高考数学复习 等差数列及其前n项和

高考数学复习等差数列及其前n项和【要点梳理】要点一、等差数列的定义文字语言形式一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。要点诠释：⑴公差d一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；⑵共同特征：从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数d（即公差）；符号语言形式对于数列{}na,若1nnaad(nN，2n,d为常数)或1nnaad(nN，d为常数)，则此数列是等差数列，其中常数d叫做等差数列的公差。要点诠释：定义中要求“同一个常数d”，必须与n无关。等差中项如果a,A,b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项，即2baA.要点诠释：①两个数的等差中项就是两个数的算术平均数。任意两实数a，b的等差中项存在且唯一.②三个数a,A,b成等差数列的充要条件是2baA.要点二、等差数列的通项公式等差数列的通项公式首相为1a，公差为d的等差数列{}na的通项公式为：1(1)naand（*nN）推导过程：（1）归纳法：根据等差数列定义1nnaad可得：1nnaad，∴211(21)aadad，32111()2(31)aadaddadad，43111(2)3(41)aadaddadad，……dnaan)1(1当n=1时，上式也成立∴归纳得出等差数列的通项公式为：dnaan)1(1（nN）。（2）叠加法：根据等差数列定义1nnaad，有：21aad，32aad，43aad，…1nnaad把这1n个等式的左边与右边分别相加（叠加），并化简得1(1)naand，∴1(1)naand.(3)迭代法：dnadddaddadaannnn)1()()(12221∴1(1)naand.要点诠释：①通项公式由首项1a和公差d完全确定，一旦一个等差数列的首项和公差确定，该等差数列就唯一确定了。②通项公式中共涉及1a、n、d、na四个量，已知其中任意三个量，通过解方程，便可求出第四个量。等差数列通项公式的推广已知等差数列{}na中，第m项为ma，公差为d，则：()nmaanmd证明：∵1(1)naand，1(1)maamd∴11[(1)][(1)]()nmaaandamdnmd∴()nmaanmd由上可知，等差数列的通项公式可以用数列中的任一项与公差来表示，公式1(1)naand可以看成是1m时的特殊情况。要点三、等差数列的性质等差数列{}na中，公差为d，则①若,,,mnpqN，且mnpq,则mnpqaaaa，特别地，当2mnp时2mnpaaa.②下标成公差为m的等差数列的项ka,kma,2kma,…组成的新数列仍为等差数列，公差为md.③若数列nb也为等差数列，则nnab，nkab，（k,b为非零常数）也是等差数列.④123456789,,,aaaaaaaaa……仍是等差数列.⑤数列+nab（，b为非零常数）也是等差数列.要点四、等差数列的前n项和公式等差数列的前n项和公式公式一：2)(1nnaanS证明：倒序相加法nnnaaaaaS1321①1221aaaaaSnnnn②①+②：1213212()()()()nnnnnSaaaaaaaa∵121321nnnnaaaaaaaa∴)(21nnaanS由此得：2)(1nnaanS公式二：2)1(1dnnnaSn证明：将dnaan)1(1代入2)(1nnaanS可得：2)1(1dnnnaSn要点诠释：①倒序相加是数列求和的重要方法之一。②上面两个公式均为等差数列的求和公式，共涉及1a、n、d、na、nS五个量，已知其中任意三个量，通过解方程组，便可求出其余两个量。要点五、等差数列的前n项和的有关性质等差数列{}na中，公差为d，则①连续k项的和依然成等差数列，即kS,2kkSS,32kkSS，…成等差数列，且公差为2kd.②若项数为2n，则21()nnnSnaa，SSnd偶奇，1nnSaSa奇偶③若项数为2n-1，则21(21)nnSna，nSna奇，(1)nSna偶，nSSa奇偶，1SnSn奇偶要点六、等差数列中的函数关系等差数列{}na的通项公式是关于n的一次函数(或常数函数)等差数列{}na中，11(1)()naanddnad，令1adb,则：nadnb（d,b是常数且d为公差）（1）当0d时，nab为常数函数，{}na为常数列；它的图象是在直线yb上均匀排列的一群孤立的点。（2）当0d时，nadnb是n的一次函数；它的图象是在直线ydxb上均匀排列的一群孤立的点。①当0d时，一次函数单调增，{}na为递增数列；②当d＜0时，一次函数单调减，{}na为递减数列。等差数列{}na的前n项和公式是关于n的一个常数项为零的二次函数（或一次函数）由ndanddnnnaSn)2(22)1(121，令2dA，12dBa，则：2nSAnBn（A,B为常数）（1）当0d即0A时，1nSBnna，nS是关于n的一个一次函数；它的图象是在直线1yax上的一群孤立的点。（2）当0d即0A时，nS是关于n的一个常数项为零的二次函数；它的图象是在抛物线2yAxBx上的一群孤立的点。①当0d时nS有最小值②当0d时，nS有最大值要点诠释：1.公差不为0的等差数列{}na的通项公式是关于n的一次函数。2.napnq（p,q是常数）是数列{}na成等差数列的充要条件。