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第一章特殊平行四边形双休作业2(第一章全章)一、选择题(每小题4分，共32分)1．菱形具有而矩形不具有的性质是()A．对角线互相垂直B．对角线相等C．对角线互相平分D．对角互补A2．如图，四边形ABCD的对角线为AC，BD，且AC＝BD，则下列条件能判定四边形ABCD为矩形的是()A．BA＝BCB．AC，BD互相平分C．AC⊥BDD．AB∥CDB3．四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，能判定它为正方形的条件是()A．AO＝CDB．AO＝CO＝BO＝DOC．AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BDD．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BDD4．如图，已知在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE∥AB交BC于点E.若AD＝8cm，则OE的长为()A．3cmB．4cmC．6cmD．8cmB5．如图，在△ABC中，AC＝BC，点D，E分别是边AB，AC的中点，将△ADE绕点E旋转180°得△CFE，则四边形ADCF一定是()A．矩形B．菱形C．正方形D．以上都不对A6．如图，正方形ABCD的边长为8，在各边上顺次截取AE＝BF＝CG＝DH＝5，则四边形EFGH的面积是()A．30B．34C．36D．40B7．将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF.若AB＝3，则BC的长为()A．1B．2C.2D.3D8．如图，正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于点G，下列结论：①BE＝DF；②∠DAF＝15°；③AC垂直平分EF；④BE＋DF＝EF；⑤S△CEF＝2S△ABE.其中正确的结论有()A．2个B．3个C．4个D．5个C二、填空题(每小题4分，共24分)9．在平面直角坐标系中，已知点A(0，2)，B(－23，0)，C(0，－2)，D(23，0)，则以这四个点为顶点的四边形ABCD是．10．如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E，DF∥AB，交BC于点F，当△ABC满足条件时，四边形BEDF是正方形．菱形∠ABC＝90°11．如图，正方形ABCD的边长为3cm，∠ABE＝15°，且AB＝AE，则DE＝cm.12．如图，将一个长为10cm，宽为8cm的矩形纸片从下向上，从左到右对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线(虚线)剪下，再打开，得到的四边形的面积为cm2.31013．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，则EF的最小值为.14．如图，点E是正方形ABCD内一点，连接AE，BE，CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置．若AE＝1，BE＝2，CE＝3，则∠BE′C＝度．2.4135三、解答题(共44分)15．(8分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，DE，DF是△ABC的中位线，连接EF，CD.求证：EF＝CD.证明：∵DE，DF是△ABC的中位线，∴DE∥BC，DF∥AC.∴四边形DECF是平行四边形．又∵∠ACB＝90°，∴▱DECF是矩形．∴EF＝CD16．(11分)如图，在正方形ABCD中，点E是对角线AC上一点，且CE＝CD，过点E作EF⊥AC交AD于点F，连接BE.(1)求证：DF＝AE；(2)当AB＝2时，求BE2的值．解：(1)连接CF.在Rt△CDF和Rt△CEF中，CF＝CF，CD＝CE，∴Rt△CDF≌Rt△CEF(HL)．∴DF＝EF.∵AC是正方形ABCD的对角线，∴∠EAF＝45°.∴△AEF是等腰直角三角形，∴AE＝EF，∴DF＝AE(2)∵AB＝2，∴由勾股定理得AC＝2AB＝22，∵CE＝CD，∴AE＝22－2，过点E作EH⊥AB于点H，则△AEH是等腰直角三角形，∴EH＝AH＝22AE＝22×(22－2)＝2－2，∴BH＝2－(2－2)＝2，在Rt△BEH中，BE2＝BH2＋EH2＝(2)2＋(2－2)2＝8－4217．(11分)(2018·毕节)如图，在平行四边形ABCD中，P是对角线BD上的一点，过点C作CQ∥DB，且CQ＝DP，连接AP，BQ，PQ.(1)求证：△APD≌△BQC；(2)若∠ABP＋∠BQC＝180°，求证：四边形ABQP为菱形．解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，∵CQ∥DB，∴∠BCQ＝∠DBC，∴∠ADP＝∠BCQ，∵DP＝CQ，∴△APD≌△BQC(2)∵CQ∥DB，且CQ＝DP，∴四边形CQPD是平行四边形，∴CD＝PQ，CD∥PQ，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝DC，AB∥CD，∴AB＝PQ，AB∥PQ，∴四边形ABQP是平行四边形，∵△ADP≌△BCQ，∴∠APD＝∠BQC，∵∠APD＋∠APB＝180°，又∠ABP＋∠BQC＝180°，∴∠ABP＝∠APB，∴AB＝AP，∴▱ABQP是菱形18．(14分)如图，在矩形ABCD中，M，N分别是边AD，BC的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点．(1)求证：BM＝CM；(2)判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论；(3)当矩形ABCD的长和宽满足什么条件时，四边形MENF是正方形？为什么？解：(1)∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝DC，∠A＝∠D＝90°，∵M为AD的中点，∴AM＝DM，在△ABM和△DCM中，BA＝CD，∠A＝∠D，AM＝DM，∴△ABM≌△DCM(SAS)，∴BM＝CM(2)四边形MENF是菱形．证明：∵N，E，F分别是BC，BM，CM的中点，∴NE∥CM，NE＝12CM，∵MF＝12CM，∴NE＝FM，∵NE∥FM，∴四边形MENF是平行四边形，由(1)知△ABM≌△DCM，∴BM＝CM，∵E，F分别是BM，CM的中点，∴ME＝MF，∴平行四边形MENF是菱形(3)当AD∶AB＝2∶1时，四边形MENF是正方形．理由：∵M为AD中点，∴AD＝2AM，∵AD∶AB＝2∶1，∴AM＝AB，∵∠A＝90°，∴∠ABM＝∠AMB＝45°，同理得∠DMC＝45°∴∠EMF＝180°－45°－45°＝90°，∵四边形MENF是菱形，∴菱形MENF是正方形，即当AB∶AD＝1∶2时，四边形MENF是正方形