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-1-1.3简单的逻辑联结词学习目标核心素养1．了解逻辑联结词“且”“或”“非”的意义．(重点)2．能够判断命题“p∧q”“p∨q”“p”的真假．(难点)3．会使用联结词“且”“或”“非”联结并改写成某些数学命题，会判断命题的真假．(易错点)1．通过对逻辑联结词“且”“或”“非”的意义的学习，培养学生的数学抽象素养．2．借助含逻辑联结词命题的真假判断及应用，提升学生的逻辑推理和数学运算素养．1．“且”(1)定义一般地，用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∧q．读作“p且q”．(2)真假判断当p，q都是真命题时，p∧q是真命题；当p，q两个命题中有一个命题是假命题时，p∧q是假命题．2．“或”(1)定义一般地，用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∨q．读作“p或q”．(2)真假判断当p，q两个命题有一个命题是真命题时，p∨q是真命题；当p，q两个命题都是假命题时，p∨q是假命题．思考1：(1)p∨q是真命题，则p∧q是真命题吗？(2)若p∨q与p∧q一个是真命题，一个是假命题，那么谁是真命题？[提示](1)不一定，p∨q是真命题，p与q可能一真一假，此时p∧q是假命题．(2)p∨q是真命题，p∧q是假命题．-2-3．“非”(1)定义一般地，对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作p，读作“非p”或“p的否定”．(2)真假判断若p是真命题，则p必是假命题；若p是假命题，则p必是真命题．思考2：命题的否定与否命题的区别是什么？[提示](1)命题的否定是直接对命题的结论进行否定，而否命题则是对原命题的条件和结论分别否定．(2)命题的否定(p)的真假与原命题(p)的真假总是相对的，即一真一假，而否命题的真假与原命题的真假无必然的联系．4．复合命题用逻辑联结词“且”“或”“非”把命题p和命题q联结起来的命题称为复合命题．复合命题的真假判断pqp∨qp∧qp真真真真假真假真假假假真真假真假假假假真1．“xy≠0”是指()A．x≠0且y≠0B．x≠0或y≠0C．x，y至少一个不为0D．x，y不都是0A[xy≠0⇔x≠0且y≠0，故选A．]2．已知p，q是两个命题，若“(p)∨q”是假命题，则()A．p，q都是假命题B．p，q都是真命题C．p是假命题，q是真命题D．p是真命题，q是假命题D[若(p)∨q为假命题，则p，q都是假命题，即p真q假，故选D．]3．下列命题中真命题的个数是()①p∨q，这里p：π是无理数，q：π是实数；②p∧q，这里p：π是无理数，q：π是实数；-3-③p∨q，这里p：23，q：8＋7≠15；④p∧q，这里p：23，q：8＋7≠15．A．1B．2C．3D．4B[①②为真命题．]4．“5≥5”是________形式的新命题，它是________(“真”或“假”)命题．p∨q真[5≥5，即5＞5或5＝5．]含有逻辑联结词的命题结构【例1】指出下列命题的形式及构成它的命题．(1)向量既有大小又有方向；(2)矩形有外接圆或有内切圆；(3)集合A(A∪B)；(4)正弦函数y＝sinx(x∈R)是奇函数并且是周期函数．[解](1)是“p∧q”形式的命题．其中p：向量有大小，q：向量有方向．(2)是“p∨q”形式的命题．其中p：矩形有外接圆，q：矩形有内切圆．(3)是“p”形式的命题．其中p：A⊆(A∪B)．(4)是“p∧q”形式的命题．其中p：正弦函数y＝sinx(x∈R)是奇函数，q：正弦函数y＝sinx(x∈R)是周期函数．1．判断一个命题的结构，不能仅从字面上看它是否含有“且”“或”“非”等逻辑联结词，而应从命题的结构上看是否用逻辑联结词联结两个命题．2．用逻辑联结词“且”“或”联结两个命题时，关键是正确理解这些词语的意义及在日常生活中的同义词，选择合适的联结词，有时为了语法的要求及语句的通顺，也可进行适当的省略和变形．-4-[跟进训练]1．分别写出由下列命题构成的“p∨q”“p∧q”“p”形式的命题．(1)p：梯形有一组对边平行，q：梯形有一组对边相等；(2)p：－1是方程x2＋4x＋3＝0的解，q：－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．[解](1)p∧q：梯形有一组对边平行且有一组对边相等．p∨q：梯形有一组对边平行或有一组对边相等．p：梯形没有一组对边平行．(2)p∧q：－1与－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．p∨q：－1或－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．p：－1不是方程x2＋4x＋3＝0的解．含逻辑联结词命题的真假判断【例2】已知命题p：方程x2－2ax－1＝0有两个实数根；命题q：函数f(x)＝x＋4x的最小值为4．给出下列命题：①p∧q；②p∨q；③p∧(q)；④(p)∨(q)．则其中真命题的个数为()A．1B．2C．3D．