20202021学年高中数学第2章圆锥曲线与方程222第1课时椭圆的简单几何性质教学用书教案新人教A

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-1-2.2.2椭圆的简单几何性质第1课时椭圆的简单几何性质学习目标核心素养1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质,并正确地画出它的图形.(重点)2.依据几何条件求出椭圆方程,并利用椭圆方程研究它的性质、图形.(重点、难点)1.通过椭圆性质的学习与应用,培养学生的数学运算的核心素养.2.借助离心率问题的求解,提升直观想象与逻辑推理的核心素养.1.椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程x2a2+y2b2=1(a>b>0)y2a2+x2b2=1(ab0)范围-a≤x≤a且-b≤y≤b-b≤x≤b且-a≤y≤a对称性对称轴为坐标轴,对称中心为原点顶点A1(-a,0),A2(a,0)B1(0,-b),B2(0,b)A1(0,-a),A2(0,a)B1(-b,0),B2(b,0)轴长短轴长|B1B2|=2b,长轴长|A1A2|=2a焦点F1(-c,0),F2(c,0)F1(0,-c),F2(0,c)焦距|F1F2|=2c2.离心率(1)定义:椭圆的焦距与长轴长的比ca称为椭圆的离心率.(2)性质:离心率e的范围是(0,1).当e越接近于1时,椭圆越扁;当e越接近于0时,椭圆就越接近于圆.思考:(1)离心率e能否用ba表示?(2)离心率相同的椭圆是同一个椭圆吗?-2-[提示](1)e2=c2a2=a2-b2a2=1-ba2,所以e=1-ba2.(2)不是.离心率相同的椭圆焦距与长轴长的比值相同.1.椭圆6x2+y2=6的长轴的端点坐标是()A.(-1,0),(1,0)B.(-6,0),(6,0)C.(-6,0),(6,0)D.(0,-6),(0,6)D[椭圆方程可化为x2+y26=1,则长轴的端点坐标为(0,±6).]2.椭圆25x2+9y2=225的长轴长、短轴长、离心率依次是()A.5,3,0.8B.10,6,0.8C.5,3,0.6D.10,6,0.6B[椭圆方程可化为x29+y225=1,则a=5,b=3,c=25-9=4,e=ca=45,故选B.]3.已知椭圆x210-m+y2m-2=1,长轴在y轴上.若焦距为4,则m等于()A.8B.7C.5D.4A[由题意得m-2>10-m且10-m>0,于是6<m<10,再由(m-2)-(10-m)=22,得m=8.]4.经过点P(3,0),Q(0,2)的椭圆的标准方程是________.x29+y24=1[由已知a=3,b=2,椭圆的焦点在x轴上,所以椭圆标准方程是x29+y24=1.]根据椭圆的方程研究其几何性质【例1】求椭圆m2x2+4m2y2=1(m0)的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率.[解]由已知得x21m2+y214m2=1(m0),因为0m24m2,所以1m214m2,-3-所以椭圆的焦点在x轴上,并且长半轴长a=1m,短半轴长b=12m,半焦距c=32m,所以椭圆的长轴长2a=2m,短轴长2b=1m,焦点坐标为-32m,0,32m,0,顶点坐标为1m,0,-1m,0,0,-12m,0,12m,离心率e=ca=32m1m=32.用标准方程研究几何性质的步骤1将椭圆方程化为标准形式.2确定焦点位置.焦点位置不确定的要分类讨论3求出a,b,c.4写出椭圆的几何性质.提醒:长轴长、短轴长、焦距不是a,b,c,而应是a,b,c的两倍.[跟进训练]1.已知椭圆C1:x2100+y264=1,设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等,且椭圆C2的焦点在y轴上.(1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率;(2)写出椭圆C2的方程,并研究其性质.[解](1)由椭圆C1:x2100+y264=1可得其长半轴长为10,短半轴长为8,焦点坐标(6,0),(-6,0),离心率e=35.(2)椭圆C2:y2100+x264=1.