南京工业大学数值分析试卷(2015-1-19)

数值分析（研究生）（开卷，19/1/2015）学院：_______姓名：__________学号：____________1.（15分）求函数()||,()fxxx在区间[−π,π]上最佳三角多项式平方逼近Sn(x)，其中Sn(x)=a02+∑akcoskxnk=1。分别计算当n=1,2,3时的逼近函数，请将所得到的逼近函数和原函数绘在一张图上，比较逼近的效果。2．（10分）线性代数方程组121231.000123.0001xx，的准确解为[1,1]T。如果系数矩阵有微小的改变，方程组变为121230.999923.0001xx采用五位有效数字求解上述方程组，计算实际误差。该方程组是否是坏条件的？计算系数矩阵的∞条件数，并给出计算结果误差与系数矩阵误差之间的关系。3.（15分）通过次数不高于三次的Lagrange插值多项式及以下所提供的数值，采用四位有效数字近似计算cos0.750cos0.698=0.7661,cos0.733=0.7432,cos0.768=0.7193,cos0.803=0.6946估计近似计算的误差界。我们知道cos0.750精确到四位有效数字的实际值为0.7317。请解释实际误差与误差界之间的差别。4.（15分）用Newton迭代法求方程64223(ln8)3(ln2)(ln2)0xxxeee在区间（-1，0）内的解，选择你认为合适的初始点，计算方程的根，使得近似解的相对误差不超过310。请从理论上估计达到所需精度所需的迭代次数。5.（15分）用Gauss-Seidel迭代法解方程组123310216244385xxx对于你所给定的初始值，估计精度达到310需要的迭代次数，并实际计算之。计算该迭代的渐进收敛速度,估算减小误差为初始误差1%需要的迭代次数。6.（10分）利用Broyden方法解非线性方程组121232213362cos()109sin1.060.906031030xxxxxxxxxe取[0,0,0]T作为初始值，终止容限310。7.（10分）给定数据xi4.04.24.54.75.15.55.96.36.87.1yi102.6113.2130.1142.1167.5195.1224.8256.7299.5326.7（1）构造至少二次的多项式进行拟合，并计算误差；（2）构造形如beax的函数对上述数据拟合；（3）构造形如bxa的函数对上述数据拟合，并利用拟合得到的函数计算x=5点的值。8.（10分）用复合Simpson公式计算积分0()sinIfxxdx讨论在绝对误差不超过0.0002条件下的步长，给出近似计算的实际误差。