20202021学年高中数学第2章圆锥曲线与方程22221双曲线及其标准方程教师用书教案新人教A版选

-1-2.2双曲线2.2.1双曲线及其标准方程学习目标核心素养1．理解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程．(重点)2.掌握双曲线的标准方程及其求法．(重点)3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题．(难点)1．通过双曲线的学习，培养学生直观想象的素养.2.借助双曲线标准方程的推导，提升数学运算的素养.1．双曲线的定义把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．思考：(1)双曲线定义中，将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“大于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？(2)双曲线的定义中，若|MF1|－|MF2|＝2a(常数)，且2a|F1F2|，则点M的轨迹是什么？[提示](1)当距离之差的绝对值等于|F1F2|时，动点的轨迹是两条射线，端点分别是F1，F2，当距离之差的绝对值大于|F1F2|时，动点的轨迹不存在．(2)点M在双曲线的右支上．2．双曲线的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)焦点F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)a，b，c的关系c2＝a2＋b21．已知动点P到点M(1,0)及点N(3,0)的距离之差为2，则点P的轨迹是()A．双曲线B．双曲线的一支C．两条射线D．一条射线D[∵|PM|－|PN|＝2＝|MN|，∴点P在线段MN的延长线上，即点P的轨迹是一条射线．]-2-2．双曲线x210－y22＝1的焦距为()A．32B．42C．33D．43D[c2＝10＋2＝12，所以c＝23，从而焦距为43.]3．已知双曲线的a＝5，c＝7，则该双曲线的标准方程为()A．x225－y224＝1B．y225－x224＝1C．x225－y224＝1或y225－x224＝1D．x225－y224＝0或y225－x224＝0C[b2＝c2－a2＝72－52＝24，故选C．]对双曲线标准方程的理解【例1】已知曲线方程x2m－1－y2m2－4＝1.(1)若方程表示双曲线，求实数m的取值范围；(2)若方程表示焦点在y轴上的双曲线，求实数m的取值范围；(3)若方程表示椭圆，求实数m的取值范围．[解](1)依题意有(m－1)(m2－4)0，即(m－1)(m＋2)(m－2)0，解得－2m1或m2.(2)依题意有m2－40，m－10，解得－2m1.(3)依题意有m2－40，m－10，解得1m2.给出方程x2m－y2n＝1，则该方程：1表示双曲线的条件是mn0；2表示焦点在x轴上的双曲线的条件是m0，n0；3表示焦点在y轴上的双曲线的条件是m0，n0；4表示椭圆的条件是m0，n0.[跟进训练]-3-1．(1)已知双曲线x2a－3＋y22－a＝1，焦点在y轴上，若焦距为4，则a等于()A．32B．5C．7D．12(2)在方程mx2－my2＝n中，若mn0，则方程所表示的曲线是()A．焦点在x轴上的椭圆B．焦点在x轴上的双曲线C．焦点在y轴上的双曲线D．焦点在y轴上的椭圆(1)D(2)C[(1)根据题意可知，双曲线的标准方程为y22－a－x23－a＝1.由其焦距为4，得c＝2，则有c2＝2－a＋3－a＝4，解得a＝12.(2)方程mx2－my2＝n可化为x2nm－y2nm＝1.由mn0知nm0，故方程所表示的曲线是焦点在y轴上的双曲线．]求双曲线的标准方程【例2】根据下列条件求双曲线的标准方程．(1)求以椭圆x216＋y29＝1的短轴的两个端点为焦点，且过点A(4，－5)的双曲线的标准方程；(2)已知双曲线经过M(1,1)，N(－2,5)两点，求双曲线的标准方程．[思路点拨]用待定系数法，根据双曲线焦点的位置设方程，根据条件确定参数．当已知双曲线的两个焦点和双曲线上某一点，也可利用双曲线的定义求解．[解](1)法一(待定系数法)由题意知双曲线的两焦点F1(0，－3)，F2(0,3)．设双曲线的标准方程为y2a2－x2b2＝1(a0，b0)，将点A(4，－5)代入双曲线方程得25a2－16b2＝1，又a2＋b2＝9，解得a2＝5，b2＝4.∴双曲线的标准方程为y25－x24＝1.法二(定义法)由题意知双曲线的两个焦点分别为F1(0，－3)，F2(0,3)且A(4，－5)在双曲线上，则2a＝||AF1|－|AF2||＝|20－80|＝25，∴a＝5，∴b2＝c2－a2＝9－5＝4.即双曲线的标准方程为y25－x24＝1.-4-(2)法一若焦点在x轴上，设双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)．因为M(1,1)，N(－2,5)在双曲线上，所以1a2－1b2＝1，－22a2－52b2＝1，解得a2＝78，b2＝7.若焦点在y轴上，设双曲线的标准方程为y2a2－x2b2＝1(a0，b0)．同理有1a2－1b2＝1，52a2－－22b2＝1，解得a2＝－7，b2＝－78(不合题意，舍去)．所以所求双曲线的标准方程为x278－y27＝1.法二设所求双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(mn0)．将点M(1,1)，N(－2,5)代入上述方程，得m＋n＝1，4m＋25n＝1，解得m＝87，n＝－17.所以所求双曲线的标准方程为x278－y27＝1.1．求双曲线标准方程的步骤(1)确定双曲线的类型，并设出标准方程；(2)求出a2，b2的值．2．当双曲线的焦点所在坐标轴不确定时，需分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论，特别地，当已知双曲线经过两个点时，可设双曲线方程为Ax2＋By2＝1(AB0)来求解．[跟进训练]2．(1)与椭圆x24＋y2＝1共焦点且过点P(2,1)的双曲线方程是()A．x24－y2＝1B．x23－y2＝1-5-C．x22－y2＝1D．x2－y22＝1(2)已知双曲线中心在坐标原点且一个焦点为F1(－5，0)，点P位于该双曲线上，线段PF1的中点坐标为(0,2)，则该双曲线的方程是()A．x24－y2＝1B．