布里渊区

固体物理布里渊区主讲人：许本超答疑人：李海龙封福明固体物理内容•1.倒易空间•2.布里渊区基本概念•3.典型格子的第一布里渊区•4.布里渊区的几何性质•5.衍射条件在布里渊区诠释•6.布里渊区中的K点•7.布里渊区和能带的关系•8.布里渊区和费米面•9.MS计算能带实例图2固体物理1.倒易空间一.倒格子（先在基矢坐标系中讨论)1.定义：正格子基矢a1a2a3倒格子基矢b1b2b32πi=jai·bj=0i≠j即i≠jai⊥bj3固体物理例如:b1在a2×a3所确定的方向上（或反方向上）b1＝c(a2×a3)c为待定系数则，a1·b1＝ca1·(a2×a3)＝cΩ(A)其中Ω为正格子初基元胞体积，同时，由定义a1·b1＝2π,（B）比较（A）,（B）式得b1＝（a2×a3）类似可得b2＝（a3×a1）b3＝(a1×a2)2222c有了倒格子基矢，可构成倒格矢。Kh＝h1b1＋h2b2＋h3b3倒格子也具有周期性，其中h1h2h3为任意整数，由倒格矢Kh确定的空间叫倒格子空间。4固体物理(1)正格原胞体积与倒格原胞体积之积等于(2π)3(2)倒格失Kh=h1b1+h2b2+h3b3与正格子晶面族（h1h2h3）正交,正格子中一族晶面转化成了倒格子中的一个倒格点。(3)倒格失Kh的模与晶面族（h1h2h3）的面间距成反比倒格子和正格子的关系hlkdK25固体物理62.布里渊区(Brillouinzone)基本概念定义：在倒易点阵中，取任意格点为原点，被倒格矢的垂直平分面（布拉格面）包围的、围绕着原点的最小区域称为F.B.Z(第一布里渊区)。说明：并不是原点仅到最近邻的倒格点的倒格矢的中垂面所围成的区域叫F.B.Z固体物理73.典型格子的第一布里渊区3.1简单立方晶格的F.B.Z简单立方晶格的倒格子也是简单立方晶格可以看出，简单立方倒格子（即简单立方晶格）的F.B.Z也为简单立方体固体物理8体心立方晶格的倒格子为面心立方晶格3.2体心立方晶格的F.B.Z可以看出，面心立方倒格子（即体心立方晶格）的F.B.Z为正菱形十二面体（非正十二面体）固体物理9面心立方晶格的倒格子为体心立方晶格如右图所示，黑框为体心立方倒格子，取其体心（黄点）作为原点，红点（8个）为此原点最相邻的倒格点，蓝点（6个）为此原点次相邻倒格点3.3面心立方晶格的F.B.Z可以看出，体心立方倒格子（即面心立方晶格）的F.B.Z为截角的八面体（十四面体）固体物理104.布里渊区的几何性质倒易空间内的B.Z会无重叠的填满整个波矢空间，并随格点做周期型排列F.B.Z就是原胞的一种划分方式，又被称为倒易点阵的维格纳－赛茨原胞。d1d2DO1O2证明：如右图所示D点为空间内任意一点，O1点为距离D点最近的倒格点，O2点为其它任意一倒格点，则d1≦d2.当d1d2时，D∈O1的F.B.Zd1=d2时，D在B.Z边界上所以D点不能同时在两个倒格点的布里渊区内事实上各级B.Z的体积均相等，都等于倒格子原胞。固体物理115.衍射条件在布里渊区诠释只有从原点到布里渊区的边界的矢量Kh才能满足衍射条件。OCDCGDG1kkhlkCdGkdGkhlkhlk，衍射晶面指数，衍射角对应波长为点也有此性质同理，对应倒格点此即布拉格方程。：，代入上式，整理可得，根据勾股定理有：则有2sin2sin22,2证明：如右图所示，以O为原点，D点为倒易空间任意格点，其对应倒格矢为(即D点坐标为(h,l,k))波失为原点O出发并终止于OD垂直平分面的任意向量。321bkblbhGD22121GGk一般用向量方程来表示布里渊区此项性质k固体物理•在各种周期性边界条件的第一性原理计算方法中，需要涉及到在布里渊区的积分问题，例如总能、电荷密度分布，以及金属体系中费米面的确定等等。因此，需要寻找一种高效的积分方法，可以通过较少的点运算取得较高的精度。而这些k点被称之为“平均值点”或者“特殊点”。如果采用普通的在布里渊区内均匀选取k点的方法，那么为了得到精确的结果点的密度必须很大，从而导致非常大的计算量。这使得计算的效率非常低下。6.布里渊区中的K点12固体物理6.布里渊区中的K点简单立方晶格的第一布里渊区体心立方晶格的第一布里渊区面心立方晶格的第一布里渊区13布里渊区中心用Γ表示，Δ表示100轴，Λ表示111轴，Σ表示110轴。固体物理7.1能带的产生电子的共有化使原先每个原子中具有相同能级的电子能级，因各原子间的相互影响而分裂成一系列和原来能级很接近的新能级，形成能带。7.布里渊区和能带的关系14固体物理7.2布里渊区和能带的关系电子在运动过程中要受晶格原子势场的作用能带论的基本出发点:固体中的电子可以在整个固体中运动由于周期场的微扰，E(k)函数在布里渊区边界k=n/a处出现不连续，能量的突变为：2gnEEEU称为能隙，即禁带宽度，这是周期场作用的结果OkE6E5E4E3E2E1E允许带允许带aπ3aπ2aπaπaπ2aπ3允许带禁带扩展区图15固体物理7.3布里渊区能带的三种图像表示方法(a)扩展区图：在不同的布里渊区画出不同的能带。(c)简约区图：将不同能带平移适当的倒格矢进入到第一布里渊区内表示(在简约布里渊区内画出所有的能带)。(b)周期区图：在每一个布里渊区中周期性地画出所有能带(强调任一特定波矢k的能量可以用和它相差Kh的波矢来描述)。能带理论（Energybandtheory）是讨论晶体（包括金属、绝缘体和半导体的晶体）中电子的状态及其运动的一种重要的近似理论。16(c)(a)(b)固体物理费米面就是空间中能量为常数EF的点构成的曲面。*但是在晶体中，电子要受到周期性势场的微扰作用，因此其费米面在布里渊区的边界处发生了畸变k*费米面是基态时电子占据态与非占据态的分界面*费米面是能级等于费米能级的等能面*在空间，自由电子的等能面是球面，所以自由电子的费米面是个球面k作二维一、二、三和四价原子正方格子费米面178.布里渊区和费米面固体物理•由于晶格的周期性，通常在简约布里渊区作费米面•移动各个分片，即第二、三、四布里渊的分片到第一布里渊区，按不同能带作费米面金属中电子为自由电子，费米面在低温时能较好地解释金属的许多特性。半导体、绝缘体用价带、导带以及费米能级的关系来确定。Cu的费米面18固体物理9.MS计算能带实例图半导体SnO2的晶体结构和布里渊区图19固体物理-20-15-10-50510152025Energy/eVZFQSnO2的能带结构图，其带隙的大小为2.4eV20固体物理谢谢！