20202021学年高中数学第2章圆锥曲线与方程21211椭圆及其标准方程教师用书教案新人教A版选修

-1-2.1椭圆2.1.1椭圆及其标准方程学习目标核心素养1．理解椭圆的定义及椭圆的标准方程．(重点)2．掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程．(重点)3．理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题．(难点)1．通过椭圆定义的学习，培养学生的数学直观想象的素养.2．借助椭圆标准方程的推导，培养数学运算的素养.1．椭圆的定义把平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．思考：(1)椭圆定义中将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？(2)椭圆定义中将“大于|F1F2|”改为“小于|F1F2|”的常数，其他条件不变，动点的轨迹是什么？[提示](1)点的轨迹是线段F1F2.(2)当距离之和小于|F1F2|时，动点的轨迹不存在．2．椭圆的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程x2a2＋y2b2＝1(ab0)y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)焦点(－c,0)与(c,0)(0，－c)与(0，c)a，b，c的关系c2＝a2－b21．下列说法中正确的是()A．到点M(－3,0)，N(3,0)的距离之和等于4的点的轨迹是椭圆B．到点M(0，－3)，N(0,3)的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆C．到点M(－3,0)，N(3,0)的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆-2-D．到点M(0，－3)，N(0,3)的距离相等的点的轨迹是椭圆C[结合椭圆的定义可知选项C满足椭圆的定义，故选C．]2．已知椭圆x2m＋y216＝1上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3，到另一焦点距离为7，则m等于()A．10B．5C．15D．25D[由题意知2a＝3＋7＝10，∴a＝5，∴m＝a2＝25.]3．椭圆的两个焦点坐标分别为F1(0，－8)，F2(0,8)，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为20，则此椭圆的标准方程为()A．x2100＋y236＝1B．y2400＋x2336＝1C．y2100＋x236＝1D．y220＋x212＝1C[由题意知c＝8,2a＝20，∴a＝10，∴b2＝a2－c2＝36，又焦点在y轴上，故椭圆的方程为y2100＋x236＝1.]求椭圆的标准方程【例1】求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别为(－4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)；(2)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)；(3)经过点A(3，－2)和点B(－23，1)．[解](1)由于椭圆的焦点在x轴上，∴设它的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)．∴a＝5，c＝4，∴b2＝a2－c2＝25－16＝9.故所求椭圆的标准方程为x225＋y29＝1.(2)由于椭圆的焦点在y轴上，∴设它的标准方程为y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)．∴a＝2，b＝1.故所求椭圆的标准方程为y24＋x2＝1.(3)法一：①当焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)．-3-依题意有32a2＋－22b2＝1，－232a2＋1b2＝1，解得a2＝15，b2＝5.故所求椭圆的标准方程为x215＋y25＝1.②当焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)．依题意有－22a2＋32b2＝1，1a2＋－232b2＝1，解得a2＝5，b2＝15，因为a＞b＞0，所以无解．所以所求椭圆的标准方程为x215＋y25＝1.法二：设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，依题意有3m＋4n＝1，12m＋n＝1，解得m＝115，n＝15.所以所求椭圆的标准方程为x215＋y25＝1.1．利用待定系数法求椭圆的标准方程(1)先确定焦点位置；(2)设出方程；(3)寻求a，b，c的等量关系；(4)求a，b的值，代入所设方程．2．当焦点位置不确定时，可设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m≠n，m＞0，n＞0)．因为它包括焦点在x轴上(m＜n)或焦点在y轴上(m＞n)两类情况，所以可以避免分类讨论，从而简化运算．[跟进训练]1．写出适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)a＝4，c＝3，焦点在y轴上；(2)a＋b＝8，c＝4；(3)经过两点(2，－2)，－1，142.-4-[解](1)焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为y2a2＋x2b2＝1(ab0)，则a2＝16，b2＝a2－c2＝16－9＝7.∴椭圆的标准方程为y216＋x27＝1.(2)a＋b＝8，a2－b2＝16，⇒a＋b＝8，a＋ba－b＝16，⇒a＋b＝8，a－b＝2，⇒a＝5，b＝3.∴椭圆的标准方程为x225＋y29＝1或y225＋x29＝1.(3)法一(分类讨论法)若焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)．由已知条件得4a2＋2b2＝1，1a2＋144b2＝1，解得a2＝8，b2＝4.所以所求椭圆的标准方程为x28＋y24＝1.若焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为y2a2＋x2b2＝1(ab0)．由已知条件得4b2＋2a2＝1，1b2＋144a2＝1，解得b2＝8，a2＝4.则a2b2，与题设中ab0矛盾，舍去．综上，所求椭圆的标准方程为x28＋y24＝1.法二(待定系数法)设椭圆的一般方程为Ax2＋By2＝1(A0，B0，A≠B)．