20202021学年高中数学第2章圆锥曲线与方程阶段综合提升第1课圆锥曲线与方程教师用书教案新人教A

-1-第一课圆锥曲线与方程[巩固层·知识整合][提升层·题型探究]圆锥曲线的定义及标准方程【例1】(1)已知P为抛物线y＝12x2上的动点，点P在x轴上的射影为Q，A6，172，则|PA|＋|PQ|的最小值是()A．152B．172C．192D．10(2)已知椭圆x24＋y23＝1的左焦点为F，直线x＝m与椭圆交于点A，B，当△FAB的周长最大时，△FAB的面积是________．(1)C(2)3[(1)抛物线的准线方程为y＝－12.设抛物线的焦点为F，则F0，12.根据抛物线的定义可得|PQ|＝|PF|－12，所以|PA|＋|PQ|＝|PF|＋|PA|－12.所以|PA|＋|PQ|的最小值为|FA|－12＝192.(2)如图，设椭圆的右焦点为E，连接AE，BE.由椭圆的定义得，△FAB的周长为|AB|＋|AF|＋|BF|＝|AB|＋(2a－|AE|)＋(2a－|BE|)＝4a＋|AB|－|AE|－|BE|.∵|AE|＋|BE|≥|AB|，∴|AB|－|AE|－|BE|≤0，∴|AB|＋|AF|＋|BF|＝4a＋|AB|－|AE|－|BE|≤4a.当直线AB过点E时取等号，此时直线x＝m＝c＝1，把x＝1代入椭圆x24＋y23＝1得y＝±32，∴|AB|＝3.∴当△FAB的周长最大时，△FAB的面积是12×3×|EF|＝12×3×2＝3.]-2-“回归定义”解题的三点应用应用一：在求轨迹方程时，若所求轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据圆锥曲线的定义，写出所求的轨迹方程；应用二：涉及椭圆、双曲线上的点与两个定点构成的三角形问题时，常用定义结合解三角形的知识来解决；应用三：在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离，结合几何图形，利用几何意义去解决．提醒：应用定义解题时注意圆锥曲线定义中的限制条件．[跟进训练]1．(1)已知动点M的坐标满足方程5x2＋y2＝|3x＋4y－12|，则动点M的轨迹是()A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．以上都不对(2)若双曲线x2a2－y2b2＝1的两个焦点为F1，F2，|F1F2|＝10，P为双曲线上一点，|PF1|＝2|PF2|，PF1⊥PF2，求此双曲线的方程．(1)C[(1)把轨迹方程5x2＋y2＝|3x＋4y－12|写成x2＋y2＝|3x＋4y－12|5.∴动点M到原点的距离与它到直线3x＋4y－12＝0的距离相等．∴点M的轨迹是以原点为焦点，直线3x＋4y－12＝0为准线的抛物线．](2)[解]∵|F1F2|＝10，∴2c＝10，c＝5.又∵|PF1|－|PF2|＝2a，且|PF1|＝2|PF2|，∴|PF2|＝2a，|PF1|＝4a.在Rt△PF1F2中，|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2，∴4a2＋16a2＝100.∴a2＝5.则b2＝c2－a2＝20.故所求的双曲线方程为x25－y220＝1.圆锥曲线的几何性质【例2】(1)已知ab0，椭圆C1的方程为x2a2＋y2b2＝1，双曲线C2的方程为x2a2－y2b2＝1，C1与C2的离心率之积为32，则C2的渐近线方程为()A．x±2y＝0B．2x±y＝0C．x±2y＝0D．2x±y＝0-3-(2)已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左顶点为A，上顶点为B，右焦点为F.设线段AB的中点为M，若2MA→·MF→＋BF→2≥0，则该椭圆的离心率的取值范围为()A．(0，3－1]B．0，32C．0，12D．[0，2－1](1)A(2)A[(1)椭圆C1的离心率e1＝a2－b2a，双曲线C2的离心率e2＝a2＋b2a.由e1e2＝a2－b2a·a2＋b2a＝1－ba2·1＋ba2＝32，解得ba2＝12，所以ba＝22，所以双曲线C2的渐近线方程是y＝±22x，即x±2y＝0.