20202021学年高中数学第3章空间向量与立体几何31空间向量及其运算314空间向量的正交分解及其

3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示.学习目标核心素养1．了解空间向量基本定理及其意义．2．掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．(难点)3．掌握在简单问题中运用空间三个不共面的向量作为基底表示其他向量的方法．(重点)1．通过基底概念的学习，培养学生数学抽象的核心素养．2．借助基底的判断及应用、空间向量的坐标运算，提升逻辑推理、直观想象及数学运算的核心素养．1．空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc．其中{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量．思考：(1)零向量能不能作为一个基向量？(2)当基底确定后，空间向量基本定理中实数组{x，y，z}是否唯一？[提示](1)不能．因为0与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面．(2)唯一确定．2．空间向量的正交分解及其坐标表示单位正交基底有公共起点O的三个两两垂直的单位向量，记作e1，e2，e3空间直角坐标系以e1，e2，e3的公共起点O为原点，分别以e1，e2，e3的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系O­xyz空间向量的坐标表示对于空间任意一个向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xe1＋ye2＋ze3，则把x，y，z称作向量p在单位正交基底e1，e2，e3下的坐标，记作p＝(x，y，z)1．设{i，j，k}是单位正交基底，已知向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(8,6,4)，其中a＝i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i，则向量p在基底{i，j，k}下的坐标是()A．(12,14,10)B．(10,12,14)C．(14,12,10)D．(4,3,2)A[依题意，知p＝8a＋6b＋4c＝8(i＋j)＋6(j＋k)＋4(k＋i)＝12i＋14j＋10k，故向量p在基底{i，j，k}下的坐标是(12,14,10)．]2．已知向量{a，b，c}是空间一个基底，则一定可以与向量p＝a＋b，q＝a－b构成空间另一个基底的是()A．aB．bC．cD．a·cC[p，q与a，b共面，a·c是一个数量．只有c不与p，q共面．]3．设{e1，e2，e3}是空间向量的一个单位正交基底，a＝4e1－8e2＋3e3，b＝－2e1－3e2＋7e3，则a，b的坐标分别为________．a＝(4，－8,3)b＝(－2，－3,7)[由题意知a＝(4，－8，3)，b＝(－2，－3,7)．]4．在长方体ABCD­A1B1C1D1中，下列关于AC1→的表达式中：①AA1→＋A1B1→＋A1D1→；②AB→＋DD1→＋D1C1→；③AD→＋DD1→＋D1C1→；④12(AB1→＋CD1→)＋A1C1→．正确的个数有________个．3[AB→＋DD1→＋D1C1→＝AB→＋DC1→＝AB→＋AB1→≠AC1→，②不正确；12(AB1→＋CD1→)＋A1C1→＝12(AB1→＋BA1→)＋A1C1→＝AA1→＋A1C1→＝AC1→，④正确；①③明显正确．]基底的判断【例1】(1)设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底，给出下列向量组：①{a，b，x}，②{x，y，z}，③{b，c，z}，④{x，y，a＋b＋c}．其中可以作为空间一个基底的向量组有()A．1个B．2个C．3个D．4个(2)已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且OA→＝e1＋2e2－e3，OB→＝－3e1＋e2＋2e3，OC→＝e1＋e2－e3，试判断{OA→，OB→，OC→}能否作为空间的一个基底．(1)C[如图所示，令a＝AB→，b＝AA1→，c＝AD→，则x＝AB1→，y＝AD1→，z＝AC→，a＋b＋c＝AC1→．