20202021学年高中数学第3章导数及其应用33333函数的最大小值与导数教师用书教案新人教A版选

-1-3.3.3函数的最大(小)值与导数学习目标核心素养1．能够区分极值与最值两个不同的概念．(易混点)2．掌握在闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)的求法．(重点)3．能根据函数的最值求参数的值．(难点)1．通过学习导数与最值的关系，培养学生数学直观的素养．2．借助函数最值的求法，提升逻辑推理和数学运算的素养.1．函数f(x)在区间[a，b]上的最值如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，则该函数在[a，b]上一定能够取得最大值和最小值，并且函数的最值必在极值点或区间端点取得．思考：若函数f(x)在区间[a，b]上只有一个极大值点x0，则f(x0)是函数f(x)在区间[a，b]上的最大值吗？[提示]根据极大值和最大值的定义知，f(x0)是函数f(x)在区间[a，b]上的最大值．2．求函数y＝f(x)在[a，b]上的最值的步骤(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值．(2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．1．下列说法正确的是()A．函数的极大值就是函数的最大值B．函数的极小值就是函数的最小值C．函数的最值一定是极值D．在闭区间上的连续函数一定存在最值D[极值有可能是最值，但最值未必是极值，故选D．]2．函数y＝x－sinx，x∈π2，π的最大值是()A．π－1B．π2－1C．πD．π＋1C[y′＝1－cosx0，故函数y＝x－sinx，x∈π2，π是增函数，因此当x＝π时，函数有最大值，且ymax＝π－sinπ＝π.]3．函数f(x)＝x3－3x2＋2在区间[－1,1]上的最大值是()-2-A．－2B．0C．2D．4C[f′(x)＝3x2－6x，令f′(x)＝0得x＝0或x＝2.由f(－1)＝－2，f(0)＝2，f(1)＝0得f(x)max＝f(0)＝2.]求函数的最值【例1】求下列各函数的最值．(1)f(x)＝2x3－3x2－12x＋5，x∈[－2,1]；(2)f(x)＝ex(3－x2)，x∈[2,5]．[解](1)f′(x)＝6x2－6x－12，令f′(x)＝0得x＝－1或x＝2，又x∈[－2,1]，故x＝－1，且f(－1)＝12.又因为f(－2)＝1，f(1)＝－8，所以，当x＝－1时，f(x)取最大值12；当x＝1时，f(x)取最小值－8.(2)∵f(x)＝3ex－exx2，∴f′(x)＝3ex－(exx2＋2exx)＝－ex(x2＋2x－3)＝－ex(x＋3)(x－1)．∵在区间[2,5]上，f′(x)＝－ex(x＋3)(x－1)＜0，即函数f(x)在区间[2,5]上单调递减，∴x＝2时，函数f(x)取得最大值f(2)＝－e2；x＝5时，函数f(x)取得最小值f(5)＝－22e5.求函数在闭区间上最值的步骤1求f′x，解方程f′x＝0；2确定在闭区间上方程f′x＝0的根；3求极值、端点值，确定最值.[跟进训练]1．求函数f(x)＝12x＋sinx，x∈[0,2π]上的最大值和最小值．[解]f′(x)＝12＋cosx，令f′(x)＝0，且x∈[0,2π]，解得x＝2π3或x＝4π3.-3-当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x00，2π32π32π3，4π34π34π3，2π2πf′(x)＋0－0＋f(x)0↗极大值π3＋32↘极小值2π3－32↗π∴当x＝0时，f(x)有最小值，为f(0)＝0；当x＝2π时，f(x)有最大值，为f(2π)＝π.由函数的最值求参数【例2】已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1,2]的最大值为3，最小值为－29，求a，b的值．[解]由题设知a≠0，否则f(x)＝b为常函数，与题设矛盾．求导得f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)，令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4(舍去)．(1)当a0时，且x变化时f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x－1(－1,0)0(0,2)2f′(x)＋0－f(x)－7a＋b↗b↘－16a＋b由表可知，当x＝0时，f(x)取得极大值b，也就是函数在[－1,2]上的最大值，∴f(0)＝b＝3.又f(－1)＝－7a＋3，f(2)＝－16a＋3f(－1)，∴f(2)＝－16a＋3＝－29，解得a＝2.(2)当a0时，同理可得，当x＝0时，f(x)取得极小值b，也就是函数在[－1,2]上的最小值，∴f(0)＝b＝－29.又f(－1)＝－7a－29，f(2)＝－16a－29f(－1)，∴f(2)＝－16a－29＝3，解得a＝－2.综上可得，a＝2，b＝3或a＝－2，b＝－29.已知函数最值求参数值范围的思路已知函数在某区间上的最值求参数的值范围是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，用参数表示出最值后求参数的值或范围.