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-1-1.3简单的逻辑联结词学习目标核心素养1.了解逻辑联结词“且”“或”“非”的意义．(重点)2.能够判断命题“p且q”“p或q”“非p”的真假．(难点)3.会使用联结词“且”“或”“非”联结并改写成某些数学命题，会判断命题的真假．(易错点)1．通过“且”“或”“非”的学习，提升数学抽象素养.2.借助“p且q”“p或q”“非p”的真假，提升逻辑推理素养.1．“且”(1)定义一般地，用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∧q，读作“p且q”．(2)真假判断当p，q都是真命题时，p∧q是真命题；当p，q两个命题中有一个命题是假命题时，p∧q是假命题．2．“或”(1)定义一般地，用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∨q，读作“p或q”．(2)真假判断当p，q两个命题有一个命题是真命题时，p∨q是真命题；当p，q两个命题都是假命题时，p∨q是假命题．思考：(1)p∨q是真命题，则p∧q是真命题吗？(2)若p∨q与p∧q一个是真命题，一个是假命题，那么谁是真命题？[提示](1)不一定，p∨q是真命题，p与q可能一真一假，此时p∧q是假命题．(2)p∨q是真命题，p∧q是假命题．3．“非”(1)定义一般地，对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作¬p，读作“非p”或“p的否定”．(2)真假判断-2-若p是真命题，则¬p必是假命题；若p是假命题，则¬p必是真命题．4．复合命题用逻辑联结词“且”“或”“非”把命题p和命题q联结起来的命题称为复合命题．复合命题的真假判断pqp∨qp∧q¬p真真真真假真假真假假假真真假真假假假假真1．命题“矩形的对角线相等且互相平分”是()A．“p∧q”形式的命题B．“p∨q”形式的命题C．“¬p”形式的命题D．以上说法都不对A[用“且”联结，故是“p∧q”形式的命题．]2．在一次跳高比赛前，甲、乙两名运动员各试跳了一次．设命题p表示“甲的试跳成绩超过2米”，命题q表示“乙的试跳成绩超过2米”，则命题p∨q表示()A．甲、乙恰有一人的试跳成绩没有超过2米B．甲、乙至少有一人的试跳成绩没有超过2米C．甲、乙两人的试跳成绩都没有超过2米D．甲、乙至少有一人的试跳成绩超过2米D[结合p∨q的含义可知选项D正确．]3．若p是真命题，q是假命题，则()A．p∧q是真命题B．p∨q是假命题C．¬p是真命题D．¬q是真命题D[结合复合命题的真假判断可知D正确．]含有逻辑联结词的命题结构【例1】指出下列命题的形式及构成它的简单命题．(1)方程x2－3＝0没有有理根；(2)有两个内角是45°的三角形是等腰直角三角形；(3)±1是方程x3＋x2－x－1＝0的根．[解](1)这个命题是“非p”形式的命题，其中p：方程x2－3＝0有有理根．-3-(2)这个命题是“p且q”形式的命题，其中p：有两个内角是45°的三角形是等腰三角形，q：有两个内角是45°的三角形是直角三角形．(3)这个命题是“p或q”形式的命题，其中p：1是方程x3＋x2－x－1＝0的根，q：－1是方程x3＋x2－x－1＝0的根．1．判断一个命题的结构，不能仅从字面上看它是否含有“或”“且”“非”等逻辑联结词，而应从命题的结构上看是否用逻辑联结词联结两个命题．2．用逻辑联结词“且”“或”联结两个命题时，关键是正确理解这些词语的意义及在日常生活中的同义词，选择合适的联结词，有时为了语法的要求及语句的通顺也可进行适当的省略和变形．[跟进训练]1．分别写出由下列命题构成的“p∨q”“p∧q”“¬p”形式的命题．(1)p：梯形有一组对边平行，q：梯形有一组对边相等；(2)p：－1是方程x2＋4x＋3＝0的解，q：－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．[解](1)p∧q：梯形有一组对边平行且有一组对边相等．p∨q：梯形有一组对边平行或有一组对边相等．¬p：梯形没有一组对边平行．(2)p∧q：－1与－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．p∨q：－1或－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．¬p：－1不是方程x2＋4x＋3＝0的解.含逻辑联结词命题的真假判断【例2】记不等式组x＋y≥6，2x－y≥0表示的平面区域为D．命题p：∃(x，y)∈D,2x＋y≥9；命题q：∀(x，y)∈D,2x＋y≤12.下面给出了四个命题①p∨q②¬p∨q③p∧¬q④¬p∧¬q这四个命题中，所有真命题的编号是()A．①③B．①②C．②③D．③④[思路点拨]判断p，q的真假→判断¬p，¬q的真假→判断所给命题的真假[答案]A-4-含逻辑联结词命题真假的判断方法及步骤1我们可以用口诀记忆法来记忆：“p且q”全真才真，一假必假；“p或q”全假才假，一真必真；“非p”与p真假相对.2判断复合命题真假的步骤：①确定复合命题的构成形式是“p且q”“p或q”还是“¬p”；②判断其中的简单命题p，q的真假；③根据真值表判断复合命题的真假.[跟进训练]2．已知命题p：若xy，则－x－y；命题q：若xy，则x2y2.