20202021学年高中数学第2章圆锥曲线与方程222第2课时椭圆的标准方程及性质的应用教学用书教案

-1-第2课时椭圆的标准方程及性质的应用学习目标核心素养1．进一步掌握椭圆的方程及其性质的应用，会判断直线与椭圆的位置关系．(重点)2．能运用直线与椭圆的位置关系解决相关的弦长、中点弦问题．(难点)1．通过直线与椭圆位置关系的判断，培养学生的逻辑推理核心素养．2．通过弦长、中点弦问题及椭圆综合问题的学习，提升学生的逻辑推理、直观想象及数学运算的核心素养．1．点与椭圆的位置关系点P(x0，y0)与椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的位置关系：点P在椭圆上⇔x20a2＋y20b2＝1；点P在椭圆内部⇔x20a2＋y20b21；点P在椭圆外部⇔x20a2＋y20b21．2．直线与椭圆的位置关系直线y＝kx＋m与椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的位置关系：联立y＝kx＋m，x2a2＋y2b2＝1，消去y得一个关于x的一元二次方程．位置关系解的个数Δ的取值相交两解Δ0相切一解Δ＝0相离无解Δ0思考：(1)过原点的直线和椭圆相交，两交点关于原点对称吗？(2)直线y＝kx＋1与椭圆x24＋y23＝1有怎样的位置关系？[提示](1)根据椭圆的对称性知，两交点关于原点对称．-2-(2)直线y＝kx＋1恒过定点(0,1)，点(0,1)在椭圆x24＋y23＝1的内部，因此直线与椭圆相交．1．直线y＝x＋1与椭圆x2＋y22＝1的位置关系是()A．相离B．相切C．相交D．无法确定C[联立y＝x＋1，x2＋y22＝1，消去y，得3x2＋2x－1＝0，Δ＝22＋12＝16＞0，∴直线与椭圆相交．]2．直线x＋2y＝m与椭圆x24＋y2＝1只有一个交点，则m的值为()A．22B．±2C．±22D．±2C[由x＋2y＝m，x2＋4y2＝4，消去y并整理得2x2－2mx＋m2－4＝0．由Δ＝4m2－8(m2－4)＝0，得m2＝8．∴m＝±22．]3．若点A(a,1)在椭圆x24＋y22＝1的内部，则a的取值范围是________．(－2，2)[∵点A在椭圆内部，∴a24＋12＜1，∴a2＜2，∴－2＜a＜2．]4．经过椭圆x22＋y2＝1的左焦点F1作倾斜角为60°的直线l，直线l与椭圆相交于A，B两点，则弦AB的长为________．827[由椭圆的方程知F1(－1,0)，∴直线l的方程y＝tan60°(x＋1)＝3(x＋1)．与椭圆的方程联立，并消去y得7x2＋12x＋4＝0．由根与系数关系，知xA＋xB＝－127，xAxB＝47，∴|AB|＝1＋3[xA＋xB2－4xAxB]＝4×－1272－167＝827．]-3-直线与椭圆的位置关系【例1】已知椭圆C的两焦点为F1(－2，0)，F2(2，0)，P为椭圆上一点，且到两个焦点的距离之和为6．(1)求椭圆C的标准方程；(2)若已知直线y＝x＋m，当m为何值时，直线与椭圆C有公共点？思路探究：(1)由焦点坐标得到c，由椭圆的定义|PF1|＋|PF2|＝6求出a，进而求出b的值，即可得出椭圆的方程．(2)联立直线与椭圆方程，消去y，直线与椭圆C有公共点即所得一元二次方程有解，计算Δ≥0得出m的范围．[解](1)因为椭圆的焦点是F1(－2，0)和F2(2，0)，椭圆上一点到两个焦点的距离之和为6，所以设所求的椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，所以依题意有c＝2，a＝3，所以b2＝a2－c2＝32－(2)2＝7，所以所求的椭圆方程为x29＋y27＝1．(2)由x29＋y27＝1，y＝x＋m得16x2＋18mx＋9m2－63＝0，由Δ＝(18m)2－4×16(9m2－63)≥0得m2≤16，则－4≤m≤4，所以当m∈[－4,4]时，直线与椭圆C有公共点．代数法判断直线与椭圆的位置关系判断直线与椭圆的位置关系，通过解直线方程与椭圆方程组成的方程组，消去方程组中的一个变量，得到关于另一个变量的一元二次方程，则Δ0⇔直线与椭圆相交；Δ＝0⇔直线与椭圆相切；Δ0⇔直线与椭圆相离.