2020年人教A版高中数学必修第一册5.3-诱导公式(解析版)

5.3诱导公式运用一利用公式进行化简【例1】求下列各三角函数值：(1)sin1200°；(2)cos476π；(3)sin－7π3；(4)tan(－855°)．【答案】（1）32（2）32（3）－32（4）1【解析】(1)sin1200°＝sin[120°＋3×360°]＝sin120°＝sin(180°－60°)＝sin60°＝32.(2)cos476π＝cos116π＋6π＝cos116π＝cos2π－π6＝cosπ6＝32.思维导图躬行实践(3)sin－7π3＝－sin7π3＝－sin2π＋π3＝－sinπ3＝－32.(4)tan(－855°)＝－tan855°＝－tan(2×360°＋135°)＝－tan135°＝－tan(180°－45°)＝－tan(－45°)＝tan45°＝1.【触类旁通】1.（2019·天水市第一中学高一期末（文））sin405（）A．22B．22C．32D．32【答案】B【解析】2sin405sin452故选：B2.求下列三角函数式的值：①sin(－330°)·cos210°；②3sin(－1200°)·tan(－30°)－cos585°·tan(－1665°)．【答案】（1）－34（2）3－22【解析】①sin(－330°)·cos210°＝sin(30°－360°)cos(180°＋30°)＝sin30°·(－cos30°)＝12×－32＝－34.②3sin(－1200°)·tan(－30°)－cos585°·tan(－1665°)＝－3sin1200°·－33－cos(720°－135°)·tan(－9×180°－45°)＝sin(1080°＋120°)－cos135°·tan(－45°)＝32－－22×(－1)＝3－22.运用二条件求值【例2】（1）（2019·河北辛集中学高三月考（文））已知tan3,是第二象限角，则sin()2（）A．1010B．31010C．105D．255（2）（2019·广东高一期末）已知2tan3，则cos3sincos9sin的值为A．37B．15C．15D．37（3）（2019·江西高一期末）若ππsin()cossin88，则πsin()83πcos()8()A.12B.13C.2D.3【答案】（1）A（2）B（3）B【解析】（1）因为tan3,是第二象限角，所以10cos10.而sin()cos2，故10sin()210.故选A.（2）∵已知23tantanα，∴tanα23，则3313199195cossincossintancossincossintan，故选：B．（3）ππsincossin88，πππ1sincoscossincossin8882，ππsincos2cossin88，πtan2tan8，ππππsinsinsincoscossin8888ππ3ππsincoscossincossin8888ππtantantan88ππtantan3tan8813，故选B.【触类旁通】1．（2019·广东高一期末）已知tan3，则sincos2sinsin2（）A.1B.12C.1D.12【答案】D【解析】由tan()3，得tan3，即tan3，则sin()cos()coscos2cos212cossincossin1tan2sin()sin()2．故选D．2．（2019·广东高一期末）已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有一点1,2P，则cossin2（）A.23B.223C.33D.233【答案】D【解析】由1,2P得：13cos31223cossincoscos2cos23A本题正确选项：D运用三凑角【例3】（2019·黑龙江哈尔滨三中高三月考（文））已知4sin65，则cos3（）A．45B．35C．45D．35-【答案】C【解析】4coscossin32665Q，故选：C.【触类旁通】1．（2019·宁夏高三月考（理））已知3cos65，则2sin3（）A．35B．45C．35-D．45【答案】C【解析】依题意，2ππππ3sinsincoscos362665xxx.故选C.2．已知33sin()105，则cos(𝛼+𝜋5)=（）A.−45B.45C.−35D.35【答案】C【解析】由题意，可知𝛼+𝜋5=𝜋2+(𝛼−3𝜋10)，由三角函数的诱导公式，因为sin(𝛼−3𝜋10)=35，则cos(𝛼+𝜋5)=cos[𝜋2+sin(𝛼−3𝜋10)]=−sin(𝛼−3𝜋10)=−35，故选C.3．（2019·浙江高二期末）若𝛼是第四象限角，sin(𝜋3+𝛼)=−513，则sin(𝜋6−𝛼)=（）A.15B.−15C.1213D.