20202021学年高中数学第3章空间向量与立体几何32第2课时空间向量与垂直关系教学用书教案新人教

第2课时空间向量与垂直关系学习目标核心素养1．能用向量法判断一些简单的线线、线面、面面垂直关系．(重点)2．掌握用向量方法证明有关空间垂直关系的方法步骤．(重点、难点)借助应用向量证明线面垂直和面面垂直的学习，提升学生的数学运算和逻辑推理核心素养．空间中垂直关系的向量表示线线垂直设直线l的方向向量为a＝(a1，a2，a3)，直线m的方向向量为b＝(b1，b2，b3)，则l⊥m⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0线面垂直设直线l的方向向量是a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量是u＝(a2，b2，c2)，则l⊥α⇔a∥u⇔a＝ku⇔(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)(k∈R)面面垂直若平面α的法向量u＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量v＝(a2，b2，c2)，则α⊥β⇔u⊥v⇔u·v＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0思考：若一个平面内一条直线的方向向量与另一个平面的法向量共线，则这两个平面是否垂直？[提示]垂直．1．若直线l的方向向量a＝(1,0,2)，平面α的法向量为n＝(－2,0，－4)，则()A．l∥αB．l⊥αC．l⊂αD．l与α斜交B[∵n＝(－2,0，－4)＝－2(1,0,2)＝－2a，∴n∥a，∴l⊥α．]2．设直线l的方向向量u＝(－2,2，t)，平面α的一个法向量v＝(6，－6,12)，若直线l⊥平面α，则实数t等于()A．4B．－4C．2D．－2B[因为直线l⊥平面α，所以u∥v，则－26＝2－6＝t12，解得t＝－4，故选B．]3．若直线l1的方向向量为u1＝(1,3,2)，直线l2上有两点A(1,0，1)，B(2，－1,2)，则两直线的位置关系是______．l1⊥l2[AB→＝(1，－1,1)，u1·AB→＝1×1－3×1＋2×1＝0，因此l1⊥l2．]4．已知两平面α，β的法向量分别为u1＝(1,0,1)，u2＝(0,2,0)，则平面α，β的位置关系为________．α⊥β[u1·u2＝0，则α⊥β．]用向量方法处理线线垂直问题【例1】(1)已知空间三点A(0,0,1)，B(－1,1,1)，C(1,2，－3)，若直线AB上一点M，满足CM⊥AB，则点M的坐标为________．(2)如图，△ABC中，AC＝BC，D为AB边中点，PO⊥平面ABC，垂足O在CD上，求证：AB⊥PC．(1)－12，12，1[设M(x，y，z)，又AB→＝(－1,1,0)，AM→＝(x，y，z－1)，CM→＝(x－1，y－2，z＋3)，由点M在直线AB上得AB→与AM→共线，AM→＝λAB→，即x＝－λ，y＝λ，z－1＝0，又CM⊥AB，向量CM→与向量AB→的数量积为0，即CM→·AB→＝0，得－(x－1)＋(y－2)＝0，联立得1－x＋y－2＝0，x＝－y，z－1＝0，所以x＝－12，y＝12，z＝1，所以点M的坐标为－12，12，1．](2)证明：设CA→＝a，CB→＝b，OP→＝v．由条件知，v是平面ABC的法向量，所以v·a＝0，v·b＝0，因为D为AB中点，所以CD→＝12(a＋b)，因为O在CD上，所以存在实数λ，使CO→＝λCD→＝λ2(a＋b)．因为CA＝CB，所以|a|＝|b|，所以AB→·CP→＝(b－a)·λ2a＋b＋v＝λ2(a＋b)·(b－a)＋(b－a)·v＝λ2(|b|2－|a|2)＋b·v－a·v＝0，所以AB→⊥CP→，所以AB⊥PC．利用向量方法证明线线垂直，其思路是证明两条直线的方向向量互相垂直，具体方法有以下两种：1坐标法：建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，求出两直线方向向量的坐标，然后通过数量积的坐标运算法则证明数量积等于0，从而证明两条直线的方向向量互相垂直；2基向量法：利用空间向量的加法、减法、数乘运算及其运算律，结合图形，将两直线所在的向量用基向量表示，然后根据数量积的运算律证明两直线所在的向量的数量积等于0，从而证明两条直线的方向向量互相垂直.