提醒：注意方程组的解与交点个数之间的等价关系.[跟进训练]-4-1．(1)若直线y＝kx＋2与椭圆x23＋y22＝1相切，则斜率k的值是()A．63B．－63C．±63D．±33C[由y＝kx＋2，x23＋y22＝1得(3k2＋2)x2＋12kx＋6＝0，由题意知Δ＝144k2－24(3k2＋2)＝0，解得k＝±63．](2)直线y＝kx－k＋1(k∈R)与焦点在x轴上的椭圆x25＋y2m＝1总有公共点，则m的取值范围是________．54，5[直线y＝k(x－1)＋1恒过定点P(1,1)，直线与椭圆总有公共点等价于点P(1,1)在椭圆内或在椭圆上．所以125＋12m≤1，即m≥54，又0m5，故m∈54，5．]弦长及中点弦问题【例2】过椭圆x216＋y24＝1内一点M(2,1)引一条弦，使弦被M点平分．(1)求此弦所在的直线方程；(2)求此弦长．思路探究：(1)法一：联立方程，消元后利用根与系数的关系和中点坐标公式求解．法二：点差法．(2)设弦的两端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，利用弦长公式求解．[解](1)法一：设所求直线方程为y－1＝k(x－2)．代入椭圆方程并整理，得(4k2＋1)x2－8(2k2－k)x＋4(2k－1)2－16＝0．又设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是方程的两个根，于是x1＋x2＝82k2－k4k2＋1．又M为AB的中点，∴x1＋x22＝42k2－k4k2＋1＝2，-5-解得k＝－12．故所求直线的方程为x＋2y－4＝0．法二：设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)．又M(2,1)为AB的中点，∴x1＋x2＝4，y1＋y2＝2．又A，B两点在椭圆上，则x21＋4y21＝16，x22＋4y22＝16．两式相减得(x21－x22)＋4(y21－y22)＝0．于是(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0．∴y1－y2x1－x2＝－x1＋x24y1＋y2＝－12，即kAB＝－12．又直线AB过点M(2,1)，故所求直线的方程为x＋2y－4＝0．(2)设弦的两端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，由x＋2y－4＝0，x216＋y24＝1，得x2－4x＝0，∴x1＋x2＝4，x1x2＝0，∴|AB|＝1＋k2·x1＋x22－4x1x2＝1＋－122·42－4×0＝25．1．直线与椭圆相交弦长的求法(1)直接利用两点间距离公式：当弦的两端点的坐标易求时，可直接求出交点坐标，再用两点间距离公式求弦长．(2)弦长公式：当弦的两端点的坐标不易求时，可用弦长公式．设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则有|AB|＝x1－x22＋y1－y22＝1＋k2x1－x22＝1＋k2·x1＋x22－4x1x2＝1＋1k2y1－y22＝1＋1k2·y1＋y22－4y1y2(k为直线斜率)．-6-提醒：如果直线方程涉及斜率，要注意斜率不存在的情况．2．解决椭圆中点弦问题的两种方法(1)根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；(2)点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)上的两个不同的点，M(x0，y0)是线段AB的中点，则x21a2＋y21b2＝1，x22a2＋y22b2＝1，①②由①－②，得1a2(x21－x22)＋1b2(y21－y22)＝0，变形得y1－y2x1－x2＝－b2a2·x1＋x2y1＋y2＝－b2a2·x0y0，即kAB＝－b2x0a2y0．[跟进训练]2．(1)已知点P(4,2)是直线l被椭圆x236＋y29＝1所截得的线段的中点，则直线l的方程为________．