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-1-1．1命题及其关系1．1．1命题学习目标核心素养1．了解命题的概念．(难点)2．理解命题的构成形式，能将命题改写为“若p，则q”的形式．(重点)3．能判断一些简单命题的真假．(难点、易错点)1．通过命题的概念及其构成形式的学习，培养学生的数学抽象核心素养．2．通过命题的真假判断，培养学生的逻辑推理核心素养．1．命题的概念与分类(1)命题的概念：在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．(2)命题定义中的两个要点：“可以判断真假”和“陈述句”．我们学习过的定理、推论都是命题．(3)分类命题真命题：判断为真的语句.假命题：判断为假的语句.思考1：(1)“x－1＝0”是命题吗？(2)“命题一定是陈述句，但陈述句不一定是命题”这个说法正确吗？[提示](1)“x－1＝0”不是命题，因为它不能判断真假．(2)正确．根据命题的定义，命题一定是陈述句，但陈述句中只有能够判断真假的才是命题．2．命题的结构(1)命题的一般形式为“若p，则q”．其中p叫做命题的条件，q叫做命题的结论．(2)确定命题的条件和结论时，常把命题改写成“若p，则q”的形式．思考2：(1)如何确定命题的条件与结论？(2)语句“x≥0”是真命题吗？[提示](1)命题中已知的事项为条件，由已知推出的事项为结论．(2)不是，由于不知道x的范围，所以无法判断真假．-2-1．下列语句是命题的是()①三角形内角和等于180°；②23；③一个数不是正数就是负数；④x2；⑤2020央视鼠年春晚真精彩啊！A．①②③B．①③④C．①②⑤D．②③⑤A[①②③是陈述句，且能判断真假，因此是命题，④不能判断真假，⑤是感叹句，故④⑤不是命题．]2．下列命题中，真命题共有()①面积相等的三角形是全等三角形；②若xy＝0，则|x|＋|y|＝0；③若ab，则a＋cb＋c；④矩形的对角线互相垂直．A．1个B．2个C．3个D．4个A[①②④是假命题，③是真命题．]3．命题“不等式x＋1x－2＜0与(x＋1)(x－2)＜0同解”是________命题．(填“真”或“假”)真[不等式x＋1x－2＜0与(x＋1)(x－2)＜0的解集都是{x|－1＜x＜2}，所以是真命题．]4．命题“偶函数的图象关于y轴对称”的条件p是________，结论q是________，是________命题．(填“真”或“假”)[答案]若一个函数是偶函数函数的图象关于y轴对称真命题的判断【例1】(1)下列语句为命题的是()A．x2－1＝0B．2＋3＝8C．你会说英语吗？D．这是一棵大树(2)下列语句为命题的有________．(填序号)①x∈R，x2；②梯形是不是平面图形呢？③22018是一个很大的数；④4是集合{2,3,4}中的元素；⑤作△ABC≌△A′B′C′．(1)B(2)①④[(1)A中x不确定，x2－1＝0的真假无法判断；B中2＋3＝8是命题，且是假命题；C不是陈述句，故不是命题；D中“大”的标准不确定，无法判断真假．(2)①中x有范围，可以判断真假，因此是命题；②是疑问句，不是命题；③是陈述句，-3-但“大”的标准不确定，无法判断真假，因此不是命题；④是陈述句且能判断真假，因此是命题；⑤是祈使句，不是命题．]判断一个语句是否是命题的两个关键点1命题是可以判断真假的陈述句，因此，疑问句、祈使句、感叹句等都不是命题．2对于含变量的语句，要注意根据变量的取值范围，看能否判断其真假，若能，就是命题；若不能，就不是命题．提醒：若语句中含有变量，但变量没有给出范围，则该语句不是命题．[跟进训练]1．判断下列语句是不是命题，并说明理由．(1)三角形的三个内角的和等于360°；(2)a＋b＝4；(3)2016年奥运会的举办城市是巴西的里约热内卢；(4)这是一棵大树；(5)你是高二的学生吗？(6)求证：2是无理数；(7)并非所有的人都喜欢数学；(8)x2＋10．[解](1)这是陈述句，且可以判断真假，因此是命题．(2)由于变量a，b的值不确定，无法判断其真假，因此不是命题．(3)这是陈述句，且可以判断真假，因此是命题．(4)“大树”的标准不确定，无法判断其真假，因此不是命题．(5)这是疑问句，不是命题．(6)这是祈使句，不是命题．(7)可以判断为真，人群中有的人喜欢数学，也存在着不喜欢数学的人，因此是命题．(8)虽然变量x的值不确定，但可以判断其真假，因此是命题．命题的构成【例2】(1)命题“周长相等的三角形面积相等”的条件为________，结论为________．(2)把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．①函数y＝lgx是单调函数；②已知x，y为正整数，当y＝x＋1时，y＝3，x＝2；③当abc＝0时，a＝0且b＝0且c＝0．-4-思路探究：解决此类题目的关键是找到命题的条件和结论，然后用适当的形式改写成“若p，则q的形式”．(1)两个三角形周长相等这两个三角形面积相等[命题“周长相等的三角形面积相等”的条件是“两个三角形周长相等”，结论是“这两个三角形面积相等”，所以命题可以写成“若两个三角形周长相等，则这两个三角形面积相等”．](2)解：①若函数是对数函数y＝lgx，则这个函数是单调函数，真命题；②已知x，y为正整数，若y＝x＋1，则y＝3，x＝2，假命题；③若abc＝0，则a＝0且b＝0且c＝0，假命题．