20202021学年高中数学第2章圆锥曲线与方程21212第1课时椭圆的简单几何性质教师用书教案新人

-1-2.1.2椭圆的简单几何性质第1课时椭圆的简单几何性质学习目标核心素养1．根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形．(重点)2．根据几何条件求出曲线方程，利用曲线的方程研究它的性质，并能画出相应的曲线．(重点、难点)1．通过学习椭圆的几何性质，培养学生直观想象的数学素养.2．借助椭圆的几何性质，培养数学运算及逻辑推理的数学素养.1．椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)y2a2＋x2b2＝1(ab0)范围－a≤x≤a且－b≤y≤b－b≤x≤b且－a≤y≤a对称性对称轴为坐标轴，对称中心为原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)轴长短轴长|B1B2|＝2b，长轴长|A1A2|＝2a焦点F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)焦距|F1F2|＝2c2.离心率(1)定义：椭圆的焦距与长轴长的比ca称为椭圆的离心率．(2)性质：离心率e的范围是(0,1)．当e越接近于1时，椭圆越扁；当e越接近于0时，椭圆就越接近于圆．-2-思考：(1)离心率e能否用ba表示？(2)离心率相同的椭圆是同一个椭圆吗？[提示](1)e2＝c2a2＝a2－b2a2＝1－ba2，所以e＝1－ba2.(2)不是．离心率相同的椭圆焦距与长轴的长的比值相同．1．椭圆6x2＋y2＝6的长轴的端点坐标是()A．(－1,0)，(1,0)B．(－6,0)，(6,0)C．(－6，0)，(6，0)D．(0，－6)，(0，6)D[椭圆方程可化为x2＋y26＝1，则长轴的端点坐标为(0，±6)．]2．椭圆x225＋y216＝1的离心率是()A．34B．541C．45D．35D[∵a＝5，b＝4，c＝a2－b2＝3，∴e＝35.]3．若点P(m，n)是椭圆x24＋y23＝1上任意一点，则m的取值范围是________，n的取值范围是________．[－2,2][－3，3][由题意可知m24＋n23＝1，由m24≤1可知－2≤m≤2；同理，由n23≤1可知－3≤n≤3.]根据椭圆的方程研究其几何性质【例1】设椭圆方程mx2＋4y2＝4m(m＞0)的离心率为12，试求椭圆的长轴的长和短轴的长、焦点坐标及顶点坐标．[解]椭圆方程可化为x24＋y2m＝1.(1)当0＜m＜4时，a＝2，b＝m，c＝4－m，∴e＝ca＝4－m2＝12，∴m＝3，∴b＝3，c＝1，∴椭圆的长轴的长和短轴的长分别是4,23，焦点坐标为F1()－1，0，F2()1，0，顶点坐标为A1()－2，0，A2()2，0，B1(0，－3)，B2(0，3)．-3-(2)当m＞4时，a＝m，b＝2，∴c＝m－4，∴e＝ca＝m－4m＝12，解得m＝163，∴a＝433，c＝233，∴椭圆的长轴的长和短轴的长分别为833，4，焦点坐标为F10，－233，F20，233，顶点坐标为A10，－433，A20，433，B1(－2,0)，B2(2,0)．用标准方程研究几何性质的步骤1将椭圆方程化为标准形式.2确定焦点位置.焦点位置不确定的要分类讨论3求出a，b，c.,4写出椭圆的几何性质.提醒：长轴长、短轴长、焦距不是a，b，c，而应是a，b，c的两倍.[跟进训练]1．(1)椭圆x2＋y2m＝1的焦点在x轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为()A．14B．12C．2D．4(2)对椭圆C1：x2a2＋y2b2＝1(ab0)和椭圆C2：y2a2＋x2b2＝1(ab0)的几何性质的表述正确的是()A．范围相同B．顶点坐标相同C．焦点坐标相同D．离心率相同(1)A(2)D[(1)由题意可知a2＝1，b2＝m，由a＝2b可知1＝4m，∴m＝14.故选A．(2)结合椭圆的几何性质可知，C1与C2的离心率相同，均为1－b2a2，故选D．]利用几何性质求椭圆的标准方程【例2】求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)椭圆过点(3,0)，离心率e＝63；(2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为8；(3)经过点M(1,2)，且与椭圆x212＋y26＝1有相同的离心率．[思路点拨](1)焦点位置不确定，分两种情况求解．(2)利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求解．(3)法一：先求离心率，根据离心率找到a与b的关系，再用待定系数法求解．-4-法二：设与椭圆x212＋y26＝1有相同离心率的椭圆方程为x212＋y26＝k1(k10)或y212＋x26＝k2(k20)．[解](1)若焦点在x轴上，则a＝3，∵e＝ca＝63，∴c＝6，∴b2＝a2－c2＝9－6＝3.∴椭圆的方程为x29＋y23＝1.若焦点在y轴上，则b＝3，∵e＝ca＝1－b2a2＝1－9a2＝63，解得a2＝27.∴椭圆的方程为y227＋x29＝1.∴所求椭圆的方程为x29＋y23＝1或y227＋x29＝1.(2)设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)．如图所示，△A1FA2为等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，且|OF|＝c，|A1A2|＝2b，∴c＝b＝4，∴a2＝b2＋c2＝32，故所求椭圆的方程为x232＋y216＝1.(3)法一：由题意知e2＝1－b2a2＝12，所以b2a2＝12，即a2＝2b2.设所求椭圆的方程为x22b2＋y2b2＝1或y22b2＋x2b2＝1.将点M(1,2)代入椭圆方程得12b2＋4b2＝1或42b2＋1b2＝1，解得b2＝92或b2＝3.故所求椭圆方程为x29＋y292＝1或y26＋x23＝1.