[跟进训练]1．如图，已知正三棱柱ABC­A1B1C1的各棱长都为1，M是底面上BC边的中点，N是侧棱CC1上的点，且CN＝14CC1．求证：AB1⊥MN．[证明]设AB中点为O，作OO1∥AA1．以O为坐标原点，OB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，OO1所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系O­xyz．由已知得A－12，0，0，B12，0，0，C0，32，0，N0，32，14，B112，0，1，∵M为BC中点，∴M14，34，0．∴MN→＝－14，34，14，AB1→＝(1,0,1)，∴MN→·AB1→＝－14＋0＋14＝0．∴MN→⊥AB1→，∴AB1⊥MN．应用向量法证明线面垂直【例2】如图所示，正三棱柱ABC­A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点．求证：AB1⊥平面A1BD．思路探究：法一：通过证明AB1→⊥BA1→，AB1→⊥BD→，得到AB1⊥BA1，AB1⊥BD法二：证明AB1→与平面A1BD的法向量平行．[证明]法一：如图所示，取BC的中点O，连接AO．因为△ABC为正三角形，所以AO⊥BC．因为在正三棱柱ABC­A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，所以AO⊥平面BCC1B1．取B1C1的中点O1，以O为原点，以OB→，OO1→，OA→分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则B(1,0,0)，D(－1,1,0)，A1(0,2，3)，A(0，0，3)，B1(1,2,0)．所以AB1→＝(1,2，－3)，BA1→＝(－1,2，3)，BD→＝(－2,1,0)．因为AB1→·BA1→＝1×(－1)＋2×2＋(－3)×3＝0．AB1→·BD→＝1×(－2)＋2×1＋(－3)×0＝0．所以AB1→⊥BA1→，AB1→⊥BD→，即AB1⊥BA1，AB1⊥BD．又因为BA1∩BD＝B，所以AB1⊥平面A1BD．法二：建系同方法一．设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，则n⊥BA1→n⊥BD→，即n·BA1→＝－x＋2y＋3z＝0，n·BD→＝－2x＋y＝0，令x＝1得平面A1BD的一个法向量为n＝(1,2，－3)，又AB1→＝(1,2，－3)，所以n＝AB1→，即AB1→∥n．所以AB1⊥平面A1BD．本例中增加条件：E，F分别是BC，BB1的中点，求证：EF⊥平面ADE．[证明]如图，建立空间直角坐标系，则A(0,0，3)，D(－1,1,0)，E(0,0,0)，F(1,1,0)，所以EA→＝(0,0，3)，ED→＝(－1,1,0)，EF→＝(1,1,0)．所以EF→·EA→＝1×0＋1×0＋0×3＝0，EF→·ED→＝1×(－1)＋1×1＋0×0＝0．所以EF→⊥EA→，EF→⊥ED→，即EF⊥EA，EF⊥ED，又因为EA∩ED＝E，所以EF⊥平面ADE．1．坐标法证明线面垂直有两种思路法一：(1)建立空间直角坐标系；(2)将直线的方向向量用坐标表示；(3)找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量；(4)分别计算两组向量的数量积，得到数量积为0．法二：(1)建立空间直角坐标系；(2)将直线的方向向量用坐标表示；(3)求出平面的法向量；(4)判断直线的方向向量与平面的法向量平行．2．使用坐标法证明时，如果平面的法向量很明显，可以用法二，否则常常选用法一解决．应用向量法证明面面垂直【例3】如图所示，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AB⊥BC，AB＝BC＝2，BB1＝1，E为BB1的中点，证明：平面AEC1⊥平面AA1C1C．思路探究：要证明两个平面垂直，由两个平面垂直的条件，可证明这两个平面的法向量垂直，转化为求两个平面的法向量n1，n2，证明n1·n2＝0．[解]由题意得AB，BC，B1B两两垂直．