20202021学年高中数学第1章常用逻辑用语14全称量词与存在量词教师用书教案新人教A版选修11

-1-1.4全称量词与存在量词学习目标核心素养1．通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义以及全称命题和特称命题的意义.2．掌握全称命题与特称命题真假性的判定．(重点、难点)3．能正确地对含有一个量词的命题进行否定．(重点、易混点)1．通过学习全称命题及特称命题的概念，培养数学抽象素养.2．借助含有一个量词的命题的否定，提升逻辑推理素养.1．全称量词与全称命题(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．(2)含有全称量词的命题叫做全称命题，通常将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示，变量x的取值范围用M表示，那么全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M，p(x)．2．存在量词与特称命题(1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示．(2)含有存在量词的命题，叫做特称命题，特称命题“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”，可用符号简记为“∃x0∈M，p(x0)”．思考：(1)“一元二次方程ax2＋2x＋1＝0有实数解”是特称命题还是全称命题？请改写成相应命题的形式．(2)“不等式(m＋1)x2－(m－1)x＋3(m－1)0对任意实数x恒成立”是特称命题还是全称命题？请改写成相应命题的形式．[提示](1)是特称命题，可改写为“存在x0∈R，使ax20＋2x0＋1＝0”(2)是全称命题，可改写成：“∀x∈R，(m＋1)x2－(m－1)x＋3(m－1)0”．3．含有一个量词的命题的否定一般地，对于含有一个量词的命题的否定，有下面的结论：全称命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定¬p：∃x0∈M，¬p(x0)；特称命题p：∃x0∈M，p(x0)，它的否定¬p：∀x∈M，¬p(x)．-2-全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．1．命题p：“存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根”，则“p”形式的命题是()A．存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实根B．不存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实根C．对任意的实数m，方程x2＋mx＋1＝0无实根D．至多有一个实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实根[答案]C2．下列四个命题中的真命题为()A．∃x0∈Z,14x03B．∃x0∈Z,5x0＋1＝0C．∀x∈R，x2－1＝0D．∀x∈R，x2＋x＋20D[当x∈R时，x2＋x＋2＝x＋122＋740，故选D．]3．(1)命题“有些长方形是正方形”中含有的量词是________，该量词是________量词(填“全称”或“存在”)，该命题是________命题(填“全称”或“特称”)．(2)命题“负数没有对数”中省略的量词是________，这是一个________命题(填“全称”或“特称”)．[答案](1)有些存在特称(2)一切(所有的等)全称全称(特称)命题的概念及真假判断【例1】指出下列命题是全称命题还是特称命题，并判断它们的真假．(1)∀x∈N,2x＋1是奇数；(2)存在一个x0∈R，使1x0－1＝0；(3)能被5整除的整数末位数是0；(4)有一个角α，使sinα1.[解](1)是全称命题．因为∀x∈N,2x＋1都是奇数，所以该命题是真命题．(2)是特称命题．因为不存在x0∈R，使1x0－1＝0成立，所以该命题是假命题．(3)是全称命题．因为25能被5整除，但末位数不是0，因此该命题是假命题．(4)是特称命题．因为∀α∈R，sinα∈[－1,1]，所以该命题是假命题．