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光明市的菜篮子工程导师：石小平学生：潘建攻吕一峰张芮contents目录问题重述1234符号约定与假设问题分析模型建立与求解1.问题重述问题重述光明市是一个人口不到15万人的小城市，根据该市的蔬菜种植情况分别在花市(A)、城乡路口(B)和下塘街(C)设三个收购点。清晨5点前菜农将蔬菜送至各收购点，再由各收购点分送到全市的8个菜市场。该市道路情况、各路段距离（单位：100m）及各收购点、菜市场①②…..⑧的具体位置如图：问题重述按常年情况，Ａ、Ｂ和Ｃ三个收购点每天收购量分别为200、170和160(单位：100kg)，各菜市场的每天需求量及发生供应短缺时带来的损失(元/100kg)见表。设从收购点至各菜市场蔬菜调运费用为1元/(100kg·100m)。菜市场每天需求(100Kg)短缺损失(元/100Kg)①7510②608③805④7010⑤10010⑥558⑦905⑧808请你解决以下问题：（1）为该市设计一个从各收购点至各菜市场的定点供应方案，使用于蔬菜调运及预期的短期损失最小。（2）若规定各菜市场短缺量一律不超过需求量的20%，重新设计定点供应方案。（3）为满足城市居民的蔬菜供应，光明市的领导规划增加蔬菜种植面积，试问增加的蔬菜每天应分别向A、B、C三个采购点各供应多少最经济合理。022.符号约定与假设假设一：只考虑运输费用和短缺费用，不考虑装卸等其他费用。假设二：假设运输的蔬菜路途中没有损。假设三：假设各市场蔬菜只来源于三个收购站，无其他来源且三个收购站所收购蔬菜全部运往8个菜市场。假设四：假设规划增加蔬菜种植面积后，蔬菜供应总量恰好能满足8个菜市场的需求量。符号约定与假设符号约定与假设符号符号说明xij第i个收购点向j市场供给的数量(i=1,2,3,j=1,2…8)x4j第j个市场因供给量小于需求量的单位短缺损失(j=1,2…8)pij第i个收购点向j市场供给的单位运费bi第i个收购点供应量(i=1,2,3,4)dj第j个市场需求量(j=1,2…8)3.问题分析问题分析这是一个产销不平衡的规划问题(产小于销)，三个收购点每天蔬菜收购量530(100kg)，而8个菜市场每天共需610(100kg)，所以，8个菜市场每天将共短缺80(100kg)。可设一个虚拟的D，每天蔬菜收购量为80(100kg)，正好弥补8个菜市场每天短缺的那部分，则如下表：但虚拟收购点D运往8个菜市场的运费无法计算。在本题中，只考虑运费及蔬菜短缺时的总费用，考虑到虚拟收购点D运往8个菜市场的路径无法确定，及D所运往8个菜市场的蔬菜均为各个菜市场短缺的，故可将8个菜市场短缺所造成的损失等效于D运往8个菜市场的运费。12345678产量A200B170C160D80销量75608070100559080610问题分析为了求解模型，必须求出系数(pij)，其中每一表示第i个收购点向j市场供给单位量蔬菜的运费。但因为从收购点至各菜市场单位量蔬菜单位路程的调运费用为1元/(100kg*100m)，而蔬菜的单位量为100kg，单位距离为100m，则可求出第i个收购点到第j市场每单位蔬菜的单位距离运费为1元/(100m*100kg)*100m*100kg=1元。因而pij在数值上等于第i个收购点到第j市场的距离值，从而等价于一个求最短路的问题。对于x4j(j=1,…,8),因其每短缺100kg损失1元，而蔬菜的单位量为100kg，故p4j在数值上等于第j个市场供应短缺时带来的损失值。从图中可以找出从第i个收购点到第j市场的最小距离值，也即单位最小运费pij。如下：12345678A488191162220B14771612162317C20191114615510D108510108584.模型建立与求解模型建立与求解由上述分析，这是一道运输问题，我们建立目标函数以及给出约束条件即可求解。目标函数的总费用Z包括两项:蔬菜调运费、各市场供给量小于需求量的短缺损失。由问题分析中，我们指出将短缺损失的费用等效算作运输费用。即可得下列式子：𝑀𝑖𝑛𝑍=𝑝𝑖𝑗𝑥𝑖𝑗8𝑗=14𝑖=1目标函数：约束条件：1：4个收购点的蔬菜全部供给给8个市场2：每个市场的蔬菜都来自4个收购点3：变量非负性限制𝑥𝑖𝑗=𝑏𝑖(𝑖=1,2,3,4)8𝑗=1𝑥𝑖𝑗=𝑑𝑗(𝑗=1,…,8)4𝑖=1𝑥𝑖𝑗≥0(𝑖=1..4𝑗=1..8)模型建立与求解𝑀𝑖𝑛𝑍=𝑝𝑖𝑗𝑥𝑖𝑗8𝑗=14𝑖=1问题一：由上述关系式，给出下列式子根据上式的模型，利用LINGO软件，输入目标函数和约束条件，求解模型的最优解。𝑥𝑖𝑗=𝑏𝑖(𝑖=1,2,3,4)8𝑗=1𝑥𝑖𝑗=𝑑𝑗(𝑗=1,…,8)4𝑖=1𝑥𝑖𝑗≥0(𝑖=1..4𝑗=1..8)模型建立与求解模型建立与求解问题一的具体分配方案如下：此时为最小费用Z=4610元。12345678A754000305500B02070800000C0000700900D000000080模型建立与求解问题二：按题中问题规定各菜市场短缺量一律不超过需求量的20%的条件，我们对需求量的约束条件进行了修改。𝑀𝑖𝑛𝑍=𝑝𝑖𝑗𝑥𝑖𝑗8𝑗=14𝑖=1根据上式的模型，利用LINGO软件，输入目标函数和约束条件，求解模型的最优解。𝑥𝑖𝑗=𝑏𝑖(𝑖=1,2,3,4)8𝑗=1𝑥𝑖𝑗=𝑑𝑗(𝑗=1,…,8)4𝑖=1𝑥4𝑗≤0.2𝑑𝑗(𝑗=1,…,8)𝑥𝑖𝑗≥0(𝑖=1..4𝑗=1..8)模型建立与求解模型建立与求解问题二的具体分配方案如下：此时为最小费用Z=4806元。12345678A751000605500B05064560000C00002407264D0016141601816模型建立与求解问题三：为满足城市居民的蔬菜供应，光明市的领导规划增加蔬菜种植面积。