以B为原点，BA，BC，BB1分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．则A(2,0,0)，A1(2,0,1)，C(0,2,0)，C1(0,2,1)，E0，0，12，则AA1→＝(0,0,1)，AC→＝(－2,2,0)，AC1→＝(－2,2,1)，AE→＝－2,0，12．设平面AA1C1C的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)．则n1·AA1→＝0，n1·AC→＝0⇒z1＝0，－2x1＋2y1＝0.令x1＝1，得y1＝1．∴n1＝(1,1,0)．设平面AEC1的一个法向量为n2＝(x2，y2，z2)．则n2·AC1→＝0，n2·AE→＝0⇒－2x2＋2y2＋z2＝0，－2x2＋12z2＝0，令z2＝4，得x2＝1，y2＝－1．∴n2＝(1，－1,4)．∵n1·n2＝1×1＋1×(－1)＋0×4＝0．∴n1⊥n2，∴平面AEC1⊥平面AA1C1C．1．利用空间向量证明面面垂直通常可以有两个途径：一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直；二是直接求解两个平面的法向量，由两个法向量垂直，得面面垂直．2．向量法证明面面垂直的优越性主要体现在不必考虑图形的位置关系，恰当建系或用基向量表示后，只需经过向量运算就可得到要证明的结果，思路方法“公式化”，降低了思维难度．[跟进训练]2．三棱锥被平行于底面ABC的平面所截得的几何体如图所示，截面为三角形A1B1C1，∠BAC＝90°，A1A⊥平面ABC．A1A＝3，AB＝AC＝2A1C1＝2，D为BC中点．证明：平面A1AD⊥平面BCC1B1．[证明]如图，建立空间直角坐标系．则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0，2,0)，A1(0,0，3)，C1(0,1，3)，因为D为BC的中点，所以D点坐标为(1,1,0)，所以BC→＝(－2,2,0)，AD→＝(1,1,0)，AA1→＝(0,0，3)，因为BC→·AD→＝－2＋2＋0＝0，BC→·AA1→＝0＋0＋0＝0，所以BC→⊥AD→，BC→⊥AA1→，所以BC⊥AD，BC⊥AA1，又AD∩AA1＝A，所以BC⊥平面ADA1，而BC⊂平面BCC1B1，所以平面A1AD⊥平面BCC1B1．空间垂直关系的解决策略几何法向量法线线垂直(1)证明两直线所成的角为90°．(2)若直线与平面垂直，则此直线与平面内所有直线垂直两直线的方向向量互相垂直线面垂直对于直线l，m，n和平面α(1)若l⊥m，l⊥n，m⊂α，n⊂α，m与n相交，则l⊥α．(2)若l∥m，m⊥α，则l⊥α(1)证明直线的方向向量分别与平面内两条相交直线的方向向量垂直．(2)证明直线的方向向量与平面的法向量是平行向量面面垂直对于直线l，m和平面α，β(1)若l⊥α，l⊂β，则α⊥β．(2)若l⊥α，m⊥β，l⊥m，则α⊥β．(3)若平面α与β相交所成的二面角为直角，则α⊥β证明两个平面的法向量互相垂直1．若直线l的方向向量a＝(8，－12,0)，平面α的法向量μ＝(2，－3,0)，则直线l与平面α的位置关系是()A．l∥αB．l⊥αC．直线l与平面α相交但不垂直D．无法确定B[∵μ＝14a．∴μ∥a，∴l⊥α．]2．已知AB→＝(2,2,1)，AC→＝(4,5,3)，则平面ABC的一个单位法向量为()A．－13，－23，－23B．－13，23，－23C．－13，23，23D．13，23，23B[设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，则有2x＋2y＋z＝0，4x＋5y＋3z＝0，取x＝1，则y＝－2，z＝2．所以n＝(1，－2,2)．由于|n|＝3，所以平面ABC的一个单位法向量可以是－13，23，－23．]3．下列命题中：①若u，v分别是两个不同的平面α，β的法向量，则u∥v⇒α∥β；②若u，v分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇒u∥v；③若u是平面α的法向量且向量a与α共面，则u·a＝0；④若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直．其中正确的命题序号是________．①②③④[①正确；②正确；∵u⊥α，a所在直线