20202021学年高中数学第2章圆锥曲线与方程222第1课时椭圆的简单几何性质教学用书教案新人教A

-1-2.2.2椭圆的简单几何性质第1课时椭圆的简单几何性质学习目标核心素养1．根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形．(重点)2．依据几何条件求出椭圆方程，并利用椭圆方程研究它的性质、图形．(重点、难点)1．通过椭圆性质的学习与应用，培养学生的数学运算的核心素养．2．借助离心率问题的求解，提升直观想象与逻辑推理的核心素养．1．椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)y2a2＋x2b2＝1(ab0)范围－a≤x≤a且－b≤y≤b－b≤x≤b且－a≤y≤a对称性对称轴为坐标轴，对称中心为原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b,0)，B2(b,0)轴长短轴长|B1B2|＝2b，长轴长|A1A2|＝2a焦点F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)焦距|F1F2|＝2c2．离心率(1)定义：椭圆的焦距与长轴长的比ca称为椭圆的离心率．(2)性质：离心率e的范围是(0,1)．当e越接近于1时，椭圆越扁；当e越接近于0时，椭圆就越接近于圆．思考：(1)离心率e能否用ba表示？(2)离心率相同的椭圆是同一个椭圆吗？-2-[提示](1)e2＝c2a2＝a2－b2a2＝1－ba2，所以e＝1－ba2．(2)不是．离心率相同的椭圆焦距与长轴长的比值相同．1．椭圆6x2＋y2＝6的长轴的端点坐标是()A．(－1,0)，(1,0)B．(－6,0)，(6,0)C．(－6，0)，(6，0)D．(0，－6)，(0，6)D[椭圆方程可化为x2＋y26＝1，则长轴的端点坐标为(0，±6)．]2．椭圆25x2＋9y2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是()A．5,3,0．8B．10,6,0．8C．5,3,0．6D．10,6,0．6B[椭圆方程可化为x29＋y225＝1，则a＝5，b＝3，c＝25－9＝4，e＝ca＝45，故选B．]3．已知椭圆x210－m＋y2m－2＝1，长轴在y轴上．若焦距为4，则m等于()A．8B．7C．5D．4A[由题意得m－2＞10－m且10－m＞0，于是6＜m＜10，再由(m－2)－(10－m)＝22，得m＝8．]4．经过点P(3,0)，Q(0,2)的椭圆的标准方程是________．x29＋y24＝1[由已知a＝3，b＝2，椭圆的焦点在x轴上，所以椭圆标准方程是x29＋y24＝1．]根据椭圆的方程研究其几何性质【例1】求椭圆m2x2＋4m2y2＝1(m0)的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率．[解]由已知得x21m2＋y214m2＝1(m0)，因为0m24m2，所以1m214m2，-3-所以椭圆的焦点在x轴上，并且长半轴长a＝1m，短半轴长b＝12m，半焦距c＝32m，所以椭圆的长轴长2a＝2m，短轴长2b＝1m，焦点坐标为－32m，0，32m，0，顶点坐标为1m，0，－1m，0，0，－12m，0，12m，离心率e＝ca＝32m1m＝32．用标准方程研究几何性质的步骤1将椭圆方程化为标准形式.2确定焦点位置.焦点位置不确定的要分类讨论3求出a，b，c.4写出椭圆的几何性质.提醒：长轴长、短轴长、焦距不是a，b，c，而应是a，b，c的两倍.[跟进训练]1．已知椭圆C1：x2100＋y264＝1，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上．(1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率；(2)写出椭圆C2的方程，并研究其性质．[解](1)由椭圆C1：x2100＋y264＝1可得其长半轴长为10，短半轴长为8，焦点坐标(6,0)，(－6,0)，离心率e＝35．(2)椭圆C2：y2100＋x264＝1．性质：①范围：－8≤x≤8，－10≤y≤10；②对称性：关于x轴、y轴、原点对称；③顶点：长轴端点(0,10)，(0，－10)，短轴端点(－8,0)，(8,0)；④离心率：e＝35．-4-利用几何性质求椭圆的标准方程【例2】求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)椭圆过点(3,0)，离心率e＝63；(2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为8；(3)求经过点M(1,2)，且与椭圆x212＋y26＝1有相同离心率的椭圆的标准方程．思路探究：(1)焦点位置不确定，分两种情况求解．(2)利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求解．(3)法一：先求离心率，根据离心率找到a与b的关系．再用待定系数法求解．法二：设与椭圆x212＋y26＝1有相同离心率的椭圆方程为x212＋y26＝k1(k10)或y212＋x26＝k2(k20)．[解](1)若焦点在x轴上，则a＝3，∵e＝ca＝63，∴c＝6，∴b2＝a2－c2＝9－6＝3．∴椭圆的方程为x29＋y23＝1．若焦点在y轴上，则b＝3，∵e＝ca＝1－b2a2＝1－9a2＝63，解得a2＝27．∴椭圆的方程为y227＋x29＝1．∴所求椭圆的方程为x29＋y23＝1或y227＋x29＝1．(2)设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)．如图所示，△A1FA2为等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，且|OF|＝c，|A1A2|＝2b，∴c＝b＝4，∴a2＝b2＋c2＝32，-5-故所求椭圆的方程为x232＋y216＝1．(3)法一：由题意知e2＝1－b2a2＝12，所以b2a2＝12，即a2＝2b2，设所求椭圆的方程为x22b2＋y2b2＝1或y22b2＋x2b2＝1．将点M(1,2)代入椭圆方程得12b2＋4b2＝1或42b2＋1b2＝1，解得b2＝92或b2＝3．故所求椭圆方程为x29＋y292＝1或y26＋x23＝1．