将两点(2，－2)，－1，142代入，得4A＋2B＝1，A＋144B＝1，解得A＝18，B＝14，所以所求椭圆的标准方程为x28＋y24＝1.椭圆的定义及其应用【例2】(1)已知椭圆C的焦点为F1(－1，0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点．|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为()A．x22＋y2＝1B．x23＋y22＝1-5-C．x24＋y23＝1D．x25＋y24＝1(2)已知椭圆x24＋y23＝1中，点P是椭圆上一点，F1，F2是椭圆的焦点，且∠PF1F2＝120°，则△PF1F2的面积为________．[思路点拨](1)椭圆定义列方程求a，b余弦定理(2)椭圆定义和余弦定理→建立关于|PF1|，|PF2|的方程→联立求解|PF1|→求三角形的面积(1)B(2)335[(2)由x24＋y23＝1，可知a＝2，b＝3，所以c＝a2－b2＝1，从而|F1F2|＝2c＝2.在△PF1F2中，由余弦定理得|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1||F1F2|cos∠PF1F2，即|PF2|2＝|PF1|2＋4＋2|PF1|①由椭圆定义得|PF1|＋|PF2|＝2a＝4②由①②联立可得|PF1|＝65.所以S△PF1F2＝12|PF1||F1F2|sin∠PF1F2＝12×65×2×32＝335.]1．椭圆的定义具有双向作用，即若|MF1|＋|MF2|＝2a(2a＞|F1F2|)，则点M的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点M到两焦点的距离之和必为2a.2．椭圆中的焦点三角形椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2构成的△PF1F2，称为焦点三角形．在处理椭圆中的焦点三角形问题时，可结合椭圆的定义|MF1|＋|MF2|＝2a及三角形中的有关定理和公式(如正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等)来求解．[跟进训练]2．已知椭圆的方程为x2a2＋y225＝1(a5)，它的两个焦点分别为F1，F2，且|F1F2|＝8，弦AB过点F1，则△ABF2的周长为()A．10B．20C．241D．441D[∵a5，∴椭圆的焦点在x轴上．又c＝4，∴a2－25＝42，∴a＝41.-6-由椭圆的定义知△ABF2的周长＝|BA|＋|F2B|＋|F2A|＝|BF1|＋|BF2|＋|AF1|＋|AF2|＝4a＝441.故选D．]与椭圆有关的轨迹问题[探究问题]1．如图所示，在圆x2＋y2＝4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足．当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？如何求其方程？提示：线段PD的中点M的轨迹是椭圆．设M(x，y)，易知P(x,2y)，所以x2＋4y2＝4，即x24＋y2＝1.2．如图所示，P为圆B：(x＋2)2＋y2＝36上一动点，点A的坐标为(2,0)，线段AP的垂直平分线交直线BP于点Q，则点Q的轨迹是什么？提示：连接AQ(图略)，易知|AQ|＝|PQ|，又|BQ|＋|PQ|＝|BP|＝6，∴|QA|＋|QB|＝6|AB|＝4，∴点Q的轨迹是以A，B为焦点的椭圆．【例3】(1)已知P是椭圆x24＋y28＝1上一动点，O为坐标原点，则线段OP中点Q的轨迹方程为______________．(2)一个动圆与圆Q1：(x＋3)2＋y2＝1外切，与圆Q2：(x－3)2＋y2＝81内切，试求这个动圆圆心的轨迹方程．[思路点拨](1)点Q为OP的中点⇒点Q与点P的坐标关系⇒代入法求解．(2)由圆的相切，及动圆圆心与两个定圆圆心、半径的关系得轨迹．(1)x2＋y22＝1[设Q(x，y)，P(x0，y0)，由点Q是线段OP的中点知x0＝2x，y0＝2y，又x204＋y208＝1.-7-所以2x24＋2y28＝1，即x2＋y22＝1.](2)[解]由已知，得两定圆的圆心和半径分别为Q1(－3，0)，r1＝1；Q2(3,0)，r2＝9.设动圆圆心为M(x，y)，半径为r，如图．由题设有|MQ1|＝1＋r，|MQ2|＝9－r，所以|MQ1|＋|MQ2|＝10|Q1Q2|＝6.由椭圆的定义，知点M在以Q1，Q2为焦点的椭圆上，且a＝5，c＝3.所以b2＝a2－c2＝25－9＝16，故动圆圆心的轨迹方程为x225＋y216＝1.解决与椭圆有关的轨迹问题的两种方法1定义法用定义法求椭圆方程的思路：先观察、分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义.若符合椭圆的定义，则用待定系数法求解即可.2相关点法有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去，即可解决问题，这种方法称为相关点法.[跟进训练]3．如图，设点A，B的坐标分别为(－2,0)，(2,0)，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是－34，求点M的轨迹方程．[解]设点M的坐标为(x，y)，因为点A的坐标是(－2,0)，所以直线AM的斜率kAM＝yx＋2(x≠－2)；同理，直线BM的斜率kBM＝yx－2(x≠2)．由已知得yx＋2×yx－2＝－34(x≠±2)，-8-化简，得点M的轨迹方程为x24＋y23＝1(x≠±2).1．平面内到两定点F1，F2的距离之和为常数，即|MF1|＋|MF2|＝2a，当2a|F1F2|时，轨迹是椭圆；当2a＝|F1F2|时，轨迹是一条线段F1F2；当2a|F1F2|时，轨迹不存在．2．对于求解椭圆的标准方程一般有两种方法：一是待定系数法，二是定义法．3．用待定系数法求椭圆的标准方程时，若已知焦点的位置，可直接设出标准方程；若焦点位置不确定，可分两种情况求解，也可设Ax2＋By2＝1(A0，B0，A≠B)求解，避免分类讨论，达到了简化运算的目的．1．若椭圆的两焦点为(－2,0)，(2,0)，且该椭圆过点52，－32，则该椭圆的方程是()A．y28＋x24＝1B．y210＋x26＝1C．y24＋x28＝1D．y26＋x210＝1D[∵椭圆的两个焦点为(－2,0)，(2,0)，∴c＝2，又椭圆过点52，－32，∴2a＝52＋22＋－32－02＋52－22＋－32－02＝210.∴a＝10.∴b2＝a2－c2＝6，∴椭圆方程为x210＋y26＝1.]2．已知椭圆4x2＋ky2＝4的一个焦点坐标是(0,1)，则实数k的值是()A．1B．2C．3D．4B[椭圆方程可化为x2