由于A，B1，C，D1四点不共面，可知向量x，y，z也不共面，同理b，c，z和x，y，a＋b＋c也不共面，故选C．](2)解：假设OA→，OB→，OC→共面，由向量共面的充要条件知，存在实数x，y使OA→＝xOB→＋yOC→成立，∴e1＋2e2－e3＝x(－3e1＋e2＋2e3)＋y(e1＋e2－e3)，即e1＋2e2－e3＝(y－3x)e1＋(x＋y)e2＋(2x－y)e3∴y－3x＝1，x＋y＝2，2x－y＝－1，此方程组无解．即不存在实数x，y使得OA→＝xOB→＋yOC→，所以OA→，OB→，OC→不共面．所以{OA→，OB→，OC→}能作为空间的一个基底．基底判断的基本思路及方法1基本思路：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基底；若不共面，则能构成基底.2方法：①如果向量中存在零向量，则不能作为基底；如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底.②假设a＝λb＋μc，运用空间向量基本定理，建立λ，μ的方程组，若有解，则共面，不能作为基底；若无解，则不共面，能作为基底.[跟进训练]1．若{a，b，c}是空间的一个基底，试判断{a＋b，b＋c，c＋a}能否作为空间的一个基底．[解]假设a＋b，b＋c，c＋a共面，则存在实数λ，μ，使得a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，即a＋b＝μa＋λb＋(λ＋μ)c．∵{a，b，c}是空间的一个基底，∴a，b，c不共面．∴1＝μ，1＝λ，0＝λ＋μ，此方程组无解．即不存在实数λ，μ，使得a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，∴a＋b，b＋c，c＋a不共面．故{a＋b，b＋c，c＋a}能作为空间的一个基底．用基底表示向量【例2】如图，四棱锥P­OABC的底面为一矩形，PO⊥平面OABC，设OA→＝a，OC→＝b，OP→＝c，E，F分别是PC，PB的中点，试用a，b，c表示：BF→，BE→，AE→，EF→．思路探究：[解]连接BO，则BF→＝12BP→＝12(BO→＋OP→)＝12(c－b－a)＝－12a－12b＋12c．BE→＝BC→＋CE→＝BC→＋12CP→＝BC→＋12(CO→＋OP→)＝－a－12b＋12c．AE→＝AP→＋PE→＝AO→＋OP→＋12(PO→＋OC→)＝－a＋c＋12(－c＋b)＝－a＋12b＋12c．EF→＝12CB→＝12OA→＝12a．1．本题考查空间向量基本定理的应用，注意结合已知和所求，观察图形，联想相关的运算法则和公式等，再对照目标及基底{a，b，c}，将所求向量反复分拆，直到全部可以用基底表示为止．2．基向量的选择和使用方法(1)尽可能选择具有垂直关系的，从同一起点出发的三个向量作为基底．(2)用基向量表示一个向量时，如果此向量的起点是从基底的公共点出发的，一般考虑加法，否则考虑减法；如果此向量与一个易求的向量共线，可用数乘．[跟进训练]2．点P是矩形ABCD所在平面外一点，且PA⊥平面ABCD，M，N分别是PC，PD上的点，且PM→＝23PC→，PN→＝ND→，则满足MN→＝xAB→＋yAD→＋zAP→的实数x，y，z的值分别为()A．－23，16，16B．23，－16，16C．－23，16，－16D．－23，－16，16D[如图所示，取PC的中点E，连接NE，则MN→＝EN→－EM→＝12CD→－(PM→－PE→)＝12CD→－23PC→－12PC→＝12CD→－16PC→＝－12AB→－16(－AP→＋AB→＋AD→)＝－23AB→－16AD→＋16AP→，比较知x＝－23，y＝－16，z＝16，故选D．]空间向量的坐标表示[探究问题]1．在正三棱柱ABC­A1B1C1中，已知△ABC的边长为1，三棱柱的高为2，如何建立适当的空间直角坐标系？[提示]分别取BC，B1C1的中点D，D1，以D为原点，分别以DC→，DA→，DD1→的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示．2．若AB→＝(a，b，c)，则BA→的坐标是多少？[提示]BA→＝(－a，－b，－c)．【例3】如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1的底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别为A1B1，A1A的中点，试建立恰当的坐标系求向量BN→，BA1→，A1B→的坐标．