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第二章一元二次方程2．3用公式法求解一元二次方程知识点1：用求根公式解一元二次方程1．方程x2－4x＝0中，b2－4ac的值为（）A．－16B．16C．4D．－4B2．方程x2＋x－1＝0的一个根是()A．1－5B.1－52C．－1＋5D.－1＋52D3．一元二次方程2x2－3x＋1＝2中，a＝，b＝，c＝，b2－4ac＝，方程的解为x1＝，x2＝.2－3－1173＋1743－1744．用公式法解方程：(1)(2018·兰州)3x2－2x－2＝0；(2)1－x＝3x2；(3)x2－23x＝－3.解：x1＝1＋73，x2＝1－73解：x1＝－1－136，x2＝－1＋136解：x1＝x2＝3知识点2：根的判别式5．下列关于x的方程有实数根的是()A．x2＋1＝0B．x2＋x＋1＝0C．x2－x＋1＝0D．x2－x－1＝0D6．(2018·锦州)一元二次方程2x2－x＋1＝0根的情况是()A．两个不相等的实数根B．两个相等的实数根C．没有实数根D．无法判断C7．(2018·昆明)关于x的一元二次方程x2－23x＋m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是()A．m＜3B．m＞3C．m≤3D．m≥3A8．不解方程，判断下列一元二次方程根的情况．(1)9x2＋6x＋1＝0；(2)16x2＋8x＝－3；解：∵a＝9，b＝6，c＝1，∴Δ＝b2－4ac＝36－36＝0，∴此方程有两个相等的实数根解：化为一般形式为16x2＋8x＋3＝0，∵a＝16，b＝8，c＝3，∴Δ＝b2－4ac＝64－4×16×3＝－1280，∴此方程没有实数根(3)3(x2－1)－5x＝0.解：化为一般形式为3x2－5x－3＝0，∵a＝3，b＝－5，c＝－3，∴Δ＝(－5)2－4×3×(－3)＝25＋36＝610，∴此方程有两个不相等的实数根9．已知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋1＝0(a≠0)有两个相等的实数根，求ab2（a－2）2＋b2－4的值．解：∵ax2＋bx＋1＝0(a≠0)有两个相等的实数根，∴Δ＝b2－4ac＝0，即b2－4a＝0，∴b2＝4a，∵ab2（a－2）2＋b2－4＝ab2a2－4a＋4＋b2－4＝ab2a2－4a＋b2＝ab2a2，又∵a≠0，∴ab2a2＝b2a＝4aa＝4易错点：应用根的判别式时忽视一元二次方程的隐含条件10．(2018·菏泽)关于x的一元二次方程(k＋1)x2－2x＋1＝0有两个实数根，则k的取值范围是()A．k≥0B．k≤0C．k＜0且k≠－1D．k≤0且k≠－1D11．(2018·娄底)关于x的一元二次方程x2－(k＋3)x＋k＝0的根的情况是()A．有两不相等实数根B．有两相等实数根C．无实数根D．不能确定A12．若关于x的一元二次方程x2－2x＋kb＋1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y＝kx＋b的大致图象可能是()B13．已知关于x的方程x2＋(1－m)x＋m24＝0有两个不相等的实数根，则m的最大整数值是.14．若|b－1|＋a－4＝0，且一元二次方程kx2＋ax＋b＝0有实数根，则k的取值范围是.0k≤4且k≠015．用公式法解下列方程：(1)0.3y2＋y＝0.8；解：移项，得0.3y2＋y－0.8＝0.a＝0.3，b＝1，c＝－0.8，Δ＝b2－4ac＝12－4×0.3×(－0.8)＝1.96.y＝－1±1.962×0.3＝－1±1.40.6，y1＝23，y2＝－4(2)x2＋(1＋23)x＋3－3＝0.解：a＝1，b＝1＋23，c＝3－3.Δ＝b2－4ac＝(1＋23)2－4×1×(3－3)＝25.x＝－1－23±252，x1＝2－3，x2＝－3－316．(2018·北京)关于x的一元二次方程ax2＋bx＋1＝0.(1)当b＝a＋2时，利用根的判别式判断方程根的情况；(2)若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a，b的值，并求此时方程的根．解：(1)由题意得a≠0，Δ＝b2－4a＝(a＋2)2－4a＝a2＋4a＋4－4a＝a2＋4，∵a20，∴Δ0，∴方程有两个不相等的实数根(2)∵方程有两个相等的实数根，∴Δ＝b2－4a＝0，若b＝2，a＝1，则方程变形为x2＋2x＋1＝0，解得x1＝x2＝－117．(教材P45习题2变式)如图，某农场要建一个矩形的养鸡场，鸡场的一边靠墙(墙长10m)，另三边用木栏围成，中间隔有一道木栏，木栏的总长为23m.(1)请你设计一个鸡场，使该鸡场的面积达到40m2；(2)你能设计一个面积为50m2的鸡场吗？请说明理由．解：(1)设鸡场的宽为xm，则另一边长为(23－3x)m，依题意得x(23－3x)＝40，解得x1＝5，x2＝83，当x＝5时，23－3x＝810；当x＝83时，23－3x＝1510，不符合题意，舍去．∴当鸡场的宽为5m时，就能使该鸡场的面积达到40m2(2)不能，理由：依题意得x(23－3x)＝50，整理得3x2－23x＋50＝0，∵b2－4ac＝529－600＝－710，∴该方程无解，∴不能设计出面积为50m2的鸡场18．已知等腰三角形的一腰长x满足方程x2－12x＋31＝0，其周长为20，则腰长x的值为.6＋519．已知一元二次方程x2－(2k＋1)x＋k2＋k＝0.(1)求证：方程有两个不相等的实数根；(2)若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5，当△ABC是等腰三角形时，求k的值．解：(1)∵Δ＝b2－4ac＝(2k＋1)2－4(k2＋k)＝10，∴方程有两个不相等的实数根(2)∵方程有两个不相等的实数根，∴AB＝AC不成立，∴要使△ABC是等腰三角形，则AB与AC其中一条边与BC相等，即方程必有一根为5，∴52－5(2k＋1)＋k2＋k＝0，解得k＝4或k＝5，经检验，k＝4或k＝5符合题意，则k的值为4或5