在命题①p∧q；②p∨q；③p∧(¬q)；④(¬p)∨q中，真命题是()A．①③B．①④C．②③D．②④C[由不等式的性质可知，命题p为真命题，命题q为假命题，故①p∧q为假命题，②p∨q为真命题，③¬q为真命题，则p∧(¬q)为真命题，④¬p为假命题，则(¬p)∨q为假命题．]3．分别指出由下列命题构成的“p∨q”“p∧q”“¬p”形式的命题的真假．(1)p：1∈{2,3}，q：2∈{2,3}；(2)p：2是奇数，q：2是合数；(3)p：4≥4，q：23不是偶数；(4)p：不等式x2－3x－100的解集是{x|－2x5}，q：不等式x2－3x－100的解集是{x|x5或x－2}．[解](1)∵p是假命题，q是真命题，∴p∨q是真命题，p∧q是假命题，¬p是真命题．(2)∵p是假命题，q是假命题，∴p∨q是假命题，p∧q是假命题，¬p是真命题．(3)∵p是真命题，q是真命题，∴p∨q是真命题，p∧q是真命题，¬p是假命题．(4)∵p是真命题，q是假命题，∴p∨q是真命题，p∧q是假命题，¬p是假命题．由复合命题的真假求参数的取值范围[探究问题]1．若“p∨q”与“¬p”同时为真命题，那么能否判定命题p与q的真假？提示：由“¬p”是真命题可知p是假命题，又因为“p∨q”是真命题，所以q是真命题．-5-2．若“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，能否判定命题p与q的真假？提示：不能判定，只能得到p与q其中一个是真命题，另一个是假命题．【例3】已知p：关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的负根，q：关于x的方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根．若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求m的取值范围．[思路点拨]分别求当p，q为真时m的范围→根据p∨q，p∧q的真假分析p，q的真假→得出m的范围[解]当x2＋mx＋1＝0有两个不相等的负根为真时，m2－40，－m0，解之得m2，当4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根为真时，16(m－2)2－160，解之得1m3.因为p∧q为假命题，p∨q为真命题，所以p与q一真一假．若p真q假，则m2，m≥3或m≤1，所以m≥3.若p假q真，则m≤2，1m3，所以1m≤2.所以m的取值范围为1m≤2或m≥3.1．本例题条件不变，试求p∨q与p∧q分别为真命题时m的取值范围．[解]由例题知，当p为真时，m2，当q为真时1m3，则当p∨q为真命题时，m1，当p∧q为真命题时，2m3.2．若本例条件变为(¬p)∨(¬q)为假命题，其他条件不变，求实数m的取值范围．[解]由例题解析可知p：m2，q：1m3，若“(¬p)∨(¬q)”为假命题，即p∧q为真命题，所以m2，1m3，解得2m3.所以实数m的取值范围是(2,3)．根据命题的真假求参数范围的步骤1求出p，q均为真时参数的取值范围；2根据命题p∧q，p∨q的真假判断命题p，q的真假；3根据p，q的真假求出参数的取值范围.-6-1．正确理解逻辑联结词是解题的关键，日常用语中的“或”是两个中任选一个，不能都选，而逻辑联结词中的“或”是两个中至少选一个．2．对于含有逻辑联结词命题的真假判断熟记：(1)p∨q中有一真便真；(2)p∧q中有一假便假；(3)p与¬p真假不同．3．在应用逻辑联结词求参数范围时，要树立等价转化的思想意识．1．判断正误(1)当p是真命题时，“p∧q”为真命题．()(2)“p∨q为假命题”是“p为假命题”的充要条件．()(3)命题“p∨(¬p)”是真命题．()[答案](1)×(2)×(3)√2．给出下列命题：①21或13；②方程x2－2x－4＝0的判别式大于或等于0；③25是6或5的倍数；④集合A∩B是A的子集，且是A∪B的子集．其中真命题的个数为()A．1B．2C．3D．4D[对于①，是“或”命题，且21是真命题，故①是真命题．对于②，是“或”命题，且Δ＝(－2)2＋16＝200，故②是真命题．对于③，是“或”命题，且25是5的倍数，故③是真命题．对于④，是“且”命题，且集合A∩B是A的子集，也是A∪B的子集，故④是真命题．故选D．]3．已知命题p：函数f(x)＝(2a－1)x＋b在R上是减函数；命题q：函数g(x)＝x2＋ax在[1,2]上是增函数，若p∧q为真，则实数a的取值范围是________．－2，12[p为真时，2a－10，即a12，q为真时，－a2≤1，即a≥－2，则p∧q为真时，－2≤a12.]4．分别指出由下列各组命题构成的“p∧q”“p∨q”“¬p”形式的命题的真假：(1)p：点P(1,1)在直线2x＋y－1＝0上，q：直线y＝x过圆x2＋y2＝4的圆心；(2)p：4∈{2,3,4}，q：不等式x2－x－2＞0的解集为{x|－2＜x＜1}；-7-(3)p：若a＞b，则2a＞2b，q：若a＞b，则a3＞b3.[解](1)∵p是假命题，q是真命题，∴p∧q为假命题，p∨q为真命题，¬p为真命题．(2)∵p是真命题，q是假命题，∴p∧q为假命题，p∨q为真命题，¬p为假命题．(3)∵p是真命题，q是真命题，∴p∧q为真命题，p∨q为真命题，¬p为假命题．