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第四章图形的相似专题训练(四)比例式、等积式的常见证明方法一、三点定型法：找线段对应的三角形，利用相似证明1．如图，在菱形ABCD中，G是BD上一点，连接CG并延长交BA的延长线于点F，交AD于点E，连接AG.求证：(1)AG＝CG；(2)AG2＝GE·GF.证明：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AD＝CD，∠ADB＝∠CDB，∴∠F＝∠FCD.在△ADG和△CDG中，AD＝CD，∠ADG＝∠CDG，DG＝DG，∴△ADG≌△CDG，∴AG＝CG(2)由(1)知△ADG≌△CDG，∴∠EAG＝∠DCG，又∵∠F＝∠DCG，∴∠EAG＝∠F.又∵∠AGE＝∠FGA，∴△AGE∽△FGA，∴AGGF＝GEAG，∴AG2＝GE·GF2．如图，在△ABC中，∠BAC＝2∠B，AD平分∠BAC，DF∥BE，点E在线段BA的延长线上，连接DE，交AC于点G，且∠E＝∠C.求证：(1)AD2＝AF·AB；(2)AD·BE＝DE·AB.证明：(1)∵AD平分∠BAC，∴∠DAB＝∠DAC.∵∠BAC＝2∠B，∴∠B＝∠DAB.∵DF∥AB，∴∠ADF＝∠BAD，∴∠FAD＝∠FDA＝∠B＝∠BAD，∴△FAD∽△DAB，∴AFAD＝ADAB，∴AD2＝AF·AB(2)∵∠B＝∠DAB，∴DA＝DB.∵∠E＝∠C，∠CAD＝∠B，∴△CAD≌△EBD，∴AC＝BE.∵∠E＝∠C，∠B＝∠B，∴△EBD∽△CBA，∴DEAC＝BDAB.∵BD＝AD，AC＝BE，∴AD·BE＝DE·AB二、利用等线段代换3．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BDC＝90°，BD2＝AD·BC.(1)求证：AD∥BC；(2)过点A作AE∥CD交BC于点E.请完善图形并求证：CD2＝BE·BC.证明：(1)∵∠BAD＝∠BDC＝90°，BD2＝AD·BC，∴BDBC＝ADBD，∴Rt△ADB∽Rt△DBC，∴∠ADB＝∠DBC，∴AD∥BC(2)如图所示，∵AD∥BC，AE∥DC，∴四边形ADCE是平行四边形，∠AEB＝∠BCD，∴AE＝DC.又∵∠BAD＝∠BDC＝90°，AD∥BC，∴∠BAD＋∠ABE＝180°，∴∠ABE＝90°，∴∠ABE＝∠BDC，∴△ABE∽△BDC，∴BEDC＝AEBC，∴AE·DC＝BE·BC.∵AE＝DC，∴CD2＝BE·BC三、找中间比利用等积式代换4．如图，AM是△ABC的中线，点D是线段AM上一点(不与点A重合)．DE∥AB交BC于点K，CE∥AM，连接AE.求证：(1)ABEK＝CMCK；(2)BD＝AE.证明：(1)∵DE∥AB，∴∠ABC＝∠EKC.∵CE∥AM，∴∠AMB＝∠ECK，∴△ABM∽△EKC，∴ABEK＝BMKC.∵AM是△ABC的中线，∴BM＝CM，∴ABEK＝CMCK(2)∵CE∥AM，∴DEEK＝CMCK.又∵ABEK＝CMCK，∴DE＝AB.又∵DE∥AB，∴四边形ABDE是平行四边形，∴BD＝AE