-3-1．判断命题是全称命题还是特称命题的方法(1)分析命题中是否含有量词；(2)分析量词是全称量词还是存在量词；(3)若命题中不含量词，要根据命题的意义去判断．2．全称命题与特称命题真假的判断方法(1)要判定全称命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中每个元素x，证明p(x)都成立；如果在集合M中找到一个元素x0，使得p(x0)不成立，那么这个全称命题就是假命题．(2)要判定特称命题“∃x0∈M，p(x0)”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x0，使p(x0)成立即可；如果在集合M中，使p(x)成立的元素x不存在，那么这个特称命题就是假命题．[跟进训练]1．以下四个命题既是特称命题又是真命题的是()A．锐角三角形的内角是锐角或钝角B．至少有一个实数x，使x2≤0C．两个无理数的和必是无理数D．存在一个负数x，使1x2B[A中锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称命题；B中x＝0时，x2＝0，所以B既是特称命题又是真命题；C中因为3＋(－3)＝0，所以C是假命题；D中对于任一个负数x，都有1x0，所以D是假命题．]2．下列命题中，真命题是()A．∃x∈0，π2，sinx＋cosx≥2B．∀x∈(3，＋∞)，x22x＋1C．∃x∈R，x2＋x＝－1D．∀x∈π2，π，tanxsinxB[对于选项A，sinx＋cosx＝2sinx＋π4≤2，∴此命题不成立；对于选项B，x2－2x－1＝(x－1)2－2，当x3时，(x－1)2－20，∴此命题成立；对于选项C，x2＋x＋1＝x＋122＋340，∴x2＋x＝－1对任意实数x都不成立，∴此命题不成立；-4-对于选项D，当x∈π2，π时，tanx0，sinx0，命题显然不成立．故选B．]含有一个量词的命题的否定【例2】(1)命题“∀x∈R，x2≠x”的否定是()A．∀x∉R，x2≠xB．∀x∈R，x2＝xC．∃x∉R，x2≠xD．∃x∈R，x2＝x(2)写出下列命题的否定，并判断其真假：①p：∀x∈R，x2－x＋14≥0；②p：所有的正方形都是菱形；③p：至少有一个实数x0，使x30＋1＝0.[思路点拨]先判定命题是全称命题还是特称命题，再针对不同的形式加以否定．(1)D[原命题的否定为∃x∈R，x2＝x，故选D．](2)[解]①¬p：∃x0∈R，x20－x0＋140，假命题．因为∀x∈R，x2－x＋14＝x－122≥0恒成立．②¬p：至少存在一个正方形不是菱形，假命题．③¬p：∀x∈R，x3＋1≠0，假命题．因为x＝－1时，x3＋1＝0.对全称命题和特称命题进行否定的步骤与方法1确定类型：是特称命题还是全称命题.2改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词；把存在量词换为恰当的全称量词.3否定结论：原命题中“是”“有”“存在”“成立”等改为“不是”“没有”“不存在”“不成立”等.提醒：无量词的全称命题要先补回量词再否定.[跟进训练]3．命题“∃x0∈(0，＋∞)，lnx0＝x0－1”的否定是()A．∀x∈(0，＋∞)，lnx≠x－1B．∀x∉(0，＋∞)，lnx＝x－1C．∃x0∈(0，＋∞)，lnx0≠x0－1D．∃x0∉(0，＋∞)，lnx0＝x0－1A[特称命题的否定是全称命题，故原命题的否定是∀x∈(0，＋∞)，lnx≠x－1.]-5-4．写出下列命题的否定，并判断其真假．(1)p：不论m取何实数，方程x2＋x－m＝0必有实数根；(2)q:存在一个实数x0，使得x20＋x0＋1≤0；(3)r：等圆的面积相等，周长相等；(4)s：对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1.[解](1)这一命题可以表述为p：“对所有的实数m，方程x2＋x－m＝0有实数根”，其否定形式是¬p：“存在实数m，使得x2＋x－m＝0没有实数根”．注意到当Δ＝1＋4m＜0时，即m＜－14时，一元二次方程没有实数根，所以¬p是真命题．(2)这一命题的否定形式是¬q：“对所有的实数x，都有x2＋x＋1＞0”，利用配方法可以证得¬q是真命题．