x＋2y－8＝0[由题意可设直线l的方程为y－2＝k(x－4)，而椭圆的方程可以化为x2＋4y2－36＝0．将直线方程代入椭圆方程有(4k2＋1)x2－8k(4k－2)x＋4(4k－2)2－36＝0．设直线l与椭圆的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，所以x1＋x2＝8k4k－24k2＋1＝8，所以k＝－12．所以直线l的方程为y－2＝－12(x－4)，即x＋2y－8＝0．](2)已知点P(4,2)是直线l：x＋2y－8＝0被焦点在x轴上的椭圆所截得的线段的中点，则该椭圆的离心率为________．32[设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，直线x＋2y－8＝0与椭圆交于A，B两点，且A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x21a2＋y21b2＝1，①x22a2＋y22b2＝1，②-7-①－②得x1－x2x1＋x2a2＋y1－y2y1＋y2b2＝0，即y1－y2x1－x2＝－b2x1＋x2a2y1＋y2．因为kAB＝－12，AB中点为(x0，y0)，x0＝4，y0＝2，所以－12＝－2b2a2，即a2＝4b2．所以该椭圆的离心率为e＝1－b2a2＝32．](3)已知椭圆C的焦点分别为F1(－22，0)，F2(22，0)，长轴长为6，设直线y＝x＋2交椭圆C于A，B两点，O为坐标原点．①求线段AB的中点坐标；②求△OAB的面积．[解]①设椭圆C的方程为x2a2＋y2b2＝1，由题意a＝3，c＝22，于是b＝1，所以椭圆C的方程为x29＋y2＝1．由y＝x＋2，x29＋y2＝1，得10x2＋36x＋27＝0．因为该一元二次方程的Δ0，所以点A，B不同，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－185，y1＋y2＝(x1＋2)＋(x2＋2)＝25，故线段AB的中点坐标为－95，15．②设点O到直线y＝x＋2的距离为d，则d＝|0－0＋2|2＝2．又由①知x1x2＝2710，所以|AB|＝1＋k2x1＋x22－4x1x2＝2－1852－4×2710＝635，故S△OAB＝12×2×635＝365．-8-与椭圆有关的综合问题[探究问题]1．直线y＝kx＋1表示过点(0,1)且斜率存在的直线，即不包含直线x＝0，那么直线x＝ky＋1表示什么样的直线？[提示]直线x＝ky＋1，表示过点(1,0)且斜率不为0的直线，即不包含直线y＝0．2．如果以线段AB为直径的圆过点O，那么可以得到哪些等价的条件？[提示](1)设AB的中点为P，则|OP|＝12|AB|．(2)OA→·OB→＝0．【例3】如图所示，已知椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(ab0)过点(0，2)，且离心率e＝22．(1)求椭圆E的方程；(2)设直线l：x＝my－1(m∈R)交椭圆E于A，B两点，判断点G－94，0与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由．思路探究：(1)由椭圆经过的一点及离心率公式，再结合a2＝b2＋c2即可求出a，b，c的值，从而可得椭圆E的方程．(2)法一：判断点与圆的位置关系，只需把点G与圆心的距离d与圆的半径r进行比较，若dr，则点G在圆外；若d＝r，则点G在圆上；若dr，则点G在圆内．法二：只需判断GA→·GB→的符号，若GA→·GB→＝0，则点G在圆上；若GA→·GB→0，则点G在圆外；若GA→·GB→0，则点G在圆内．[解](1)由已知得，b＝2，ca＝22，a2＝b2＋c2，解得a＝2，b＝2，c＝2.所以椭圆E的方程为x24＋y22＝1．-9-(2)法一：设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为H(x0，y0)．由x＝my－1，x24＋y22＝1得(m2＋2)y2－2my－3＝0，所以y1＋y2＝2mm2＋2，y1y2＝－3m2＋2，从而y0＝mm2＋2．所以|GH|2＝