20202021学年高中数学第3章空间向量与立体几何章末综合提升教学用书教案新人教A版选修21

第3章空间向量与立体几何[巩固层·知识整合][提升层·题型探究]空间向量的基本概念及运算【例1】(1)已知|a|＝32，|b|＝4，a与b的夹角为135°，m＝a＋b，n＝a＋λb．若m⊥n，则λ＝()A．23B．－23C．32D．－32(2)如图，在四棱锥S­ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，S到A、B、C、D的距离都等于2．给出以下结论：①SA→＋SB→＋SC→＋SD→＝0；②SA→＋SB→－SC→－SD→＝0；③SA→－SB→＋SC→－SD→＝0；④SA→·SB→＝SC→·SD→；⑤SA→·SC→＝0．其中正确结论的序号是________．(1)D(2)③④[(1)由题意知，m·n＝(a＋b)·(a＋λb)＝|a|2＋λa·b＋a·b＋λ|b|2＝18＋λ×32×4×cos135°＋32×4×cos135°＋λ×16＝6＋4λ．因为m⊥n，所以6＋4λ＝0，所以λ＝－32．(2)容易推出SA→－SB→＋SC→－SD→＝BA→＋DC→＝0，所以③正确；又因为底面ABCD是边长为1的正方形，SA＝SB＝SC＝SD＝2，所以SA→·SB→＝2·2·cos∠ASB，SC→·SD→＝2·2·cos∠CSD，而∠ASB＝∠CSD，于是SA→·SB→＝SC→·SD→，因此④正确，其余三个都不正确，故正确结论的序号是③④．]1．空间向量的线性运算包括加、减及数乘运算，选定空间不共面的三个向量作为基向量，并用它们表示出目标向量，这是用向量法解决立体几何问题的基本要求，解题时可结合已知和所求，根据图形，利用向量运算法则表示所需向量．2．空间向量的数量积(1)空间向量的数量积的定义表达式a·b＝|a|·|b|·cos〈a，b〉及其变式cos〈a，b〉＝a·b|a|·|b|是两个重要公式．(2)空间向量的数量积的其他变式是解决立体几何问题的重要公式，如a2＝|a|2，a在b上的投影a·b|b|＝|a|·cosθ等．[跟进训练]1．已知P是正六边形ABCDEF外一点，O是正六边形ABCDEF的中心，则PA→＋PB→＋PC→＋PD→＋PE→＋PF→等于()A．PO→B．3PO→C．6PO→D．0C[∵O是正六边形ABCDEF的中心，∴O是对角线AD的中点，也是对角线BE的中点，还是对角线CF的中点．∴PO→＝PA→＋PD→2，PO→＝PE→＋PB→2，PO→＝PC→＋PF→2，∴PA→＋PB→＋PC→＋PD→＋PE→＋PF→＝6PO→，故选C．]空间向量的坐标运算【例2】(1)已知a＝(2,3，－4)，b＝(－4，－3，－2)，b＝12x－2a，则x＝()A．(0,3，－6)B．(0,6，－20)C．(0,6，－6)D．(6,6，－6)(2)已知向量a＝(x,1,2)，b＝(1，y，－2)，c＝(3,1，z)，a∥b，b⊥c．①求向量a，b，c；②求a＋c与b＋c所成角的余弦值．(1)B[由b＝12x－2a得x＝4a＋2b，又4a＋2b＝4(2,3，－4)＋2(－4，－3，－2)＝(0,6，－20)，所以x＝(0,6，－20)．](2)解：①∵向量a＝(x,1,2)，b＝(1，y，－2)，c＝(3,1，z)，且a∥b，b⊥c，∴x1＝1y＝2－23＋y－2z＝0，解得x＝－1，y＝－1，z＝1，∴向量a＝(－1,1,2)，b＝(1，－1，－2)，c＝(3,1,1)．②∵a＋c＝(2,2,3)，b＋c＝(4,0，－1)，∴(a＋c)·(b＋c)＝2×4＋2×0＋3×(－1)＝5，|a＋c|＝22＋22＋32＝17，|b＋c|＝42＋02＋－12＝17，∴a＋c与b＋c所成角的余弦值为a＋c·b＋c|a＋c||b＋c|＝517．熟记空间向量的坐标运算公式,设a＝x1，y1，z1，b＝x2，y2，z2，1加减运算：a±b＝x1±x2，y1±y2，z1±z2.2数量积运算：a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2.3向量夹角：cos〈a，b〉＝.4向量长度：设M1x1，y1，z1，M2x2，y2，z2，,则.