九年级数学上册第四章图形的相似专题训练三三角形相似的几种常见类型作业课件新版北师大版

第四章图形的相似专题训练(三)三角形相似的几种常见类型一、“A”字型1．如图，AF⊥BC，CE⊥AB，垂足分别是F，E，试证明：(1)△BAF∽△BCE.(2)△BEF∽△BCA.证明：(1)∵AF⊥BC，CE⊥AB，∴∠AFB＝∠CEB＝90°，∵∠B＝∠B，∴△BAF∽△BCE(2)∵△BAF∽△BCE，∴BFBE＝BABC，∴BFBA＝BEBC，∵∠B＝∠B，∴△BEF∽△BCA2．如图，在△ABC中，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作ED∥BC交AB于点D.(1)求证：AE·BC＝BD·AC；(2)如果S△ADE＝3，S△BDE＝2，DE＝6，求BC的长．解：(1)∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∵DE∥BC，∴∠DEB＝∠CBE，∴∠ABE＝∠DEB.∴BD＝DE，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴AEAC＝DEBC，∴AEAC＝BDBC，∴AE·BC＝BD·AC(2)设△ABE中边AB上的高为h.∵S△ADES△BDE＝12AD·h12BD·h＝ADBD＝32，∵DE∥BC，∴DEBC＝ADAB，∴6BC＝35，∴BC＝10二、“X”字型3．(江西中考)如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝4，CA＝6，CD∥AB，BD是∠ABC的平分线，BD交AC于点E，求AE的长．解：∵BD为∠ABC的平分线，∴∠ABD＝∠CBD，∵AB∥CD，∴∠D＝∠ABD，∴∠D＝∠CBD，∴BC＝CD，∵BC＝4，∴CD＝4，∵∠ABD＝∠D，∠AEB＝∠CED，∴△ABE∽△CDE，∴ABCD＝AECE，∴84＝AECE，∴AE＝2CE，∵AC＝6＝AE＋CE，∴AE＝44．如图，在▱ABCD中，点G在边DC的延长线上，AG交边BC于点E，交对角线BD于点F.(1)求证：AF2＝EF·FG；(2)如果EF＝32，FG＝83，求BEEC的值．解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，∴AD∥BC，∴△GDF∽△ABF，△AFD∽△EFB，∴FDFB＝FGFA，AFEF＝FDFB，∴FGFA＝AFEF，∴AF2＝EF·FG(2)∵△GDF∽△ABF，△AFD∽△EFB，∵由(1)得出AF2＝EF·FG＝32×83＝4，∴AF＝2，∴BEAD＝EFAF＝322＝34，∴BEEC＝34－3＝3三、旋转型5．如图，在△ABC和△AED中，AB·AD＝AC·AE，∠BAD＝∠CAE.求证：△ABC∽△AED.解：∵AB·AD＝AC·AE，∴ABAE＝ACAD，又∵∠BAD＝∠CAE，∴∠BAD＋∠DAC＝∠CAE＋∠DAC，即∠CAB＝∠DAE，∴△ABC≌△AED6．如图，ABAD＝BCDE＝ACAE，点B，D，F，E在同一条直线上，请找出图中的相似三角形，并说明理由．解：∵ABAD＝BCDE＝ACAE，∴△ABC∽△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，∠AED＝∠ACB，∴∠BAC－∠DAF＝∠DAE－∠DAF，即∠BAD＝∠EAC，又∵ABAC＝ADAE，∴△ABD∽△ACE，∴∠ABD＝∠ECA，又∵∠AFB＝∠EFC，∴△ABF∽△ECF.又∵∠AFE＝∠BFC，∴△AFE∽△BFC四、垂直型7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，若AD＝1cm，DB＝2cm，求AC的长．解：∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，在△ACD与△ABC中，∠ADC＝∠ACB，∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABC，∴AC∶AB＝AD∶AC，∴AC2＝AD·AB＝1×(1＋2)＝3，∴AC＝3cm8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，E为BC上一点，连接AE，作EF⊥AE交AB于点F.(1)求证：△AGC∽△EFB；(2)除(1)中相似三角形，图中还有其它相似三角形吗？如果有，请把它们都写出来．解：(1)∵CD⊥AB，EF⊥AE，∴∠FDG＝∠FEG＝90°，∴∠DGE＋∠DFE＝360°－90°－90°＝180°，又∵∠BFE＋∠DFE＝180°，∴∠BFE＝∠DGE，又∵∠DGE＝∠AGC，∴∠AGC＝∠BFE，又∵∠ACB＝∠FEG＝90°，∴∠AEC＋∠BEF＝180°－90°＝90°，∠AEC＋∠EAC＝90°，∴∠EAC＝∠BEF，∴△AGC∽△EFB(2)△ACD∽△ABC∽△CBD五、一线三等角型9．如图，在等边△ABC中，边长为6，D是BC边上的动点，∠EDF＝60°.(1)求证：△BDE∽△CFD；(2)当BD＝1，CF＝3时，求BE的长．解：(1)∵△ABC为等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°，∵∠EDF＝60°，∴∠BED＋∠EDB＝∠EDB＋∠CDF＝120°，∴∠BED＝∠CDF，∴△BDE∽△CFD(2)由(1)知△BDE∽△CDF，∴BECD＝BDCF，∵BC＝6，BD＝1，∴CD＝BC－BD＝5，∴BE5＝13，解得BE＝5310．△ABC中，AB＝AC，点D，E，F分别在BC，AB，AC上，∠EDF＝∠B.(1)如图①，求证：DE·CD＝DF·BE；(2)如图②，若D为BC中点，连接EF，求证：ED平分∠BEF.证明：(1)∵△ABC中，AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠B＋∠BDE＋∠DEB＝180°，∠BDE＋∠EDF＋∠FDC＝180°，∠EDF＝∠B，∴∠FDC＝∠DEB，∴△BDE∽△CFD，∴DEDF＝BECD，即DE·CD＝DF·BE(2)由(1)可得：△BDE∽△CFD，∴BECD＝DEDF，∵D为BC中点，∴BD＝CD，∴BEBD＝DEDF，∵∠B＝∠EDF，∴△BED∽△DEF，∴∠BED＝∠DEF，∴ED平分∠BEF