−1213【答案】C【解析】∵𝛼是第四象限角，则3𝜋2+2𝑘𝜋𝛼(2𝑘+2)𝜋，∴11𝜋6+2𝑘𝜋𝜋3+𝛼7𝜋3+2𝑘𝜋 (𝑘∈𝑍)，且sin(𝜋3+𝛼)=−513，所以，𝜋3+𝛼是第四象限角，则cos(𝜋3+𝛼)=√1−sin2(𝜋3+𝛼)=1213，因此，sin(𝜋6−𝛼)=sin[𝜋2−(𝜋3+𝛼)]=cos(𝜋3+𝛼)=1213，故选：C。运用四证明【例4】化简与证明：(1)证明：sinαsin2π－αcosαsin3π＋αcosαsinα＝－1；（2）sinα－2016cosα＋2015sinαcosα－2cosα＋2016sinα＋2016＝tanα.【证明】见解析【解析】(1)证明左边＝－sinαsinαcosαsinαcosαsinα＝－sinαsinαcosαsinαcosαsinα＝－1.（2）证明：sinα－2016cosα＋2015sinαcosα－2cosα＋2016sinα＋2016＝sinαcosαsinαcosαcosαsinα＝tanα.【触类旁通】1.求证：sinθ＋cosθsinθ－cosθ＝2sinθ－3π2cosθ＋π2－11－2sin2θ.【证明】右边＝－2sin3π2－θsinθ11－2sin2θ＝2sinπ＋π2－θsinθ－11－2sin2θ＝－2sinπ2－θsinθ－11－2sin2θ＝－2cosθsinθ－1cos2θ＋sin2θ－2sin2θ＝sinθ＋cosθ2sin2θ－cos2θ＝sinθ＋cosθsinθ－cosθ＝左边，所以原等式成立.2.求证：cosα－π2sin5π2＋α·sin(α－2π)·cos(2π－α)＝sin2α.证明：左边＝cosπ2－αsinπ2＋α·[－sin(2π－α)]cosα＝sinαcosα[－(－sinα)]cosα＝sinαcosα·sinα·cosα＝sin2α＝右边，故原式成立．1．（2019·天水市第一中学高一期末（理））sin585°=（）融会贯通A．22B．22C．32D．32【答案】B【解析】由题意，可得sin585sin585sin(360225)sin225+2sin(18045)sin452+．故选B．2．（2019·石嘴山市第三中学高一月考）下列不等式中，成立的是（）A．1810sinsinB．231754coscosC．44cossinD．7255tantan【答案】B【解析】由正弦函数的性质和诱导公式，可得sin()sinsin181810，所以A不正确；由232331717cos()coscos,cos()coscos555444，根据余弦函数的单调性，可得3coscos54，所以2317cos()cos()54，所以B正确；由2cos()cos442，2sin()sin442，因为cos()sin()A44，所以C不正确；由7222tantan()tantan()5555，所以D不正确，故选B.3．（2019·四川高一期末）化简：cos40cos251sin40（）A．1B．3C．2D．2【答案】C【解析】原式22cos20sin20cos25(cos20sin20)0222cos20sin20cos20sin202cos-2522==cos25cos25cos25（）（45）2cos25=2cos25.故选C.4．（2019·天水市第一中学高一期末（文））cos180sin360sin180cos180aaaa_____；【答案】1【解析】cos180sin360cossin1sin180cos180sin(cos)aaaaaaaa5．（2019·天水市第一中学高一期末（理））11sin(2)cos()coscos229cos()sin(3)sin()sin2________.【答案】tan【解析】由题意，原式sin(cos)(sin)(sin)tan(cos)sinsincos，故答案为：tan6．已知π4cos45，则πsin4__________．【答案】45【解析】4sin()sin()cos()42445，7．（2019·江苏高二期末（文））已知1tan43，则2sinsin()cos()的值为__________.【答案】35【解析】由题得tan111,tan1+tan32.由题得22222sin+sincossinsin()cos()=sin+sincos=sin+cos=2211tantan3421tan1514.故答案为：358．（2019·全国高一期中）已知324sincos,则221sin(2)cos(2)的值为______【答案】53【解析】因为324sincos，所以2sincos，因此sintan2cos，所以222222221sincostan15sin(2)cos(2)sincostan13.故答案为539．计算：cos𝜋7+cos2𝜋7+c