高考数学专题 极坐标与参数方程、不等式选讲（理科专用）（讲）（解析版）

专题14极坐标与参数方程、不等式选讲1．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为2221141txttyt，（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2cos3sin110．（1）求C和l的直角坐标方程；（2）求C上的点到l距离的最小值．【答案】（1）221(1)4yxx；l的直角坐标方程为23110xy；（2）7．【解析】（1）因为221111tt，且22222222141211yttxtt，所以C的直角坐标方程为221(1)4yxx．l的直角坐标方程为23110xy．（2）由（1）可设C的参数方程为cos,2sinxy（为参数，ππ）．C上的点到l的距离为π4cos11|2cos23sin11|377．当2π3时，π4cos113取得最小值7，故C上的点到l距离的最小值为7．【名师点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、求解椭圆上的点到直线距离的最值问题．求解本题中的最值问题通常采用参数方程来表示椭圆上的点，将问题转化为三角函数的最值问题．2．【2019年高考江苏卷数学】在极坐标系中，已知两点3,,2,42AB，直线l的方程为sin34．（1）求A，B两点间的距离；（2）求点B到直线l的距离．【答案】（1）5；（2）2．【解析】（1）设极点为O．在△OAB中，A（3，4），B（2，2），由余弦定理，得AB=223(2)232cos()524．（2）因为直线l的方程为sin()34，则直线l过点(32,)2，倾斜角为34．又(2,)2B，所以点B到直线l的距离为3(322)sin()242．【名师点睛】本题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力．3．【2019年高考全国Ⅰ卷】已知a，b，c为正数，且满足abc=1．证明：（1）222111abcabc；（2）333()()()24abbcca．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】（1）因为2222222,2,2ababbcbccaac，又1abc，故有222111abbccaabcabbccaabcabc．所以222111abcabc．（2）因为,,abc为正数且1abc，故有3333333()()()3()()()abbccaabbcac=3(+)(+)(+)abbcac3(2)(2)(2)abbcac=24．所以333()()()24abbcca．【名师点睛】本题考查利用基本不等式进行不等式的证明问题，考查学生对于基本不等式的变形和应用能力，需要注意的是在利用基本不等式时需注意取等条件能否成立．4．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】在极坐标系中，O为极点，点000(,)(0)M在曲线:4sinC上，直线l过点(4,0)A且与OM垂直，垂足为P．（1）当0=3时，求0及l的极坐标方程；（2）当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程．【答案】（1）023，l的极坐标方程为cos23；（2）4cos,,42．【解析】（1）因为00,M在C上，当03时，04sin233．由已知得||||cos23OPOA．设(,)Q为l上除P的任意一点．在RtOPQ△中，cos||23OP，经检验，点(2,)3P在曲线cos23上．所以，l的极坐标方程为cos23．（2）设(,)P，在RtOAP△中，||||cos4cos,OPOA即4cos．因为P在线段OM上，且APOM，故的取值范围是,42．所以，P点轨迹的极坐标方程为4cos,,42．【名师点睛】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，熟记公式即可，属于常考题型．5.【2018年理数全国卷II】设函数．（1）当时，求不等式的解集；（2）若，求的取值范围．【答案】（1）,(2)【解析】（1）当时，可得的解集为．（2）等价于．而，且当时等号成立．故等价于．由可得或，所以的取值范围是．一、考向分析：二、考向讲解考查内容解题技巧(1)在将直角坐标化为极坐标求极角θ时，易忽视判断点所在的象限(即角θ的终边的位置)．坐标系与参数方程坐标系参数方程直角坐标系圆的参数方程椭圆的参数方程极坐标系直线的参数方程不等式选讲绝对值不等式不等式证明的基本方法绝对值不等式的解法比较法综合法分析法绝对值三角不等式柯西不等式极坐标与参数方程(2)在极坐标系下，点的极坐标不惟一性易忽视．注意极坐标(ρ，θ)(ρ，θ＋2kπ)，(－ρ，π＋θ＋2kπ)(k∈Z)表示同一点的坐标．(3)确定极坐标方程时要注意极坐标系的四要素：极点、极轴、长度单位、角度单位及其正方向，四者缺一不可．(4)研究曲线的极坐标方程往往要与直角坐标方程进行相互转化．当条件涉及“角度”和“到定点距离”时，引入极坐标系将会给问题的解决带来很大的方便．（5）已知直线l经过点M0(x0，y0)，倾斜角为α，点M(x，y)为l上任意一点，则直线l的参数方程为x＝x0＋tcosα，y＝y0＋tsinα(t为参数)。a.若M1，M2是直线l上的两个点，对应的参数分别为t1，t2，则|M0M1→||M0M2→|＝|t1t2|，|M1M2→|＝|t2－t1|＝t2＋t12－4t1t2。b．若线段M1M2的中点为M3，点M1，M2，M3对应的参数分别为t1，t2，t3，则t3＝t1＋t22。