提醒：在利用坐标运算公式时注意先对向量式子进行化简再运算.[跟进训练]2．在空间直角坐标系中，已知点A(1，－2,11)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，则△ABC一定是()A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形C[∵AB→＝(3,4，－8)，AC→＝(5,1，－7)，BC→＝(2，－3,1)，∴|AB→|＝32＋42＋－82＝89，|AC→|＝52＋12＋－72＝75，|BC→|＝22＋－32＋1＝14，∴|AC→|2＋|BC→|2＝|AB→|2，∴△ABC一定为直角三角形．]利用空间向量证明平行、垂直问题【例3】在底面是矩形的四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，点E，F分别是PB，PD的中点，PA＝AB＝1，BC＝2．求证：(1)EF∥平面ABD；(2)平面PAD⊥平面PDC．[证明](1)以点A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,1)．因为点E，F分别是PB，PD的中点，所以F0，1，12，E12，0，12，FE→＝12，－1，0，BD→＝()－1，2，0，FE→＝－12BD→，即EF∥BD，又BD⊂平面ABD，EF⊄平面ABD，所以EF∥平面ABD．(2)由(1)可知PB→＝(1,0，－1)，PD→＝(0,2，－1)，AP→＝(0,0,1)，AD→＝(0,2,0)，DC→＝(1,0,0)，因为AP→·DC→＝(0,0,1)·(1,0,0)＝0，AD→·DC→＝(0,2,0)·(1,0,0)＝0，所以AP→⊥DC→，AD→⊥DC→，即AP⊥DC，AD⊥DC．又AP∩AD＝A，所以DC⊥平面PAD．因为DC⊂平面PDC，所以平面PAD⊥平面PDC．利用空间向量证明空间中的位置关系1线线平行：证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量.2线线垂直：证明两条直线垂直，只需证明两直线的方向向量垂直.3线面平行：①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；②证明可在平面内找到一个向量与直线的方向向量是共线向量；③利用共面向量定理，即证明直线的方向向量可用平面内两不共线向量线性表示.4线面垂直：①证明直线的方向向量与平面的法向量平行；②利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题.5面面平行：①证明两个平面的法向量平行即是共线向量；②转化为线面平行、线线平行问题.6面面垂直：①证明两个平面的法向量互相垂直；②转化为线面垂直、线线垂直问题.[跟进训练]3．如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB＝AD＝2，CD＝4，M为CE的中点．求证：(1)BM∥平面ADEF；(2)BC⊥平面BDE．[证明]∵平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD＝AD，AD⊥ED，∴ED⊥平面ABCD．以D为原点，DA→，DC→，DE→分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系．则D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,4,0)，E(0,0,2)，F(2,0,2)．(1)∵M为EC的中点，∴M(0,2,1)，则BM→＝(－2,0,1)，AD→＝(－2,0,0)，AF→＝(0,0,2)，∴BM→＝AD→＋12AF→，故BM→，AD→，AF→共面．又BM⊄平面ADEF，∴BM∥平面ADEF．(2)BC→＝(－2,2,0)，DB→＝(2,2,0)，DE→＝(0,0,2)，∵BC→·DB→＝－4＋4＝0，∴BC⊥DB．又BC→·DE→＝0，∴BC⊥DE．又DE∩DB＝D，∴BC⊥平面BDE．