x2－y24＝1C．x22－y23＝1D．x23－y22＝1(1)C(2)B[(1)设所求双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)，由题意得4a2－1b2＝1，c2＝a2＋b2＝3，解得a2＝2，b2＝1，所以所求双曲线方程为x22－y2＝1.(2)由双曲线的焦点可知c＝5，线段PF1的中点坐标为(0,2)，所以设右焦点为F2，则有PF2⊥x轴，且PF2＝4，点P在双曲线右支上．所以PF1＝252＋42＝36＝6，所以PF1－PF2＝6－4＝2＝2a，所以a＝1，b2＝c2－a2＝4，所以双曲线的方程为x2－y24＝1，选B．]双曲线定义的应用[探究问题]1．到两定点F1，F2的距离之差是常数(小于|F1F2|)的点的轨迹是双曲线的两支还是一支？提示：一支．2．若P点是双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)上的一动点，F1，F2为其左、右焦点，设∠F1PF2＝α，则S△F1PF2如何用α表示？提示：S△F1PF2＝b2tanα2(可借助双曲线的定义及余弦定理推导)．【例3】(1)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为________．(2)已知F1，F2分别是双曲线x29－y216＝1的左、右焦点，若P是双曲线左支上的点，且|PF1|·|PF2|＝32.试求△F1PF2的面积．[思路点拨](1)由两圆外切得等量关系⇒双曲线定义⇒轨迹方程．(2)双曲线的定义及余弦定理⇒∠F1PF2⇒面积公式求S△F1PF2.(1)x2－y28＝1(x≤－1)-6-[如图，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和B，根据两圆外切的条件得|MC1|－|AC1|＝|MA|，|MC2|－|BC2|＝|MB|.因为|MA|＝|MB|，所以|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，即|MC2|－|MC1|＝2，这表明动点M与两定点C2，C1的距离的差是常数2.根据双曲线的定义，动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)，这里a＝1，c＝3，则b2＝8，∴动圆圆心M的轨迹方程为x2－y28＝1(x≤－1)．](2)[解]因为P是双曲线左支上的点，所以|PF2|－|PF1|＝6，两边平方得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36，所以|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2|＝36＋2×32＝100.在△F1PF2中，由余弦定理，得cos∠F1PF2＝|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|22|PF1|·|PF2|＝100－1002|PF1|·|PF2|＝0，所以∠F1PF2＝90°，所以S△F1PF2＝12|PF1|·|PF2|＝12×32＝16.把本例(2)的条件“|PF1||PF2|＝32”换成“∠F1PF2＝60°”，求S△F1PF2.[解]由x29－y216＝1得，a＝3，b＝4，c＝5.由双曲线的定义和余弦定理得|PF2|－|PF1|＝6，|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos60°，所以102＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，所以|PF1|·|PF2|＝64，所以S△F1PF2＝12|PF1|·|PF2|·sin∠F1PF2＝12×64×32＝163.1．求与双曲线有关的点的轨迹问题的方法(1)列出等量关系，化简得到方程．(2)寻找几何关系，由双曲线的定义，得出对应的方程．提醒：①双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴．②检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支．2．求双曲线中的焦点三角形△PF1F2面积的方法-7-(1)①根据双曲线的定义求出||PF1|－|PF2||＝2a；②利用余弦定理表示出|PF1|、|PF2|、|F1F2|之间满足的关系式；③通过配方，利用整体的思想方法求出|PF1|·|PF2|的值；④利用公式S△PF1F2＝12×|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2求得面积．(2)利用公式S△PF1F2＝12×|F1F2|×|yP|求得面积．1．双曲线定义中||PF1|－|PF2||＝2a(2a|F1F2|)不要漏了绝对值符号，当2a＝|F1F2|时表示两条射线．2．在双曲线的标准方程中，ab不一定成立．要注意与椭圆中a，b，c的区别．在椭圆中a2＝b2＋c2，在双曲线中c2＝a2＋b2.3．用待定系数法求双曲线的标准方程时，要先判断焦点所在的位置，设出标准方程后，由条件列出关于a，b，c的方程组．如果焦点不确定要分类讨论，采用待定系数法求方程或用形如mx2＋ny2＝1(mn0)的形式求解．1．判断正误(1)在双曲线标准方程中，a，b，c之间的关系与椭圆中a，b，c之间的关系相同．()(2)点A(1,0)，B(－1,0)，若|AC|－|BC|＝2，则点C的轨迹是双曲线．()(3)在双曲线标准方程x2a2－y2b2＝1中，a＞0，b＞0，且a≠b.()[答案](1)×(2)×(3)×2．设双曲线x2－y28＝1的两个焦点分别为F1，F2，P是双曲线上的一点，且|PF1|∶|PF2|＝3∶4，则△PF1F2的面积等于()A．103B．83C．85D．165C[设|PF1|＝3t，则|PF2|＝4t，|PF2|－|PF1|＝t＝2a＝2，所以t＝2，所以|PF1|＝6，|PF2|＝8，|F1F2|＝2c＝2a2＋b2＝6＝|PF1|，所以F1到PF2的距离为62－42＝25，所以S△PF1F2＝12×8×25＝85.]-8-3．若双曲线E：x29－y216＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|＝3，则|PF2|等于()A．11B．9C．