4思路探究：判断p，q的真假→判断綈p，綈q的真假→判断所给命题的真假C[由于Δ＝(－2a)2－4×1×(－1)＝4a2＋40，所以方程x2－2ax－1＝0有两个实数根，所以命题p是真命题；当x0时，f(x)＝x＋4x0，所以命题q为假命题，所以p∨q，p∧(q)，(p)∨(q)是真命题，故选C．]含逻辑联结词命题真假的判断方法及步骤1我们可以用口诀记忆法来记忆：,“p∧q”全真才真，一假必假；“p∨q”全假才假，一真必真；“p”与p真假相对.2判断复合命题真假的步骤：①确定复合命题的构成形式是“p∧q”“p∨q”还是“p”；②判断其中的简单命题p，q的真假；③根据真值表判断复合命题的真假.-5-[跟进训练]2．(1)已知命题p：若xy，则－x－y；命题q：若xy，则x2y2．在命题①p∧q；②p∨q；③p∧(q)；④(p)∨q中，真命题是()A．①③B．①④C．②③D．②④C[由不等式的性质可知，命题p为真命题，命题q为假命题，故①p∧q为假命题，②p∨q为真命题，③q为真命题，则p∧(q)为真命题，④p为假命题，则(p)∨q为假命题．](2)分别指出由下列命题构成的“p∨q”“p∧q”“p”形式的命题的真假．①p：1∈{2,3}，q：2∈{2,3}；②p：2是奇数，q：2是合数；③p：4≥4，q：23不是偶数；④p：不等式x2－3x－100的解集是{x|－2x5}，q：不等式x2－3x－100的解集是{x|x5或x－2}．[解]①∵p是假命题，q是真命题，∴p∨q是真命题，p∧q是假命题，p是真命题．②∵p是假命题，q是假命题，∴p∨q是假命题，p∧q是假命题，p是真命题．③∵p是真命题，q是真命题，∴p∨q是真命题，p∧q是真命题，p是假命题．④∵p是真命题，q是假命题，∴p∨q是真命题，p∧q是假命题，p是假命题．由复合命题的真假求参数的取值范围[探究问题]1．设集合A是p为真命题时参数的取值范围，则p为假命题时，参数的取值范围是什么？[提示]p为假命题时，参数的取值范围是∁RA．2．设集合M、N分别是p，q分别为真命题时参数的取值范围，则p∨q与p∧q分别为真命题时，参数的取值范围分别是什么？[提示]当p∨q为真命题时，参数的取值范围是A∪B．当p∧q为真命题时，参数的取值范围是A∩B．【例3】已知p：存在x∈R，mx2＋1≤0，q：任意x∈R，x2＋mx＋10，若p或q为假命题，则实数m的取值范围为()-6-A．m≥2B．m≤－2C．m≤－2或m≥2D．－2≤m≤2思路探究：分别求当p，q为假时m的范围―→根据p或q为假得出m的范围A[依题意知p，q均为假命题，当p是假命题时，mx2＋10恒成立，则有m≥0；当q是真命题时，则有Δ＝m2－40，－2m2．因此由p，q均为假命题得m≥0，m≤－2或m≥2，即m≥2．]1．本例条件不变，若p且q为真，则实数m的取值范围为________．(－2,0)[依题意，当p是真命题时，有m0；当q是真命题时，有－2m2，由m0，－2m2，可得－2m0．]2．本例条件不变，若p且q为假，p或q为真，则实数m的取值范围为________．(－∞，－2]∪[0,2)[若p且q为假，p或q为真，则p，q一真一假．当p真q假时m0，m≥2或m≤－2，∴m≤－2；当p假q真时m≥0，－2m2，∴0≤m2．∴m的取值范围是(－∞，－2]∪[0,2)．]根据命题的真假求参数范围的步骤1求出p、q均为真时参数的取值范围；2根据命题p∧q、p∨q的真假判断命题p、q的真假；3根据p，q的真假求出参数的取值范围.1．判断含逻辑联结词的命题的真假的步骤：(1)逐一判断命题p，q的真假．-7-(2)根据“且”“或”的含义判断“p∧q”，“p∨q”的真假．p∧q为真⇔p和q同时为真，p∨q为真⇔p和q中至少一个为真．2．若命题p为真，则“p”为假；若p为假，则“p”为真，类比集合知识，“p”就相当于集合p在全集U中的补集∁Up．因此(p)∧p为假，(p)∨p为真．3．命题的否定只否定结论，否命题既否定结论又否定条件，要注意区别．1．若命题“p∧q”为假，且p为假，则()A．p∨q为假B．q假C．q真D．p假B[由p为假知，p为真，又p∧q为假，则q假，故选B．]2．给出下列命题：①21或13；②方程x2－2x－4＝0的判别式大于或等于0；③25是6或5的倍数；④集合A∩B是A的子集，且是A∪B的子集．其中真命题的个数为()A．1B．2C．3D．4D[对于①，是“或”命题，且21是真命题，故①是真命题．对于②，是“或”命题，且Δ＝(－2)2＋16＝200，故②是真命题．对于③，是“或”命题，且25是5的倍数，故③是真命题．对于④，是“且”命题，且集合A∩B是A的子集，也是A∪B的子集．故④是真命题，故选D．]3．下列命题是“p∨q”形式的是()A．6≥6B．3是奇数且3是质数C．2是无理数D．3是6和9的约数A[A中，6≥6⇔66或6＝6，所以A是“p∨q”形式的命题；B和D是“p∧q”形式的命题，C不包含任何逻辑联结词，所以B，C，D不正确，A正确，故选A．]4．已知命题p：函数f(x)＝(2a－1)x＋b在R上是减函数；命题q：函数g(x)＝x2＋ax在[1,2]上是增函数，若p∧q为真，则实数a的取值范围是________．－2，12[p为真时，2a－10，即a12，q为真时，－a2≤1，即a≥－2，-8-则p∧q为真时，p，q都真，所以－2≤a12．]