思路探究：以点C为原点，分别以CA→，CB→，CC1→的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，然后，把BN，BA1→，A1B→分别用CA→，CB→，CC1→表示出来，再写出它们的坐标．[解]法一：由题意知CC1⊥AC，CC1⊥BC，AC⊥BC，以点C为原点，分别以CA，CB，CC1的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系C­xyz，如图所示．∴BN→＝AN→－AB→＝12CC1→＋CA→－CB→＝CA→－CB→＋12CC1→，∴BN→的坐标为(1，－1,1)，而BA1→＝CA1→－CB→＝CA→－CB→＋CC1→，∴BA1→的坐标为(1，－1,2)．又∵A1B→＝－BA1→，∴A1B→的坐标为(－1,1，－2)．法二：建系同法一，则B(0,1,0)，A(1,0,0)，A1(1,0,2)，N(1,0,1)，∴BN→＝(1，－1,1)，BA1→＝(1，－1,2)，A1B→＝(－1,1，－2)．用坐标表示空间向量的步骤[跟进训练]3．已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别为棱BB1，DC的中点，如图所示建立空间直角坐标系．(1)写出各顶点的坐标；(2)写出向量EF→，B1F→，A1E→的坐标．[解](1)由题图知A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，D(0，0,0)，A1(2,0,2)，B1(2,2,2)，C1(0,2,2)，D1(0,0,2)，(2)因为E，F分别为棱BB1，DC的中点，由中点坐标公式，得E(2,2,1)，F(0,1,0)．所以EF→＝(－2，－1，－1)，B1F→＝(－2，－1，－2)，A1E→＝(0,2，－1)．1．基底中不能有零向量．因零向量与任意一个非零向量都为共线向量，与任意两个非零向量都共面，所以三个向量为基底隐含着三个向量一定为非零向量．2．空间几何体中，要得到有关点的坐标时，先建立适当的坐标系，一般选择两两垂直的三条线段所在直线为坐标轴，然后选择基向量，根据已知条件和图形关系将所求向量用基向量表示，即得所求向量的坐标．3．用基底表示空间向量，一般要用向量的加法、减法、数乘的运算法则，及加法的平行四边形法则，加法、减法的三角形法则．逐步向基向量过渡，直到全部用基向量表示．1．O，A，B，C为空间四点，且向量OA→，OB→，OC→不能构成空间的一个基底，则()A．OA→，OB→，OC→共线B．OA→，OB→共线C．OB→，OC→共线D．O，A，B，C四点共面D[由题意知，向量OA→，OB→，OC→共面，从而O，A，B，C四点共面．]2．设OABC是四面体，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG＝3GG1，若OG→＝xOA→＋yOB→＋zOC→，则(x，y，z)为()A．14，14，14B．34，34，34C．13，13，13D．23，23，23A[如图，由已知OG→＝34OG→1＝34(OA→＋AG1→)＝34[OA→＋13(AB→＋AC→)]＝34OA→＋14[(OB→－OA→)＋(OC→－OA→)]＝14OA→＋14OB→＋14OC→，从而x＝y＝z＝14．]3．三棱锥P­ABC中，∠ABC为直角，PB⊥平面ABC，AB＝BC＝PB＝1，M为PC的中点，N为AC的中点，以{BA→，BC→，BP→}为基底，则MN→的坐标为________．12，0，－12[MN→＝BN→－BM→＝12(BA→＋BC→)－12(BP→＋BC→)＝12BA→－12BP→，故MN→＝12，0，－12．]4．如图，PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点，并且PA＝AB＝1，试建立适当的空间直角坐标系，求向量MN→的坐标．[解]因为PA＝AB＝AD＝1，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，所以AB→，AD→，AP→是两两垂直的单位向量．设AB→＝e1，AD→＝e2，AP→＝e3，以{e1，e2，e3}为基底建立空间直