法二：设所求椭圆方程为x212＋y26＝k1(k10)或y212＋x26＝k2(k20)，将点M的坐标代入可得112＋46＝k1或412＋16＝k2，解得k1＝34，k2＝12，故x212＋y26＝34或y212＋x26＝12，即所求椭圆的标准方程为x29＋y292＝1或y26＋x23＝1．利用椭圆的几何性质求标准方程的思路1利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是：①确定焦点位置；②设出相应椭圆的标准方程对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程；③根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程组求参数，列方程组时常用的关系式有b2＝a2－c2，e＝ca等.2在椭圆的简单几何性质中，轴长、离心率不能确定椭圆的焦点位置，因此仅依据这些条件求所要确定的椭圆的标准方程可能有两个.提醒：与椭圆x2a2＋y2b2＝1ab0有相同离心率的椭圆方程为x2a2＋y2b2＝k1k10，焦点在x轴上或y2a2＋x2b2＝k2k20，焦点在y轴上.[跟进训练]2．(1)若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，一个焦点的坐标是(3,0)，则椭圆的标准方程为()A．x29＋y216＝1B．x225＋y216＝1-6-C．x216＋y225＝1D．x216＋y29＝1B[由题意，得2a＋2b＝18，c＝3，a2＝b2＋c2，解得a＝5，b＝4.因为椭圆的焦点在x轴上，所以椭圆的标准方程为x225＋y216＝1．](2)已知椭圆的对称轴是坐标轴，O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点，椭圆的长轴长为6，且cos∠OFA＝23，则椭圆的标准方程是________．x29＋y25＝1或x25＋y29＝1[因为椭圆的长轴长是6，cos∠OFA＝23，所以点A不是长轴的端点(是短轴的端点)．所以|OF|＝c，|AF|＝a＝3，所以c3＝23，所以c＝2，b2＝32－22＝5，所以椭圆的方程是x29＋y25＝1或x25＋y29＝1．]求椭圆的离心率[探究问题]1．已知F是椭圆的左焦点，A，B分别是其在x轴正半轴和y轴正半轴上的顶点，P是椭圆上的一点，且PF⊥x轴，OP∥AB，怎样求椭圆的离心率？[提示]如图，设椭圆的方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，P(－c，m)．∵OP∥AB，∴△PFO∽△BOA，∴ca＝mb，①又P(－c，m)在椭圆上，-7-∴c2a2＋m2b2＝1．②将①代入②，得2c2a2＝1，即e2＝12，∴e＝22．2．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左焦点为F1(－c,0)，A(－a,0)，B(0，b)是两个顶点，如果F1到直线AB的距离为b7，求椭圆的离心率e．[提示]由A(－a,0)，B(0，b)，得直线AB的斜率为kAB＝ba，故AB所在的直线方程为y－b＝bax，即bx－ay＋ab＝0．又F1(－c,0)，由点到直线的距离公式可得d＝|－bc＋ab|a2＋b2＝b7，∴7·(a－c)＝a2＋b2．又b2＝a2－c2，整理，得8c2－14ac＋5a2＝0，即8ca2－14ca＋5＝0．∴8e2－14e＋5＝0，∴e＝12或e＝54(舍去)．综上可知，椭圆的离心率e＝12．【例3】(1)已知F1，F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若△ABF2是正三角形，则该椭圆的离心率是________．(2)椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的两个焦点是F1，F2，若P为其上一点，且|PF1|＝5|PF2|，则此椭圆离心率的取值范围是()A．0，23B．0，23C．23，1D．23，1思路探究：(1)△ABF2为正三角形⇒∠AF2F1＝30°⇒把|AF1|，|AF2|用c表示．(2)在焦点三角形中有|PF1|－|PF2|≤|F1F2|，利用定义求出各量后可得关于a，b，c的不等关系，即可求离心率的取值范围．-8-(1)33(2)C[(1)不妨设椭圆的焦点在x轴上，因为AB⊥F1F2，且△ABF2为正三角形，所以在Rt△AF1F2中，∠AF2F1＝30°，令|AF1|＝x，则|AF2|＝2x，所以|F1F2|＝|AF2|2－|AF1|2＝3x＝2c，再由椭圆的定义，可知|AF1|＋|AF2|＝2a＝3x，所以e＝2c2a＝3x3x＝33．(2)由椭圆定义可得|PF1|＋|PF2|＝2a，结合|PF1|＝5|PF2|得|PF2|＝a3．在焦点△PF1F2中有|PF1|－|PF2|≤|F1F2|，即4|PF2|≤|F1F2|＝2c，∴43a≤2c，∴ca≥23，∴e∈23，1，故选C．]求椭圆离心率及范围的两种方法1直接法：若已知a，c可直接利用e＝ca求解.若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝ca求解.2方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或范围.[跟进训练]3．(1)椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的一个焦点为F，该椭圆上有一点A，满足△OAF是等边三角形(O为坐标原点)，则椭圆的离心率是()A．3－1B．2－3C．2－1D．2－2A[如图，设F(c,0)，由△OAF是等边三角形，-9-得Ac2，3c2，因为点A在椭圆上，所以有c24a2＋3c24b2＝1①，在椭圆中有a2＝b2＋c2②，联立①②，得c2＝(4－23)a2，即c＝(3－1)a，则其离心率e＝ca＝3－1．](2)椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的两焦点为F1，F2，以F1F2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为________．3－1[法一：如图，∵△DF1F2为正三角形，N为DF2的中点，∴F1N⊥F2N，∵|NF2|＝c，∴|NF1|＝|F1F2|2－|NF2|2＝4c2－c2＝3c，由椭圆的定义可知|NF1|＋|