(2)因为A(－a,0)，B(0，b)，M－a2，b2，F(c,0)，所以MA→＝－a2，－b2，MF→＝c＋a2，－b2，BF→＝(c，－b)，又2MA→·MF→＋BF→2≥0，所以2a2－2ac－c2≥0，即e2＋2e－2≤0，结合0e1得0e≤3－1.]求解离心率的三种方法定义法由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在x轴上还是y轴上都有关系式a2－b2＝c2(a2＋b2＝c2)以及e＝ca，已知其中的任意两个参数，可以求其他的参数，这是基本且常用的方法方程法建立参数a与c之间的齐次关系式，从而求出其离心率，这是求离心率的十分重要的思路及方法几何法求与过焦点的三角形有关的离心率问题，根据平面几何性质以及椭圆(双曲线)的定义、几何性质，建立参数之间的关系，通过画出图形，观察线段之间的关系，使问题更形象、直观[跟进训练]2．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)与抛物线y2＝2px(p0)有相同的焦点F，P，Q是椭圆与抛物线的交点，若PQ经过焦点F，则椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的离心率为________．-4-2－1[因为抛物线y2＝2px(p0)的焦点F为p2，0，设椭圆另一焦点为E.当x＝p2时代入抛物线方程得y＝±p，又因为PQ经过焦点F，所以Pp2，p且PF⊥OF.所以|PE|＝p2＋p22＋p2＝2p，|PF|＝p，|EF|＝p.故2a＝2p＋p,2c＝p，e＝2c2a＝2－1.]直线与圆锥曲线的综合问题[探究问题]1．若两条直线的斜率存在且倾斜角互补时，两条直线的斜率有什么关系？提示：两条直线的斜率互为相反数．2．直线系kx－y＋k－1＝0有何特点(k∈R)?提示：过定点(－1，－1)．【例3】已知椭圆的一个顶点为A(0，－1)，焦点在x轴上，若右焦点到直线x－y＋22＝0的距离为3.(1)求椭圆的方程；(2)设椭圆与直线y＝kx＋m(k≠0)相交于不同的两点M，N，当|AM|＝|AN|时，求m的取值范围．[思路点拨]设椭圆方程x2a2＋y2＝1a1―→求a―→联立y＝kx＋mx2a2＋y2＝1消去y――→Δ0根与系数的关系――――→|AM|＝|AN|建立m与k的等量关系――→k的范围求m的范围[解](1)依题意可设椭圆方程为x2a2＋y2＝1(a1)，则右焦点F(a2－1，0)，由题设，知|a2－1＋22|2＝3，-5-解得a2＝3，故所求椭圆的方程为x23＋y2＝1.(2)设点P为弦MN的中点，由y＝kx＋m，x23＋y2＝1，得(3k2＋1)x2＋6mkx＋3(m2－1)＝0，由于直线与椭圆有两个交点，所以Δ0，即m23k2＋1，①所以xP＝xM＋xN2＝－3mk3k2＋1，从而yP＝kxP＋m＝m3k2＋1，所以kAP＝yP＋1xP＝－m＋3k2＋13mk，又|AM|＝|AN|，所以AP⊥MN，则－m＋3k2＋13mk＝－1k，即2m＝3k2＋1，②把②代入①得2mm2，解得0m2，由②得k2＝2m－130，解得m12，故所求m的取值范围是12，2.解决圆锥曲线中的参数范围问题与求最值问题类似，一般有两种方法：1函数法：用其他变量表示该参数，建立函数关系，利用求函数值域的方法求解.2不等式法：根据题意建立含参数的不等关系式，通过解不等式求参数范围.[跟进训练]3.如图所示，已知直线y＝2x＋k被抛物线x2＝4y截得的弦长AB为20，O为坐标原点．(1)求实数k的值；(2)点C位于抛物线上一段曲线AOB的何处时，△ABC的面积最大？-6-[解](1)将y＝2x＋k代入x2＝4y得x2－8x－4k＝0，由Δ＝64＋16k0，得k－4，|AB|＝5×64＋16k＝20，解得k＝1，满足条件，故k＝1.(2)当k＝1时，直线为y＝2x＋1，由数形结合，知当过C点的直线与y＝2x＋1平行，且与抛物线相切时，C到AB的距离最大，此时△ABC面积最大．设此时过C点的直线为y＝2x＋m，由y＝2x＋m，x2＝4y，得x2－8x－4m＝0，所以Δ＝64＋16m＝0，m＝－4，所以xC＝4，yC＝4，即点C位于(4,4)处时，△ABC的面积最大．