此时ABC三个收购点应恰好能满足8个菜市场的需求量。因此我们对需求量的约束条件进行了修改。𝑀𝑖𝑛𝑍=𝑝𝑖𝑗𝑥𝑖𝑗8𝑗=14𝑖=1𝑥𝑖𝑗=𝑏𝑖+𝑡𝑖(𝑖=1,2,3)8𝑗=1𝑥𝑖𝑗=𝑑𝑗(𝑗=1,…,8)3𝑖=1𝑥𝑖𝑗≥0(𝑖=1..3𝑗=1..8)根据上式的模型，利用LINGO软件，输入目标函数和约束条件，求解模型的最优解。模型建立与求解模型建立与求解问题三的具体分配方案如下：此时为最小费用Z=4770元。12345678产量A754000305500200B02080700000170C00007009080240谢谢！附录Problem1:min=4*x11+8*x12+8*x13+19*x14+11*x15+6*x16+22*x17+20*x18+14*x21+7*x22+7*x23+16*x24+12*x25+16*x26+23*x27+17*x28+20*x31+19*x32+11*x33+14*x34+6*x35+15*x36+5*x37+10*x38+10*x41+8*x42+5*x43+10*x44+10*x45+8*x46+5*x47+8*x48;x11+x12+x13+x14+x15+x16+x17+x18=200;x21+x22+x23+x24+x25+x26+x27+x28=170;x31+x32+x33+x34+x35+x36+x37+x38=160;x41+x42+x43+x44+x45+x46+x47+x48=80;x11+x21+x31+x41=75;x12+x22+x32+x42=60;x13+x23+x33+x43=80;x14+x24+x34+x44=70;x15+x25+x35+x45=100;x16+x26+x36+x46=55;x17+x27+x37+x47=90;x18+x28+x38+x48=80;x11=0;x12=0;x13=0;x14=0;x15=0;x16=0;x17=0;x18=0;x21=0;x22=0;x23=0;x24=0;x25=0;x26=0;x27=0;x28=0;x31=0;x32=0;x33=0;x34=0;x35=0;x36=0;x37=0;x38=0;x41=0;x42=0;x43=0;x44=0;x45=0;x46=0;x47=0;x48=0;附录Problem2:min=4*x11+8*x12+8*x13+19*x14+11*x15+6*x16+22*x17+20*x18+14*x21+7*x22+7*x23+16*x24+12*x25+16*x26+23*x27+17*x28+20*x31+19*x32+11*x33+14*x34+6*x35+15*x36+5*x37+10*x38+10*x41+8*x42+5*x43+10*x44+10*x45+8*x46+5*x47+8*x48;x11+x12+x13+x14+x15+x16+x17+x18=200;x21+x22+x23+x24+x25+x26+x27+x28=170;x31+x32+x33+x34+x35+x36+x37+x38=160;x41+x42+x43+x44+x45+x46+x47+x48=80;x11+x21+x31+x41=75;x12+x22+x32+x42=60;x13+x23+x33+x43=80;x14+x24+x34+x44=70;x15+x25+x35+x45=100;x16+x26+x36+x46=55;x17+x27+x37+x47=90;x18+x28+x38+x48=80;x41=75*0.2;x42=60*0.2;x43=80*0.2;x44=70*0.2;x45=100*0.2;x46=55*0.2;x47=90*0.2;x48=80*0.2;x11=0;x12=0;x13=0;x14=0;x15=0;x16=0;x17=0;x18=0;x21=0;x22=0;x23=0;x24=0;x25=0;x26=0;x27=0;x28=0;x31=0;x32=0;x33=0;x34=0;x35=0;x36=0;x37=0;x38=0;x41=0;x42=0;x43=0;x44=0;x45=0;x46=0;x47=0;x48=0;附录Problem2:min=4*x11+8*x12+8*x13+19*x14+11*x15+6*x16+22*x17+20*x18+14*x21+7*x22+7*x23+16*x24+12*x25+16*x26+23*x27+17*x28+20*x31+19*x32+11*x33+14*x34+6*x35+15*x36+5*x37+10*x38;x11+x12+x13+x14+x15+x16+x17+x18=200+a;x21+x22+x23+x24+x25+x26+x27+x28=170+b;x31+x32+x33+x34+x35+x36+x37+x38=160+80-a-b;x11+x21+x31=75;x12+x22+x32=60;x13+x23+x33=80;x14+x24+x34=70;x15+x25+x35=100;x16+x26+x36=55;x17+x27+x37=90;x18+x28+x38=80;x11=0;x12=0;x13=0;x14=0;x15=0;x16=0;x17=0;x18=0;x21=0;x22=0;x23=0;x24=0;x25=0;x26=0;x27=0;x28=0;x31=0;x32=0;x33=0;x34=0;x35=0;x36=0;x37=0;x38=0;