3.公差不为0的等差数列{}na的前n项和公式是关于n的一个常数项为零的二次函数。4.2nSAnBn(其中A,B为常数)是数列{}na成等差数列的充要条件.【典型例题】类型一：等差数列的定义例1.（1）求等差数列3，7，11，……的第11项.（2）100是不是等差数列2，9，16，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.【思路点拨】（1）根据所给数列的前2项求得首项和公差，写出该数列的通项公式，从而求出所求项；（2）题中要想判断一数是否为某一数列的其中一项，关键是要看是否存在一正整数n值，使得na等于这一数.【解析】（1）根据题意可知：13a,734d.∴该数列的通项公式为：34(1)41nann（1n,nN）∴1134(111)43a.（2）根据题意可得：12a,927d.∴此数列通项公式为：27(1)75nann（1n,nN）.令75100n,解得：15n,∴100是这个数列的第15项.【总结升华】1.根据所给数列的前2项求得首项1a和公差d，写出通项公式na.2.要注意解题步骤的规范性与准确性.举一反三：【变式1】求等差数列8，5，2…的第21项【答案】由18a，58253d，∴218(211)(3)52a.【变式2】－20是不是等差数列0，72，－7，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.【答案】由题意可知：10a,72d，∴此数列的通项公式为：7722nan,令772022n,解得477nN，所以－20不是这个数列的项.【变式3】求集合*{|7,,100}MmmnnNm的元素的个数，并求这些元素的和【答案】∵7100n，∴2147n，∵*nN，∴M中有14个元素符合条件，又∵满足条件的数7，14，21，…，98成等差数列，即17a，7d，1498a，∴7352)987(1414S.例2.已知数列{}na的通项公式为35,nan这个数列是等差数列吗？【思路点拨】由等差数列的定义，要判定{}na是不是等差数列，只要看1nnaa（2n）是不是一个与n无关的常数。【解析】因为2n时，135[3(1)5]3,nnaann所以数列{}na是等差数列，且公差为3.【总结升华】1.定义法和等差中项法是证明等差数列的常用方法.2.一般地，如果一个数列{}na的前n项和为2nSpnqnr，其中p、q、r为常数，且0p，那么当常数项0r时，这个数列一定是等差数列；当常数项0r时，这个数列不是等差数列，但从第二项开始的新数列是等差数列.举一反三：【变式1】(2015北京)设{an}是等差数列，下列结论中正确的是A．若a1+a2＞0，则a2+a3＞0B．若a1+a3＜0，则a1+a2＜0C．若0＜a1＜a2，则213aaaD．若a1＜0，则(a2－a1)(a2－a3)＞0【答案】分析四个答案，A举一反例，如12a，21a，34a，a1+a2＞0，而a2+a3＜0，A错误；同样B，如12a，21a，34a，a1+a3＜0，则a1+a2＞0，B错误；对于C，{an}是等差数列，若0＜a1＜a2，则a1＞0，设公差为d，则d＞0，数列各项均为正，2212222()()aaadadad，∵22222aad，∴213aaa；对于D，22123()()0aaaad故选：C．【变式2】已知数列{}na中，11a，122nnnaaa（*nN），求证：1{}na是等差数列。证明：∵122nnnaaa，∴1211122nnnnaaaa∴11112nnaa，∴1{}na是公差为12的等差数列。类型二：等差数列通项公式的应用例3．已知等差数列{}na中，1533a，45153a，试问217是否为此数列的项？若是，说明是第几项？若不是，说明理由。【思路点拨】等差数列的计算，一般优先考虑使用性质，如果不宜用性质，则回归为基本量a1、d的问题，列出a1、d的方程组。【解析】方法一：由通项公式得：151451143344153aadaad，解得1234ad，∴234(1)427nann（1n,nN）,∴217427n,解得61n.方法二：由等差数列性质，得451530aad,即1533330d，解得4d,∴154(15)naan，∴217334(15)n,解得61n.方法三：由等差数列的几何意义可知，等差数列是一些共线的点，∵点(15,33)P、(45,153)Q、(,217)Rn在同一条直线上，∴45153217154533153n，解得61n。【总结升华】1.等差数列的关键是首项1a与公差d；五个基本量1a、n、d、na、nS中，已知三个基本量便可求出其余两个量；2.列方程（组）求等差数列的首项1a和公差d，再求出na、nS，是数列中的基本方法.举一反三：【变式1】在等差数列{}na中，已知51210,31,aa求首项1,a与公差d.【答案】由115410121131adad解得；12,5ad【变式2】等差数列{}na中,4d,18na,48nS,求1a的值.【答案】11(1)18(1)482nnaandnnSnad即114(1)182(1)48annann，解得：164an或126an.【变式3】已知等差数列{}na，354a，734a，则15a=。【答案】方法一：设数列{}na首项为1a,公差为d，则43645211dada，解得49211ad，∴419)21(144914115daa。方法二：∵734aad