[跟进训练]-4-2．设23a1，函数f(x)＝x3－32ax2＋b(－1≤x≤1)的最大值为1，最小值为－62，求a，b的值．[解]令f′(x)＝3x2－3ax＝0，得x1＝0，x2＝a.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x－1(－1,0)0(0，a)a(a,1)1f′(x)＋0－0＋f(x)－1－32a＋b↗b↘－a32＋b↗1－32a＋b由表可知，f(x)的极大值为f(0)＝b，极小值为f(a)＝b－a32，而f(0)f(a)，f(1)f(－1)，故需比较f(0)与f(1)及f(－1)与f(a)的大小．因为f(0)－f(1)＝32a－10，所以f(x)的最大值为f(0)＝b＝1.又f(－1)－f(a)＝12(a＋1)2(a－2)0，所以f(x)的最小值为f(－1)＝－1－32a＋b＝－32a，所以－32a＝－62，a＝63.所以a＝63，b＝1.与最值有关的恒成立问题[探究问题]1．对于函数y＝f(x)，x∈[a，b]，若f(x)≥c或f(x)≤c恒成立，则c满足的条件是什么？提示：c≤f(x)min或c≥f(x)max.2．对于函数y＝f(x)，x∈[a，b]，若存在x0∈[a，b]，使得f(x)≥c或f(x)≤c成立，则c满足的条件是什么？提示：c≤f(x)max或c≥f(x)min.【例3】设函数f(x)＝tx2＋2t2x＋t－1(x∈R，t0)．(1)求f(x)的最小值h(t)；(2)若h(t)－2t＋m对t∈(0,2)恒成立，求实数m的取值范围．[思路点拨](1)利用配方法，即可求出二次函数f(x)的最小值h(t)；(2)构造函数g(t)＝h(t)－(－2t＋m)，只需使g(t)在(0,2)上的最大值小于零即可求得m的取-5-值范围．[解](1)∵f(x)＝t(x＋t)2－t3＋t－1(x∈R，t0)，∴当x＝－t时，f(x)取最小值f(－t)＝－t3＋t－1，即h(t)＝－t3＋t－1.(2)令g(t)＝h(t)－(－2t＋m)＝－t3＋3t－1－m，由g′(t)＝－3t2＋3＝0，得t＝1或t＝－1(不合题意，舍去)．当t变化时，g′(t)，g(t)的变化情况如下表：t(0,1)1(1,2)g′(t)＋0－g(t)↗极大值1－m↘∴g(t)在(0,2)内有最大值g(1)＝1－m.h(t)－2t＋m在(0,2)内恒成立等价于g(t)0在(0,2)内恒成立，即等价于1－m0.∴m的取值范围为(1，＋∞)．(变条件)若将本例(2)的条件改为“存在t∈[0,2]，使h(t)－2t＋m成立”，则实数m的取值范围如何求解？[解]令g(t)＝h(t)－(－2t＋m)＝－t3＋3t－1－m，由g′(t)＝－3t2＋3＝0，得t＝1或t＝－1(不合题意，舍去)．当t变化时，g′(t)，g(t)的变化情况如下表：t0(0,1)1(1,2)2g′(t)＋0－g(t)－1－m↗极大值1－m↘－3－m∴g(t)在[0,2]上有最小值g(2)＝－3－m，存在t∈[0,2]，使h(t)－2t＋m成立，等价于g(t)的最小值g(2)0.∴－3－m0，∴m－3，所以实数m的取值范围为(－3，＋∞)．分离参数求解不等式恒成立问题-6-1．求函数在闭区间上的最值，只需比较极值和端点处的函数值即可；若函数在一个开区间内只有一个极值，则这个极值就是最值．2．已知最值求参数时，可先确定参数的值，用参数表示最值时，应分类讨论．3．“恒成立”问题可转化为函数最值问题．1．判断正误(1)函数的最大值一定是函数的极大值．()(2)开区间上的单调连续函数无最值．()(3)函数f(x)在区间[a，b]上的最大值和最小值一定在两个端点处取得．()[答案](1)×(2)√(3)×2．函数y＝lnxx的最大值为()A．e－1B．eC．e2D．103A[函数y＝lnxx的定义域为(0，＋∞)．y′＝1－lnxx2，由1－lnxx2＝0得x＝e，当0xe时，y′0，当xe时，y′0.因此当x＝e时，函数y＝lnxx有最大值，且ymax＝1e＝e－1.]3．若函数f(x)＝x3－3x－a在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为M，N，则M－N的值为()-7-A．2B．4C．18D．20D[f′(x)＝3x2－3，令f′(x)＝0得x＝±1.当0≤x1时，f′(x)0；当1x≤3时，f′(x)0.则f(1)最小，又f(0)＝－a，f(3)＝18－a，f(3)f(0)，所以最大值为f(3)，即M＝f(3)，N＝f(1)，所以M－N＝f(3)－f(1)＝(18－a)－(－2－a)＝20.]4．设函数f(x)＝12x2ex，x∈[－2,2]，若f(x)m恒成立，求实数m的取值范围．[解]f′(x)＝xex＋12x2ex＝ex2x(x＋2)，由f′(x)＝0得x＝－2或x＝0.当x∈[－2,2]时，f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表：x－2(－2,0)0(0,2)2f′(x)0－0＋f(x)2e2↘0↗2e2当x＝0时，f(x)min＝f(0)＝0，要使f(x)m对x∈[－2,2]恒成立，只需mf(x)min，∴m0，即实数m的取值范围为(－∞，0)．