性质:①范围:-8≤x≤8,-10≤y≤10;②对称性:关于x轴、y轴、原点对称;③顶点:长轴端点(0,10),(0,-10),短轴端点(-8,0),(8,0);④离心率:e=35.-4-利用几何性质求椭圆的标准方程【例2】求适合下列条件的椭圆的标准方程:(1)椭圆过点(3,0),离心率e=63;(2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直,且焦距为8;(3)求经过点M(1,2),且与椭圆x212+y26=1有相同离心率的椭圆的标准方程.思路探究:(1)焦点位置不确定,分两种情况求解.(2)利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求解.(3)法一:先求离心率,根据离心率找到a与b的关系.再用待定系数法求解.法二:设与椭圆x212+y26=1有相同离心率的椭圆方程为x212+y26=k1(k10)或y212+x26=k2(k20).[解](1)若焦点在x轴上,则a=3,∵e=ca=63,∴c=6,∴b2=a2-c2=9-6=3.∴椭圆的方程为x29+y23=1.若焦点在y轴上,则b=3,∵e=ca=1-b2a2=1-9a2=63,解得a2=27.∴椭圆的方程为y227+x29=1.∴所求椭圆的方程为x29+y23=1或y227+x29=1.(2)设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0).如图所示,△A1FA2为等腰直角三角形,OF为斜边A1A2的中线(高),且|OF|=c,|A1A2|=2b,∴c=b=4,∴a2=b2+c2=32,-5-故所求椭圆的方程为x232+y216=1.(3)法一:由题意知e2=1-b2a2=12,所以b2a2=12,即a2=2b2,设所求椭圆的方程为x22b2+y2b2=1或y22b2+x2b2=1.将点M(1,2)代入椭圆方程得12b2+4b2=1或42b2+1b2=1,解得b2=92或b2=3.故所求椭圆方程为x29+y292=1或y26+x23=1.法二:设所求椭圆方程为x212+y26=k1(k10)或y212+x26=k2(k20),将点M的坐标代入可得112+46=k1或412+16=k2,解得k1=34,k2=12,故x212+y26=34或y212+x26=12,即所求椭圆的标准方程为x29+y292=1或y26+x23=1.利用椭圆的几何性质求标准方程的思路1利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时,通常采用待定系数法,其步骤是:①确定焦点位置;②设出相应椭圆的标准方程对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程;③根据已知条件构造关于参数的关系式,利用方程组求参数,列方程组时常用的关系式有b2=a2-c2,e=ca等.2在椭圆的简单几何性质中,轴长、离心率不能确定椭圆的焦点位置,因此仅依据这些条件求所要确定的椭圆的标准方程可能有两个.提醒:与椭圆x2a2+y2b2=1ab0有相同离心率的椭圆方程为x2a2+y2b2=k1k10,焦点在x轴上或y2a2+x2b2=k2k20,焦点在y轴上.[跟进训练]2.(1)若椭圆的对称轴为坐标轴,长轴长与短轴长的和为18,一个焦点的坐标是(3,0),则椭圆的标准方程为()A.x29+y216=1B.x225+y216=1-6-C.x216+y225=1D.x216+y29=1B[由题意,得2a+2b=18,c=3,a2=b2+c2,解得a=5,b=4.因为椭圆的焦点在x轴上,所以椭圆的标准方程为x225+y216=1.](2)已知椭圆的对称轴是坐标轴,O为坐标原点,F是一个焦点,A是一个顶点,椭圆的长轴长为6,且cos∠OFA=23,则椭圆的标准方程是________.x29+y25=1或x25+y29=1[因为椭圆的长轴长是6,cos∠OFA=23,所以点A不是长轴的端点(是短轴的端点).所以|OF|=c,|AF|=a=3,所以c3=23,所以c=2,b2=32-22=5,所以椭圆的方程是x29+y25=1或x25+y29=1.]求椭圆的离心率[探究问题]1.已知F是椭圆的左焦点,A,B分别是其在x轴正半轴和y轴正半轴上的顶点,P是椭圆上的一点,且PF⊥x轴,OP∥AB,怎样求椭圆的离心率?