1．若一个命题有大前提，则在将其改写成“若p，则q”的形式时，大前提仍应作为大前提，不能写在条件中，如本例(2)②．2．“若p，则q”这种形式是数学中命题的基本结构形式，也有一些命题的叙述比较简洁，并不是以“若p，则q”这种形式给出的，这时，首先要把这个命题补充完整，然后确定命题的条件和结论．[跟进训练]2．把下列命题改写成“若p，则q”的形式．(1)各位数数字之和能被9整除的整数，可以被9整除；(2)斜率相等的两条直线平行；(3)能被6整除的数既能被3整除也能被2整除；(4)钝角的余弦值是负数．[解](1)若一个整数的各位数数字之和能被9整除，则这个整数可以被9整除．(2)若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行．(3)若一个数能被6整除，则它既能被3整除也能被2整除．(4)若一个角是钝角，则这个角的余弦值是负数．命题的真假判断[探究问题]1．如何判断一个命题是真命题？[提示]根据命题的条件，利用定义、定理、性质论证命题的正确性．2．如何判断一个命题是假命题？[提示]举出一个反例即可．【例3】(1)下列命题是真命题的是()A．已知a，b，c，d∈R，若a≠c或b≠d，则a＋b≠c＋d-5-B．若m1，则方程x2－2x＋m＝0无实数根C．空集是任何集合的真子集D．垂直于同一个平面的两个平面互相平行(2)给出下列几个命题：①垂直于同一直线的两条直线互相平行；②垂直于同一直线的两个平面互相平行；③若直线l1，l2与同一平面所成的角相等，则l1，l2互相平行；④若直线l1，l2是异面直线，则与l1，l2都相交的两条直线是异面直线．其中假命题的个数是()A．1B．2C．3D．4(3)下列命题：①若ac2bc2，则ab；②若sinA＝sinB，则A＝B；③若f(x)＝log2x，则f(|x|)是偶函数．其中真命题的序号是________．思路探究：(1)B(2)C(3)①③[(1)A．假命题．反例：1≠4或5≠2，而1＋5＝4＋2．B．真命题．因为m1⇒Δ＝4－4m0⇒方程x2－2x＋m＝0无实数根．C．假命题．空集是任何非空集合的真子集．D．假命题．反例：有可能互相垂直，如墙角．(2)①是假命题，垂直于同一条直线的两条直线也可能垂直、异面；②是真命题；③是假命题，若直线l1，l2与同一平面所成的角相等，则l1，l2相交、平行或异面；④是假命题，若直线l1，l2是异面直线，则与l1，l2都相交的两条直线也可能相交．(3)①中，因为ac2bc2，所以c≠0，所以c20，所以ab，故①是真命题；②中，由三角函数的周期性可知，②是假命题；③中，因为f(x)＝log2x，所以f(|x|)＝log2|x|，是偶函数，故③是真命题．]1．(变结论)本例(2)中命题②变为“垂直于同一平面的两条直线互相平行”是真命题吗？[解]是真命题，依据线线平行的判定可知垂直于同一平面的两条直线互相平行．2．(变结论)本例(3)中命题②变为“在△ABC中，若sinA＝sinB，则A＝B”是真命题吗？[解]是真命题，在[0,2π]内，由sinA＝sinB可得A＝B或A＋B＝π，但是在△ABC中A-6-＋B＝π不成立，所以A＝B．1．由命题的概念可知，一个命题要么是真的，要么是假的，且必居其一．2．如果要判断一个命题为真命题，需要依据条件进行严格的推理论证，而要判断一个命题为假命题，只要举出一个反例即可．1．根据命题的定义，可以判断真假的陈述句是命题．命题的条件与结论之间属于因果关系，真命题需要给出证明，假命题只需举出一个反例即可．2．准确判断命题的条件与结论的关键是把命题改写为“若p，则q”形式．1．给出下列语句：①三角函数难道不是函数吗？②和为有理数的两个数均为有理数．③一条直线与一个平面不是平行就是相交．④作△A′B′C′≌△ABC．⑤这是一棵小树．⑥求证3是无理数．⑦二次函数的图象太美啦！⑧4是集合{1,2,3,4}中的元素．其中命题的个数为()A．3B．4C．6D．7A[命题是指可以判断真假的陈述句，所以②③⑧是命题；①是反问句，不是命题；④⑥是祈使句，不是命题；⑤“小树”没有界定标准，不能判断真假，不是命题；⑦是感叹句，不是命题．]2．命题“平行四边形的对角线既互相平分，也互相垂直”的结论是()A．这个四边形的对角线互相平分B．这个四边形的对角线互相垂直C．这个四边形的对角线既互相平分，也互相垂直D．这个四边形是平行四边形C[把命题改写成“若p，则q”的形式后可知C正确．故选C．]-7-3．下列命题是真命题的为()A．若ab，则1a1bB．若b2＝ac，则a，b，c成等比数列C．若|x|y，则x2y2D．若a＝b，则a＝bC[对于A，若a＝1，b＝－2，则1a1b，故A是假命题．对于B，当a＝b＝0时，满足b2＝ac，但a，b，c不是等比数列，故B是假命题．对于C，因为y|x|≥0，则x2y2是真命题．对于D，当a＝b＝－2时，a与b没有意义，故D是假命题．]4．命题“关于x的方程ax2＋2x＋1＝0有两个不等实数解”为真命题，则实数a的取值范围为________．(－∞，0)∪(0,1)[由题意知a≠0，Δ＝4－4a0，解得a1，且a≠0．]