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-1-1.2充分条件与必要条件学习目标核心素养1．结合具体实例，理解充分条件、必要条件、充要条件的意义．(重点、难点)2．会求(判断)某些问题成立的充分条件、必要条件、充要条件．(重点)3．能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明．(难点)1．通过充分条件与必要条件的学习，培养学生的数学抽象、逻辑推理的素养．2．借助命题间的条件关系求参数范围问题，提升学生的数学运算素养.1．充分条件与必要条件命题真假“若p，则q”是真命题“若p，则q”是假命题推出关系p⇒qpq条件关系p是q的充分条件q是p的必要条件p不是q的充分条件q不是p的必要条件思考1：(1)p是q的充分条件与q是p的必要条件所表示的推出关系是否相同？(2)以下五种表述形式：①p⇒q；②p是q的充分条件；③q的充分条件是p；④q是p的必要条件；⑤p的必要条件是q.这五种表述形式等价吗？[提示](1)相同，都是p⇒q.(2)等价2．充要条件(1)一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q.此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件．概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为充要条件．(2)若p⇒q，但qp，则称p是q的充分不必要条件．(3)若q⇒p，但pq，则称p是q的必要不充分条件．(4)若pq，且qp，则称p是q的既不充分也不必要条件．思考2：(1)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题，这种说法对吗？(2)“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？[提示](1)正确．若p是q的充要条件，则p⇔q，即p等价于q.(2)①p是q的充要条件说明p是条件，q是结论．②p的充要条件是q说明q是条件，p是结论．1．“x2”是“x2－3x＋20”成立的()-2-A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件A[由x2－3x＋20得x2或x1，故选A．]2．用“充分条件”和“必要条件”填空：(1)“a0，b0”是“a＋b0”的________；(2)“tanθ＝1”是“θ＝π4”的________；(3)若p是q的充分条件，q是r的充分条件，则p是r的________．(1)充分条件(2)必要条件(3)充分条件[(1)∵a0，b0，∴a＋b0，故“a0，b0”是“a＋b0”的充分条件．(2)∵tanθ＝1，∴θ＝π4＋kπ，k∈Z，故“tanθ＝1”是“θ＝π4”的必要条件．(3)由题意可知p⇒q，q⇒r，∴p⇒r，即p是r的充分条件．]3．下列各题中，p是q的充要条件的是________(填序号)．(1)p：b＝0，q：函数f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数；(2)p：x0，y0，q：xy0；(3)p：ab，q：a＋cb＋c.(1)(3)[在(1)(3)中，p⇔q，所以(1)(3)中p是q的充要条件，在(2)中，q⇒p，所以(2)中p不是q的充要条件．]充分条件、必要条件、充要条件的判断【例1】下列各题中，p是q的什么条件？(1)p：a，b，c成等比数列，q：b＝ac；(2)p：y＋x4，q：x1，y3；(3)p：ab，q：2a2b；(4)p：△ABC是直角三角形，q：△ABC为等腰三角形．[思路点拨]可先看p成立时，q是否成立，再反过来若q成立时，p是否成立，从而判定p，q间的关系．[解](1)若a，b，c成等比数列，则b2＝ac，b＝±ac，则pq；若b＝ac，当a＝0，b＝0时，a，b，c不成等比数列，即qp，故p是q的既不充分也不必要条件．(2)y＋x4不能得出x1，y3，即pq，而x1，y3可得x＋y4，即q⇒p，故p是q的必要不充分条件．-3-(3)当ab时，有2a2b，即p⇒q，当2a2b时，可得ab，即q⇒p，故p是q的充要条件．(4)法一：若△ABC是直角三角形不能得出△ABC为等腰三角形，即pq；若△ABC为等腰三角形也不能得出△ABC为直角三角形，即qp，故p是q的既不充分也不必要条件．法二：如图所示：p，q对应集合间无包含关系，故p是q的既不充分也不必要条件．充分条件与必要条件的判断方法(1)定义法(2)等价法：将命题转化为另一个等价的又便于判断真假的命题．(3)逆否法：这是等价法的一种特殊情况．若¬p⇒¬q，则p是q的必要条件，q是p的充分条件；若¬p⇒¬q，且¬q¬p，则p是q的必要不充分条件；若¬p⇔¬q，则p与q互为充要条件；若¬p¬q，且¬q¬p，则p是q的既不充分也不必要条件．[跟进训练]1．用“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”填空：(1)“x2＝4”是“x＝－2”的________条件；(2)“函数f(x)＝cos(2x＋θ)是偶函数”是“θ＝kπ(k∈Z)”的________条件；(3)“ab”是“1a1b”的________条件；(4)“lg(x－y)0”是“x－y0”的________条件．(1)必要不充分(2)充要(3)既不充分也不必要(4)充分不必要[(1)∵x2＝4，∴x＝±2，∴x2＝4是x＝－2的必要不充分条件．(2)由f(x)＝cos(2x＋θ)为偶函数可知，θ＝kπ，k∈Z，∴函数f(x)＝cos(2x＋θ)是偶函数是θ＝kπ，k∈Z的充要条件．-4-(3)当a＝1，b＝－1时，1a1b不成立；反之，当a＝－1，b＝1时，ab不成立，故ab是1a1b的既不充分也不必要条件．