[提示]如图,设椭圆的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),P(-c,m).∵OP∥AB,∴△PFO∽△BOA,∴ca=mb,①又P(-c,m)在椭圆上,-7-∴c2a2+m2b2=1.②将①代入②,得2c2a2=1,即e2=12,∴e=22.2.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F1(-c,0),A(-a,0),B(0,b)是两个顶点,如果F1到直线AB的距离为b7,求椭圆的离心率e.[提示]由A(-a,0),B(0,b),得直线AB的斜率为kAB=ba,故AB所在的直线方程为y-b=bax,即bx-ay+ab=0.又F1(-c,0),由点到直线的距离公式可得d=|-bc+ab|a2+b2=b7,∴7·(a-c)=a2+b2.又b2=a2-c2,整理,得8c2-14ac+5a2=0,即8ca2-14ca+5=0.∴8e2-14e+5=0,∴e=12或e=54(舍去).综上可知,椭圆的离心率e=12.【例3】(1)已知F1,F2是椭圆的两个焦点,过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A,B两点,若△ABF2是正三角形,则该椭圆的离心率是________.(2)椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的两个焦点是F1,F2,若P为其上一点,且|PF1|=5|PF2|,则此椭圆离心率的取值范围是()A.0,23B.0,23C.23,1D.23,1思路探究:(1)△ABF2为正三角形⇒∠AF2F1=30°⇒把|AF1|,|AF2|用c表示.(2)在焦点三角形中有|PF1|-|PF2|≤|F1F2|,利用定义求出各量后可得关于a,b,c的不等关系,即可求离心率的取值范围.-8-(1)33(2)C[(1)不妨设椭圆的焦点在x轴上,因为AB⊥F1F2,且△ABF2为正三角形,所以在Rt△AF1F2中,∠AF2F1=30°,令|AF1|=x,则|AF2|=2x,所以|F1F2|=|AF2|2-|AF1|2=3x=2c,再由椭圆的定义,可知|AF1|+|AF2|=2a=3x,所以e=2c2a=3x3x=33.(2)由椭圆定义可得|PF1|+|PF2|=2a,结合|PF1|=5|PF2|得|PF2|=a3.在焦点△PF1F2中有|PF1|-|PF2|≤|F1F2|,即4|PF2|≤|F1F2|=2c,∴43a≤2c,∴ca≥23,∴e∈23,1,故选C.]求椭圆离心率及范围的两种方法1直接法:若已知a,c可直接利用e=ca求解.若已知a,b或b,c可借助于a2=b2+c2求出c或a,再代入公式e=ca求解.2方程法:若a,c的值不可求,则可根据条件建立a,b,c的关系式,借助于a2=b2+c2,转化为关于a,c的齐次方程或不等式,再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂,得到关于e的方程或不等式,即可求得e的值或范围.[跟进训练]3.(1)椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的一个焦点为F,该椭圆上有一点A,满足△OAF是等边三角形(O为坐标原点),则椭圆的离心率是()A.3-1B.2-3C.2-1D.2-2A[如图,设F(c,0),由△OAF是等边三角形,-9-得Ac2,3c2,因为点A在椭圆上,所以有c24a2+3c24b2=1①,在椭圆中有a2=b2+c2②,联立①②,得c2=(4-23)a2,即c=(3-1)a,则其离心率e=ca=3-1.](2)椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的两焦点为F1,F2,以F1F2为边作正三角形,若椭圆恰好平分正三角形的另两条边,则椭圆的离心率为________.3-1[法一:如图,∵△DF1F2为正三角形,N为DF2的中点,∴F1N⊥F2N,∵|NF2|=c,∴|NF1|=|F1F2|2-|NF2|2=4c2-c2=3c,由椭圆的定义可知|NF1|+|

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