高考卷 普通高校招生统一考试湖南省 (文科数学)试题与参考答案

(1,1)(1,2)(2,2)x=1Oyx1y=2x-y=0绝密★启用前2008年普通高校招生统一考试湖南省(文科数学)试题与参考答案一．选择题1．已知7,6,5,4,3,2U，7,5,4,3M，6,5,4,2N，则()A．6,4NM.BMNUC．UMNCu)(D.NNMCu)(【答案】B【解析】由7,6,5,4,3,2U，7,5,4,3M，6,5,4,2N，易知B正确.2．“21x”是“3x”的()A．充分不必要条件B.必要不充分条件C．充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由21x得13x，所以易知选A.3．已条变量yx,满足,0,2,1yxyx则yx的最小值是()A．4B.3C.2D.1【答案】C【解析】如图得可行域为一个三角形，其三个顶点分别为(1,1),(1,2),(2,2),代入验证知在点(1,1)时,xy最小值是112.故选C.4.函数)0()(2xxxf的反函数是())0()(.1xxxfA)0()(.1xxxfB)0()(.1xxxfC)0()(.21xxxfD【答案】B【解析】用特殊点法,取原函数过点(1,1),则其反函数过点(1,1),验证知只有答案B满足.也可用直接法或利用“原函数与反函数的定义域、值域互换”来解答。C1D1B1A1ODCBA5.已知直线m,n和平面,满足,,amnm,则().An,//.nB或nnC.,//.nD或n【答案】D【解析】易知D正确.6．下面不等式成立的是()A．322log2log3log5B．3log5log2log223C．5log2log3log232D．2log5log3log322【答案】A【解析】由322log21log3log5,故选A.7．在ABC中，AB=3，AC=2，BC=10，则ABAC()A．23B．32C．32D．23【答案】D【解析】由余弦定理得1cos,4CAB所以1332,42ABAC选Ｄ.8．某市拟从4个重点项目和6个一般项目中各选2个项目作为本年度启动的项目，则重点项目A和一般项目B至少有一个被选中的不同选法种数是()A．15B．45C．60D．75【答案】C【解析】用直接法：11122135353515301560,CCCCCC或用间接法：22224635903060,CCCC故选Ｃ.9．长方体1111ABCDABCD的8个顶点在同一个球面上，且AB=2，AD=3，11AA，则顶点A、B间的球面距离是()A．42B．22C．2D．22【答案】B【解析】11222,BDACR2,R设11,BDACO则2,OAOBR,2AOB2,2lR故选Ｂ.10．双曲线)0,0(12222babyax的右支上存在一点，它到右焦点及左准线的距离相等，则双曲线离心率的取值范围是()A．(1,2]B．[2,)C．(1,21]D．[21,)【答案】C【解析】200aexaxc20(1)aexac2(1),aaeac1111,aece2210,ee1212,e而双曲线的离心率1,e(1,21],e故选Ｃ.二．填空题11．已知向量)3,1(a，)0,2(b，则ba=_____________________.【答案】２【解析】由(1,3),||132.abab12.从某地区15000位老人中随机抽取500人，其生活能否自理的情况如下表所示：则该地区生活不能自理的老人中男性比女性约多_____________人。【答案】60【解析】由上表得15000(2321)23060.50013．记nxx)12(的展开式中第m项的系数为mb，若432bb，则n=__________.【答案】5【解析】由211(2)()2,rnrrnrrnrrnnTCxCxx得2233222,nnnnCC所以解得5.nXyOPBA14．将圆122yx沿x轴正向平移1个单位后所得到圆C，则圆C的方程是________,若过点（3，0）的直线l和圆C相切，则直线l的斜率为_____________.【答案】22(1)1xy,33【解析】易得圆C的方程是22(1)1xy,直线l的倾斜角为30,150,所以直线l的斜率为3.3k15．设x表示不超x的最大整数，（如145,22）。对于给定的Nn,定义,,1,)1()1()1()2)(1(xxxxxxnnnnCxn则328C________;当3,2x时，函数xC8的值域是_________________________。【答案】16,328(,28]3【解析】328816,332C当2x时，288728,21C当3x时，2,x所以88728,323xC故函数xC8的值域是28(,28]3.三．解答题16．甲乙丙三人参加一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约。甲表示只要面试合格就签约，乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约。设每人面试合格的概率都是21，且面试是否合格互不影响。求：（I）至少一人面试合格的概率；（II）没有人签约的概率。解：用A,B,C分别表示事件甲、乙、丙面试合格．