(4)由lg(x－y)0得x－y1；反之若x－y0，未必有lg(x－y)0，故lg(x－y)0是x－y0的充分不必要条件．]充要条件的探求与证明【例2】(1)“x2－4x0”的一个充分不必要条件为()A．0x4B．0x2C．x0D．x4(2)已知x，y都是非零实数，且xy，求证：1x1y的充要条件是xy0.[思路点拨](1)先解不等式x2－4x0得到充要条件，则充分不必要条件应是不等式x2－4x0的解集的子集．(2)充要条件的证明可用其定义，即条件⇒结论且结论⇒条件．如果每一步的推出都是等价的(⇔)，也可以把两个方面的证明合并在一起，用“⇔”写出证明．(1)B[由x2－4x0得0x4，则充分不必要条件是集合{x|0x4}的子集，故选B．](2)[解]法一：充分性：由xy0及xy，得xxyyxy，即1x1y.必要性：由1x1y，得1x－1y0，即y－xxy0.因为xy，所以y－x0，所以xy0.所以1x1y的充要条件是xy0.法二：1x1y⇔1x－1y0⇔y－xxy0.由条件xy⇔y－x0，故由y－xxy0⇔xy0.所以1x1y⇔xy0，即1x1y的充要条件是xy0.充要条件的证明1证明p是q的充要条件，既要证明命题“p⇒q”为真，又要证明“q⇒p”为真，前者-5-证明的是充分性，后者证明的是必要性.2证明充要条件，即说明原命题和逆命题都成立，要注意“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”这两种说法的差异，分清哪个是条件，哪个是结论.[跟进训练]2．不等式x(x－2)0成立的一个必要不充分条件是()A．x∈(0,2)B．x∈[－1，＋∞)C．x∈(0,1)D．x∈(1,3)B[由x(x－2)0得0x2，因为(0,2)[－1，＋∞)，所以“x∈[－1，＋∞)”是“不等式x(x－2)0成立”的一个必要不充分条件．]3．设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是()A．α内有无数条直线与β平行B．α内有两条相交直线与β平行C．α，β平行于同一条直线D．α，β垂直于同一平面[答案]B充分条件、必要条件、充要条件的应用[探究问题]1．记集合A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，若p是q的充分不必要条件，则集合A，B的关系是什么？若p是q的必要不充分条件呢？提示：若p是q的充分不必要条件，则AB，若p是q的必要不充分条件，BA．2．记集合M＝{x|p(x)}，N＝{x|q(x)}，若M⊆N，则p是q的什么条件？若N⊆M，M＝N呢？提示：若M⊆N，则p是q的充分条件，若N⊆M，则p是q的必要条件，若M＝N，则p是q的充要条件．【例3】已知p：x2－8x－20≤0，q：x2－2x＋1－m2≤0(m0)，且p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为________．[思路点拨]p是q的充分不必要条件→p代表的集合是q代表的集合的真子集→列不等式组求解{m|m≥9}(或[9，＋∞))[由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，由x2－2x＋1－m2≤0(m0)，得1－m≤x≤1＋m(m0)．因为p是q的充分不必要条件，所以p⇒q且qp.即{x|－2≤x≤10}是{x|1－m≤x≤1＋m，m0}的真子集，-6-所以m0，1－m－2，1＋m≥10或1－m≤－2，m0，1＋m10，解得m≥9.所以实数m的取值范围为{m|m≥9}．]利用充分、必要、充分必要条件的关系求参数范围1化简p，q两命题；2根据p与q的关系充分、必要、充要条件转化为集合间的关系；3利用集合间的关系建立不等关系；4求解参数范围.[跟进训练]4．若p：x2＋x－6＝0是q：ax＋1＝0的必要不充分条件，求实数a的值．[解]p：x2＋x－6＝0，即x＝2或x＝－3.q：ax＋1＝0，当a＝0时，方程无解；当a≠0时，x＝－1a.由题意知pq，q⇒p，故a＝0舍去；当a≠0时，应有－1a＝2或－1a＝－3，解得a＝－12或a＝13.综上可知，a＝－12或a＝13.1．充分条件、必要条件的判断方法(1)定义法：直接利用定义进行判断．(2)等价法：利用逆否命题的等价性判断，即要证p⇒q，只需证它的逆否命题¬q⇒¬p即可；同理要证q⇒p，只需证¬p⇒¬q即可．(3)利用集合间的包含关系进行判断．2．根据充分条件、必要条件求参数的取值范围时，主要根据充分条件、必要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组)进行求解．-7-1．判断正误(1)x＝1是(x－1)(x－2)＝0的充分条件．()(2)α＝π6是sinα＝12的必要条件．()(3)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题．()(4)“若p，则q”是真命题，则p是q的必要条件．()[答案](1)√(2)×(3)√(4)√2．下列条件中，是x24的必要不充分条件的是()A．－2≤x≤2B．－2x0C．0x≤2D．1x3A[由x24得－2x2，必要不充分条件的x的范围真包含{x|－2x2}，故选A．]3．若“x＜m”是“(x－1)(x－2)＞0”的充分不必要条件，则m的取值范围是________．(－∞，1][由(x－1)(x－2)＞0可得x＞2或x＜1，由已知条件，知{x|x＜m}{x|x＞2或x＜1}，∴m≤1.]4．已知p：实数x满足x2－4ax＋3a20，其中a0；q：实数x满足x2－x－6≤0.若¬p是¬q的必要条件，求实数a的取值范围．[解]由x2－4ax＋3a20且a0得3axa，所以p：3axa，即集合A＝{x|3axa}．由x2－x－6≤0得－2≤x≤3，所以q：－2≤x≤3，即集合B＝{x|－2≤x≤3}．因为¬q⇒¬p，所以p⇒q，所以A⊆B，所以3a≥－2，a≤3，a0⇒－23≤a0，所以实数a的取值范围是.－23，0