法二：设所求椭圆方程为x212＋y26＝k1(k10)或y212＋x26＝k2(k20)，将点M的坐标代入可得112＋46＝k1或412＋16＝k2，解得k1＝34，k2＝12，故x212＋y26＝34或y212＋x26＝12，即所求椭圆的标准方程为x29＋y292＝1或y26＋x23＝1.-5-利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是：1确定焦点位置；2设出相应椭圆的标准方程对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程；3根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程组求参数，列方程组时常用的关系式有b2＝a2－c2，e＝ca等.[跟进训练]2．若中心在原点，焦点在x轴上的椭圆的长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是()A．x281＋y272＝1B．x281＋y29＝1C．x281＋y245＝1D．x281＋y236＝1A[由2a＝18得a＝9，又a－c＝2c，则c＝3，b2＝a2－c2＝81－9＝72，∴椭圆方程为x281＋y272＝1.]求椭圆的离心率[探究问题]1．已知F是椭圆的左焦点，A，B分别是其在x轴正半轴和y轴正半轴上的顶点，P是椭圆上的一点，且PF⊥x轴，OP∥AB，怎样求椭圆的离心率？提示：由OP∥AB可知，kOP＝kAB，又A(a,0)，B(0，b)，P－c，b2a.故－ba＝－b2ac，即b＝c，∴a＝2c.∴e＝ca＝22.2．设A，B是椭圆C：x23＋y2m＝1长轴的两个端点，若P是曲线C上的动点，当P在何处时∠APB最大？若C上存在点P满足∠APB＝120°，如何求椭圆的离心率？-6-图1提示：当P位于短轴的端点处时，∠APB最大．如图1，要使存在P使得∠APB＝120°，只需∠APB≥120°，即∠APO≥60°，∴tan∠APO≥3，即3m≥3，∴0m≤1.此时由e＝1－b2a2＝1－m3可知e∈63，1．图2如图2，由题意可知m3≥3，∴m≥9，又m3，∴m≥9.由e＝1－b2a2＝1－3m可知e∈63，1.综上可知离心率e∈63，1.【例3】设椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为()A．36B．13C．12D．33[思路点拨]设|PF2|＝m，在Rt△PF1F2中，依题意可求得|PF1|，|F1F2|，进而求得离心率．D[设|PF2|＝m，结合条件可知|PF1|＝2m，|F1F2|＝3m，故离心率e＝ca＝2c2a＝|F1F2||PF1|＋|PF2|-7-＝3m2m＋m＝33.]1．(变条件)若将本例中“PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°”改为“∠PF2F1＝75°，∠PF1F2＝45°”，求C的离心率．[解]在△PF1F2中，∵∠PF1F2＝45°，∠PF2F1＝75°，∴∠F1PF2＝60°，设|PF1|＝m，|PF2|＝n，|F1F2|＝2c，椭圆的长轴长为2a，则在△PF1F2中，有msin75°＝nsin45°＝2csin60°，∴m＋nsin75°＋sin45°＝2csin60°，∴e＝ca＝2c2a＝sin60°sin75°＋sin45°＝6－22.2．(变条件，变设问)若将本例中“PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°”改为“C上存在点P，使∠F1PF2为钝角”，求C的离心率的取值范围．[解]由题意，知cb，∴c2b2.又b2＝a2－c2，∴c2a2－c2，即2c2a2.∴e2＝c2a212，∴e22.故C的离心率的取值范围为22，1.求椭圆离心率的值或范围的两种方法(1)直接法：若已知a，c的值，可直接利用公式e＝ca求解；若已知a，b或b，c的值，可借助于a2＝b2＋c2求出c，a的值，再代入公式e＝ca求解．(2)方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于c，a的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或范围．-8-1．已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式，应先化成标准形式．2．根据椭圆的几何性质，可以求椭圆的标准方程，其基本思路是“先定型，再定量”，常用的方法是待定系数法．在椭圆的基本量中，能确定类型的量有焦点、顶点，而不能确定类型的量有长轴长、短轴长、离心率、焦距．3．求椭圆的离心率要注意函数与方程的思想、数形结合思想的应用．1．判断正误(1)椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab)的长轴长为a，短轴长为b.()(2)椭圆的离心率越大，则椭圆越接近于圆．()(3)若一个矩形的四个顶点都在椭圆上，则这四个顶点关于椭圆的中心对称．()[答案](1)×(2)×(3)√2．椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(－10,0)，则焦点坐标为()A．(±13,0)B．(0，±10)C．(0，±13)D．(0，±69)D[由题意可知a＝13，b＝10，∴c＝69，又焦点在y轴上，故选D．]3．如图，直线l：x－2y＋2＝0过椭圆的左焦点F1和一个顶点B，该椭圆的离心率为()A．15B．25C．55D．255D[由题意可知F1(－2,0)，B(0,1)，即c＝2，b＝1，∴a2＝b2＋c2＝5，∴e＝ca＝25＝255，故选D．]4．椭圆y2a2＋x2b2＝1(ab0)的两焦点为F1(0，－c)，F2(0，c)(c0)，离心率e＝32，焦点到椭圆上点的最短距离为2－3，求椭圆的方程．-9-[解]由题意知ca＝32，a－c＝2－3，解得a＝2，c＝3，所以b2＝a2－c2＝1，所以所求椭圆的方程为y24＋x2＝1.