(3)这一命题的否定形式是¬r：“存在一对等圆，其面积不相等或周长不相等”，由平面几何知识知¬r是假命题．(4)这一命题的否定形式是¬s：“存在α∈R，sin2α＋cos2α≠1”，由于命题s是真命题，所以¬s是假命题.由全称(特称)命题的真假确定参数的范围[探究问题]1．(1)已知对任意的x∈[1,3]，都有m≥x，求实数m的取值范围；(2)已知存在实数x∈[1,3]，使m≥x，求实数m的取值范围．提示：(1)由于对任意的x∈[1,3]，都有m≥x，故只需m大于或等于x的最大值，即m≥3.(2)由于存在实数x∈[1,3]，使m≥x，故只需m大于或等于x的最小值，即m≥1.2．类比探究1，若对∀x∈R，af(x)恒成立，只需a满足什么条件？若∃x0∈R使af(x)成立，只需a满足什么条件？提示：前者a满足af(x)max；后者a满足af(x)min.【例3】若命题“∀x∈[－1，＋∞)，x2－2ax＋2≥a”是真命题，求实数a的取值范围．[思路点拨]法一：令fx＝x2－2ax＋2――――――→对∀x∈[－1，＋∞fx≥afxmin≥a法二：令fx＝x2－2ax＋2－a――――――→对∀x∈[－1，＋∞fx≥0fxmin≥0[解]法一：由题意，∀x∈[－1，＋∞)，f(x)＝x2－2ax＋2≥a恒成立，所以f(x)＝(x－a)2＋2－a2≥a可转化为∀x∈[－1，＋∞)，f(x)min≥a恒成立，-6-而∀x∈[－1，＋∞)，f(x)min＝2－a2，a≥－1，1＋a2＋2－a2，a－1.由f(x)的最小值f(x)min≥a，知a∈[－3,1]．法二：x2－2ax＋2≥a，即x2－2ax＋2－a≥0，令f(x)＝x2－2ax＋2－a，所以∀x∈[－1，＋∞)，f(x)≥0恒成立，所以Δ≤0或Δ＝4a2－42－a0，a－1，f－1≥0，即－2≤a≤1或－3≤a－2.所以－3≤a≤1.综上，所求实数a的取值范围是[－3,1]．把题设条件改为：已知命题p：“至少存在一个实数x0∈[1,2]，使不等式x20＋2ax0＋2－a0成立”为真，试求参数a的取值范围．[解]由已知得¬p：∀x∈[1,2]，x2＋2ax＋2－a≤0成立，所以设f(x)＝x2＋2ax＋2－a，则f1≤0，f2≤0，所以1＋2a＋2－a≤0，4＋4a＋2－a≤0，解得a≤－3，因为¬p为假，所以a－3，即a的取值范围是(－3，＋∞)．应用全称命题与特称命题求参数范围的两类题型1全称命题的常见题型是“恒成立”问题，全称命题为真时，意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性质，所以可以利用代入体现集合中相应元素的具体性质中求解；也可以根据函数等数学知识来解决.2特称命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句表述.解答这类问题，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后从肯定的假设出发，结合已知条件进行推理证明，若推出合理的结论，则存在性随之解决；若导致矛盾，则否定了假设.-7-1．判断命题是全称命题还是特称命题，主要是看命题中是否含有全称量词或存在量词，有些全称命题不含全称量词，可以根据命题涉及的意义去判断．2．对含有一个量词的命题的否定要注意以下问题：(1)确定命题类型，是全称命题还是特称命题．(2)改变量词：把全称量词改为恰当的存在量词；把存在量词改为恰当的全称量词．(3)否定结论：原命题中的“是”“有”“存在”“成立”等分别改为“不是”“没有”“不存在”“不成立”等．(4)无量词的全称命题要先补回量词再否定．3．通常对于“至多”“至少”的命题，应采用逆向思维的方法处理，先考虑命题的否定，求出相应的集合，再求集合的补集，可避免繁杂的运算．1．判断正误(1)全称量词的含义是“任意性”，存在量词的含义是“存在性”．()(2)同一个特称命题的表达形式是唯一的．()(3)全称命题的否定一定是特称命题，特称命题的否定一定是全称命题．()(4)特称命题的否定是对“量词”和“p(x)”的同时否定．()(5)全称命题与其否定的真假可以相同．()[答案](1)√(2)×(3)√(4)×(5)×2．命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是()A．所有不能被2整除的数都是偶数B．所