利用空间向量求空间角【例4】如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，点G为AB的中点，AB＝BE＝2．(1)求证：EG∥平面ADF；(2)求二面角O­EF­C的正弦值；(3)设H为线段AF上的点，且AH＝23HF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值．[解]依题意，OF⊥平面ABCD，如图，以O为原点，分别以AD→，BA→，OF→的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，依题意可得O(0，0,0)，A(－1,1,0)，B(－1，－1,0)，C(1，－1,0)，D(1,1,0)，E(－1，－1,2)，F(0，0,2)，G(－1,0,0)．(1)证明：依题意，AD→＝(2,0,0)，AF→＝(1，－1,2)．设n1＝(x，y，z)为平面ADF的法向量，则n1·AD→＝0，n1·AF→＝0，即2x＝0，x－y＋2z＝0.不妨设z＝1，可得n1＝(0,2,1)．又EG→＝(0,1，－2)，所以EG→·n1＝0．又因为直线EG⊄平面ADF，所以EG∥平面ADF．(2)易证，OA→＝(－1,1,0)为平面OEF的一个法向量．依题意，EF→＝(1,1,0)，CF→＝(－1,1,2)．设n2＝(x′，y′，z′)为平面CEF的法向量，则n2·EF→＝0，n2·CF→＝0，即x′＋y′＝0，－x′＋y′＋2z′＝0.不妨设x′＝1，可得n2＝(1，－1,1)．因此cos〈OA→，n2〉＝OA→·n2|OA→||n2|＝－63，于是sin〈OA→，n2〉＝33．所以，二面角O­EF­C的正弦值为33．(3)由AH＝23HF，得AH＝25AF．因为AF→＝(1，－1,2)，所以AH→＝25AF→＝25，－25，45，进而有H－35，35，45，从而BH→＝25，85，45，因此cos〈BH→，n2〉＝BH→·n2|BH→||n2|＝－721．所以，直线BH和平面CEF所成角的正弦值为721．用向量法求空间角的注意点(1)异面直线所成角：两异面直线所成角的范围为0°θ≤90°，需找到两异面直线的方向向量，借助方向向量所成角求解．(2)直线与平面所成的角：要求直线a与平面α所成的角θ，先求这个平面α的法向量n与直线a的方向向量a夹角的余弦cos〈n，a〉，易知θ＝〈n，a〉－π2或者π2－〈n，a〉．(3)二面角：如图，有两个平面α与β，分别作这两个平面的法向量n1与n2，则平面α与β所成的角跟法向量n1与n2所成的角相等或互补，所以首先应判断二面角是锐角还是钝角．[跟进训练]4．在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O′的直径，FB是圆台的一条母线．(1)已知G，H分别为EC，FB的中点，求证：GH∥平面ABC．(2)已知EF＝FB＝12AC＝23，AB＝BC，求二面角F­BC­A的余弦值．[解](1)证明：设CF的中点为I，连接GI，HI．在△CEF中，因为点G，I分别是CE，CF的中点，所以GI∥EF．又EF∥OB，所以GI∥OB．在△CFB中，因为H，I分别是FB，CF的中点，所以HI∥BC．又HI∩GI＝I，BC∩OB＝B，所以平面GHI∥平面ABC．因为GH⊂平面GHI，所以GH∥平面ABC．(2)连接OO′，则OO′⊥平面ABC．又AB＝BC，且AC是圆O的直径，所以BO⊥AC．以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．由题意得B(0,23，0)，C(－23，0,0)．过点F作FM⊥OB于点M，所以FM＝FB2－BM2＝3，可得F(0，3，3)．故BC→＝(－23，－23，0)，BF→＝(0，－3，3)．设m＝(x，y，z)是平面BCF的法向量．由m·BC→＝0，m·BF→＝0可得－23x－23y＝0，－3y＋3z＝0.可得平面BCF的一个法向量m＝－1，1，33．因为平面ABC的一个法向量n＝(0,0,1)，所以cos〈m，n〉＝m·n|m|·|n|＝77，所以二面角F­BC­A的余弦值为77．