上海市高中数学竞赛(新知杯)试题

2014年上海市高中数学竞赛（新知杯）试卷(2014年3月30日星期日上午8:30–10:30)注意事项:1.解答本试卷不得使用计算器一.填空题(本题满分60分,前4小题每小题7分,后4小题每小题8分)1.给定正实数a;b(ab),两点(pa2b2;0),(pa2b2;0)到直线xcosa+ysinb=1的距离乘积是.2.已知线段AB;CD的长分别为a;b(ab).若线段AB;CD分别在x轴,y轴上滑动,且使得A;B;C;D四点共圆,则这些圆的圆心轨迹方程是.3.若x2(1;1)时,f(x)=x2ax+a2恒为正值,则实数a的取值范围是.4.数列fxng定义如下:x1=23,xn+1=xn2(2n+1)xn+1(n=1;2;:::),则x1+x2+


+x2014=.5.不等式log112(x2+2x3)x2+2x16的解集是.6.设a1;a2;:::;a2014是正整数1;2;:::;2014的一个排列,记Sk=a1+a2+


+ak;k=1;2;:::;2014,则S1;S2;:::;S2014中奇数个数的最大值是.7.设S=f1;2;:::;11g,对S的每一个7元子集,将其中的7个数从小到大排列,取出中间的数,则所有取出的中间数的和等于.8.将900000个五位数10000;10001;:::;99999打印在卡片上,每张卡片上打印一个五位数.有些卡片上所打印的数,如19806倒过来看是90861,有两种不同的读法,会引起混淆,则不会引起混淆的卡片共有张.1二.解答题(本题满分60分)9.(本大题共14分)在锐角三角形ABC中,已知\A=75◦,AC=b,AB=c.求三角形ABC的外接正三角形面积的最大值.10.(本大题共14分)设n是给定的大于2的整数.有n个外表上没有区别的袋子,第k个袋中有k个红球,(nk)个白球,k=1;2;:::;n.把这些袋子混合后,任取一个袋子,并且从中连续取出三个球(每次取出不放回),求第三次取出的是白球的概率.211.(本大题共16分)正实数x;y;z满足:8:25zminfx;ygxz415yz15求1x+2y+3z的最大值.(这里,minfx;yg表示实数x;y中的较小者.)312.(本大题共16分)求1;2;:::;n的排列a1;a2;:::;an的个数,使得jakkjn12对正整数k=1;2;:::;n成立.4