菱形，并求AF的长；(2)如图②，动点P，Q分别从A，C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周，即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，已知点P的速度为5cm/s，点Q的速度为4cm/s，运动时间为ts，当以A，P，C，Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．解：(1)∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠CAD＝∠ACB，∠AEF＝∠CFE.∵EF垂直平分AC，垂足为点O，∴OA＝OC，∴△AOE≌△COF.∴OE＝OF，∴四边形AFCE为平行四边形．又∵EF⊥AC，∴▱AFCE为菱形．设AF＝CF＝xcm，则BF＝(8－x)cm，在Rt△ABF中，AB＝4cm，由勾股定理得42＋(8－x)2＝x2，解得x＝5，∴AF＝5cm(2)显然，当P点在AF上，Q点在CD上时，A，C，P，Q四点不可能构成平行四边形；同理：P点在AB上，Q点在DE或CE上时，也不可能构成平行四边形．因此只有当P点在BF上，Q点在ED上时，才能构成平行四边形，如图，连接AP，CQ，则以A，P，C，Q四点为顶点的四边形是平行四边形，此时PC＝QA.∵点P的速度为5cm/s，点Q的速度为4cm/s，运动时间为ts，∴PC＝5tcm，QA＝(12－4t)cm.∴5t＝12－4t，解得t＝43.∴以A，P，C，Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，t＝43