c．若直线l上的线段M1M2的中点为M0(x0，y0)，则t1＋t2＝0，t1t20。提醒：在使用直线参数方程的几何意义时，要注意参数前面的系数应该是该直线倾斜角的正余弦值，否则参数不具备该几何含义。不等式证明的基本方法1.绝对值不等式的求解方法(1)|ax+b|≤c,|ax+b|≥c(c0)型不等式的解法:|ax+b|≤c⇔-c≤ax+b≤c,|ax+b|≥c⇔ax+b≥c或ax+b≤-c,然后根据a,b的取值求解即可.(2)|x-a|+|x-b|≥c(c0)和|x-a|+|x-b|≤c(c0)型不等式的解法:①利用绝对值不等式的几何意义求解,体现数形结合思想;②利用“零点分段法”求解,体现分类讨论思想.a.令每个绝对值符号的代数式为零，并求出相应的根；b.将这些根按从小到大排列，把实数集分为若干个区间；c.由所分区间去掉绝对值符号得若干个不等式，解这些不等式，求出解集；d.取各个不等式解集的并集就是原不等式的解集．③通过构建函数,利用函数图象求解,体现函数与方程思想.2.解决绝对值不等式的参数范围问题常用以下两种方法:(1)将参数分类讨论,将其转化为分段函数解决;(2)借助于绝对值的几何意义,先求出含参数的绝对值表达式的最值或取值范围,再根据题目要求,求解参数的取值范围.由于|x－a|＋|x－b|与|x－a|－|x－b|分别表示数轴上与x对应的点到a，b对应的点的距离之和与距离之差，因此对形如|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)或|x－a|－|x－b|≥c(c＞0)的不等式，利用绝对值的几何意义求解更直观．(3)应熟记以下转化:f(x)a恒成立⇔f(x)mina;f(x)a恒成立⇔f(x)maxa;f(x)a有解⇔f(x)maxa;f(x)a有解⇔f(x)mina;f(x)a无解⇔f(x)max≤a;f(x)a无解⇔f(x)min≥a.3.绝对值不等式的综合应用a．研究含有绝对值的函数问题时，根据绝对值的定义，分类讨论去掉绝对值符号，将原函数转化为分段函数，然后利用数形结合解决问题，这是常用的思想方法．b．f(x)＜a恒成立⇔f(x)max＜a.f(x)a恒成立⇔f(x)min＞a.4.利用综合法证明不等式时，应注意对已证不等式的使用，常用的不等式有：(1)a2≥0；(2)|a|≥0；（3）a2＋b2≥2ab；它的变形形式又有(a＋b)2≥4ab，a2＋b22≥a＋b22等；(4)a＋b2≥ab(a≥0，b≥0)，它的变形形式又有a＋1a≥2(a0)，ba＋ab≥2(ab0)，ba＋ab≤－2(ab0)等．5.分析法证明不等式的注意事项：用分析法证明不等式时，不要把“逆求”错误地作为“逆推”，分析法的过程仅需要寻求充分条件即可，而不是充要条件，也就是说，分析法的思维是逆向思维，因此在证题时，应正确使用“要证”、“只需证”这样的连接“关键词”．6、证明绝对值不等式||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.主要的三种方法：（1）利用绝对值的定义去掉绝对值符号，转化为普通不等式再证明．（2）利用三角不等式||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|进行证明．（3）转化为函数问题，数形结合进行证明．7、当x的系数相等或相反时，可以利用绝对值不等式求解析式形如()fxxaxb的函数的最小值，以及解析式形如()fxxaxb的函数的最小值和最大值，否则去绝对号，利用分段函数的图象求最值．利用柯西不等式求最值时，要注意其公式的特征，以出现定值为目标．考查绝对值不等式的证明：【例】已知0a，0b，332ab，证明：(1)55()()4abab≥；(2)2ab≤．【解析】（1）556556()()ababaababb3323344()2()abababab2224()abab4≥（2）∵33223()33abaababb23()abab23()2()4abab≤33()24ab，所以3()8ab≤，因此2ab≤．【例】已知a，b，c，d为实数，且224ab，2216cd，证明：8acbd≤．【解析】证明：由柯西不等式可得：22222()()()acbdabcd≤，因为22224,16,abcd所以2()64acbd≤，因此8acbd≤.【例】设,,abc均为正数，且1abc，证明：（Ⅰ）13abbcca；（Ⅱ）2221abcbca【解析】（Ⅰ）2222222,2,2ababbcbccaca得222abcabbcca由题设得21abc，即2222221abcabbcca．所以31abbcca，即13abbcca（Ⅱ）∵2222,2,2abcbacbacbca，∴222()2()abcabcabcbca即222abcabcbca，∴2221abcbca考查绝对值不等式的解法：【例】设xR，解不等式||+|21|2xx．【答案】1{|1}3xxx或．【解析】当x0时，原不等式可化为122xx，解得x13；当0≤x≤12时，原不等式可化为x+1–2x2，即x–1，无解；当x12时，原不等式可化为x+2x–12，解得x1．综上，原不等式的解集为1{|1}3xxx或．【名师点睛】本题主要考查解不等式等基础知识，考查运算求解和推理论证能力．考查不等式恒成立问题：【例】已知函数f(x)＝|x＋1|－|x－2|。(1)求不等式f(x)≥1的解集。(2)若不等式f(x)≥x2－x＋m的解集非空，求m的取值范围。【解析】(1)f(x)＝－3，x－1，2x－1，－1≤x≤2，3，x2。当x－1时，f(x)≥1无解；当－1≤x≤2时，由f(x)≥1得，