由题意知A,B,C相互独立，且1()()().2PAPBPC（I）至少有一人面试合格的概率是1()PABC3171()()()1().28PAPBPC（II）没有人签约的概率为()()()PABCPABCPABC()()()()()()()()()PAPBPCPAPBPCPAPBPC3331113()()().222817．已知函数xxxxfsin2sin2cos)(22.（I）求函数)(xf的最小正周期；（II）当)4,0(0x且524)(0xf时，求)6(0xf的值。解：由题设有()cossinfxxxπ2sin()4x．（I）函数()fx的最小正周期是2π.T（II）由524)(0xf得0π422sin(),45x即0π4sin(),45x因为)4,0(0x,所以0ππ(,).442x从而2200ππ43cos()1sin()1().4455xx于是)6(0xf00ππ2sin()2sin[()]4646xx00ππ2[sin()coscos()sin]4646xx433146322().52521018．如图所示，四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，060BCD，E是CD的中点，PA底面ABCD，3PA。（I）证明：平面PBE平面PAB；（II）求二面角A—BE—P和的大小。解：解法一（I）如图所示,连结,BD由ABCD是菱形且060BCD知，BCD△是等边三角形.因为E是CD的中点，所以,BECD⊥又,ABCD//所以,BEAB⊥又因为PA平面ABCD，BE平面ABCD，所以,BEPA⊥而,ABAPA因此BE⊥平面PAB.又BE平面PBE，所以平面PBE平面PAB.（II）由（I）知，BE⊥平面PAB,PB平面PAB,所以.PBBE又,BEAB⊥所以PBA是二面角ABEP的平面角．在RtPAB△中,tan3,60.PAPBAPBAAB．故二面角ABEP的大小为60.解法二：如图所示,以A为原点，建立空间直角坐标系．则相关各点的坐标分别是(000),A，，(100),B，，33(0),22C，，13(0),22D，，(003),P，，3(10).2E，，（I）因为3(0,0),2BE，平面PAB的一个法向量是0(010),n，，所以BE和0n共线.从而BE⊥平面PAB.又因为BE平面PBE，所以平面PBE平面PAB.（II）易知3(10,3),(0,0),2PBBE，，设1n111()xyz，，是平面PBE的一个法向量,PABCED则由1100nPBnBE，得11111103030002xyzxyz，所以1113.yxz=0，故可取1n(301).，，而平面ABE的一个法向量是2(001).n，，于是,1212121cos,.2||||nnnnnn．故二面角ABEP的大小为60.19已知椭圆的中心在原点，一个焦点是)0,2(F，且两条准线间的距离为)4(。（I）求椭圆的方程；（II）若存在过点A（1，0）的直线l，使点F关于直线l的对称点在椭圆上，求的取值范围。解：（I）设椭圆的方程为22221(0).xyabab由条件知2,c且22,ac所以2,a2224.bac故椭圆的方程是221(4).4xy（II）依题意,直线l的斜率存在且不为0,记为k,则直线l的方程是(1).ykx设点(20)F，关于直线l的对称点为00(),Fx，y则00002(1)2212yxkykx，解得02022121xkkyk，因为点00()Fx，y在椭圆上，所以222222()()111.4kkk即422(4)2(6)(4)0.kk设2,kt则22(4)2(6)(4)0.tt因为4,所以2(4)0.(4)于是,当且仅当23[2(6)](4)()2(6)0.(4)-4，上述方程存在正实根,即直线l存在.解()得16,346.所以164.3即的取值范围是164.320．数列na满足,2,021aa222(1cos)4sin,1,2,3,,22nnnnaan（I）求43,aa，并求数列na的通项公式；（II）设1321kkSaaa，242kkTaaa，2()2kkkSWkNT，求使1kW的所有k的值，并说明理由。解：（I）因为,2,021aa所以22311(1cos)4sin44,22aaa22422(1cos)4sin24,aaa一般地,当21()nkkN=时，22212121(21)21[1cos]4sin4,22kkkkkaaa即21214.kkaa所以数列21ka是首项为0、公差为4的等差数列，因此214(1).kak当2()nkkN=时，22222222[1cos]4sin2,22kkkkkaaa所以数列2ka是首项为2、公比为2的等比数列，因此22.kka故数列na的通项公式为22(1),21(),2,2()nnnnkkNankkN（II）由（I）知，1321044(1)2(1),kkSaaakkk2124222222,kkkkTaaa12(1).22kkkkSkkWT于是10,W21,W33,2W43,2W55,4W61516W.下面证明:当6k时，1.kW事实上,当6k时，11(1)(1)(3)0,222kkkkkkkkkkkWW即1.kkWW又61,W所以当6k时，1.kW故满足1kW的所有k的值为3,4,5.21．已知函